הבדלים בין גרסאות בדף "ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים"

גרסה מ־10:16, 5 בינואר 2013

חזרה לסיכום הקורס: לינארית 2 (סמסטר א תשעג)

הערה: בסיכום זה, גם אם לא יצויין בכל מקום, $V$ הוא מרחב וקטורי מעל השדה $\mathbb{F}$ , וכן $dim V=n$ . בנוסף, $A\in M_n (\mathbb{F})$ .

הגדרה:

העתקה לינארית $T:V\rightarrow V$ (ממרחב לעצמו) תיקרא אופרטור לינארי.

הגדרה:

תהי $A\in M_n (\mathbb{F})$ . אומרים ש- $\lambda\in\mathbb{F}$ הוא ערך עצמי של $A$ אם קיים וקטור $0\neq v\in\mathbb{F}^n$ שעבורו $Av=\lambda v$ . הוקטור $v$ נקרא וקטור עצמי של $A$ הקשור ל- $\lambda$ .

הגדרה:

אוסף כל הערכים העצמיים של $A$ נקרא הספקטרום של $A$ , ומסומן $spec(A)$ .

הערה: יכול להיות המצב $spec(A)=\varnothing$ .

משפט:

$\lambda=0$ הוא ע"ע של $A$ אם ורק אם $A$ אינה הפיכה.

הערה: $A$ אינה הפיכה אם ורק אם $det(A)=0$ .

משפט:

$\lambda\in\mathbb{F}$ הוא ע"ע של מטריצה $A\in M_n (\mathbb{F})$ אם ורק אם $det(\lambda I-A)=0$ .

דוגמות למציאת ע"ע:

1. $A=I_n$ .

שיטה ראשונה: $I_n v=\lambda v$ $\Leftarrow$ $v=\lambda v$ $\Leftarrow$ $\lambda=1$ $\Leftarrow$ $spec(A)={1}$ .

שיטה שנייה: לפי המשפט. $\lambda I_n-I_n=\begin{pmatrix} \lambda-1 & &0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda-1 \end{pmatrix}$ , כלומר $det(\lambda I_n-I_n)=(\lambda-1)^n$ , ומכאן $(lambda-1)^n=0$ $Leftrightarrow$ $\lambda=1$ .

הבדלים בין גרסאות בדף "ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים"

גרסה מ־10:16, 5 בינואר 2013

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים

@@ שורה 43: / שורה 43: @@
 שיטה ראשונה: <math>I_n v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>\lambda=1</math> <math>\Leftarrow</math> <math>spec(A)={1}</math>.
+שיטה שנייה: לפי המשפט.
+<math>\lambda I_n-I_n=\begin{pmatrix}
+\lambda-1 &  &0 \\
+ & \ddots  & \\
+&  & \lambda-1
+\end{pmatrix}</math>, כלומר <math>det(\lambda I_n-I_n)=(\lambda-1)^n</math>, ומכאן <math>(lambda-1)^n=0</math> <math>Leftrightarrow</math> <math>\lambda=1</math>.