ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים

חזרה לסיכום הקורס: לינארית 2 (סמסטר א תשעג)

הערה: בסיכום זה, גם אם לא יצויין בכל מקום, $V$ הוא מרחב וקטורי מעל השדה $\mathbb{F}$, וכן $dim V=n$. בנוסף, $A\in M_n (\mathbb{F})$.

הגדרה:

העתקה לינארית $T:V\rightarrow V$ (ממרחב לעצמו) תיקרא אופרטור לינארי.

הגדרה:

תהי $A\in M_n (\mathbb{F})$. אומרים ש-$\lambda\in\mathbb{F}$ הוא ערך עצמי של $A$ אם קיים וקטור $0\neq v\in\mathbb{F}^n$ שעבורו $Av=\lambda v$. הוקטור $v$ נקרא וקטור עצמי של $A$ הקשור ל-$\lambda$.

הגדרה:

אוסף כל הערכים העצמיים של $A$ נקרא הספקטרום של $A$, ומסומן $spec(A)$.

הערה: יכול להיות המצב $spec(A)=\varnothing$.

משפט:

$\lambda=0$ הוא ע"ע של $A$ אם ורק אם $A$ אינה הפיכה.

הערה: $A$ אינה הפיכה אם ורק אם $det(A)=0$.

משפט:

$\lambda\in\mathbb{F}$ הוא ע"ע של מטריצה $A\in M_n (\mathbb{F})$ אם ורק אם $det(\lambda I-A)=0$.

דוגמות למציאת ע"ע:

1. $A=I_n$.

שיטה ראשונה: $I_n v=\lambda v$ $\Leftarrow$ $v=\lambda v$ $\Leftarrow$ $\lambda=1$ $\Leftarrow$ $spec(A)={1}$.

שיטה שנייה: לפי המשפט. $\lambda I_n-I_n=\begin{pmatrix} \lambda-1 & &0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda-1 \end{pmatrix}$, כלומר $det(\lambda I_n-I_n)=(\lambda-1)^n$, ומכאן $(lambda-1)^n=0$ $Leftrightarrow$ $\lambda=1$.