סדרת פונקציות

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

הגדרה

נביט בסדרת פונקציות ממשיות \Big\{f_n(x)\Big\}_{n=1}^\infty . עבור כל מספר ממשי קבוע x_0 מתקבלת הסדרה הממשית f_n(x_0) .

נגדיר את פונקציית הגבול f(x) של סדרת הפונקציות f_n(x) באופן הבא:

  • אם f_n(x_0) מתכנסת במובן הצר אזי f(x_0):=\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x_0)
  • אחרת, x_0 אינו בתחום ההגדרה של פונקצית הגבול.

מסמנים f_n(x)\to f(x) ואומרים כי סדרת הפונקציה מתכנסת נקודתית לפונקצית הגבול.

דוגמאות

1.

f_n(x)=x^n

f(x)=\begin{cases}0&|x|<1\\1&x=1\\\not\exists&(x\le -1)\or(x>1)\end{cases}

2.

f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{n}

f(x)\equiv0