הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
 
(5 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
 +
[[תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב|חזרה]]
 +
 
<math>A=\begin{pmatrix}
 
<math>A=\begin{pmatrix}
 
1 & 1 & 1\\  
 
1 & 1 & 1\\  
שורה 5: שורה 7:
 
\end{pmatrix}
 
\end{pmatrix}
 
</math>
 
</math>
 +
 +
נסמן את סדר המטריצה <math>A</math> ב- <math>n</math>.
  
 
נמצא פ"א: <math>p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix}
 
נמצא פ"א: <math>p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix}
שורה 16: שורה 20:
 
נראה שזהו גם הפ"מ של A:
 
נראה שזהו גם הפ"מ של A:
  
−
הפ"מ מחלק את הפ"א, והחזקה הn-ית (כאן 3) שלו מתחלקת בפ״א. לכן הפ"מ חייב להיות מהצורה <math>(x-1)^\alpha </math>, כאשר <math>\alpha \leq 3 \wedge \alpha \in\mathbb{N}</math>.  
+
הפ"מ מחלק את הפ"א, והחזקה הn-ית (כאן 3) של הפ"מ מתחלקת בפ״א. לכן הפ"מ חייב להיות מהצורה <math>(x-1)^\alpha </math>, כאשר <math>\alpha \leq 3 \wedge \alpha \in\mathbb{N}</math>.  
  
 +
 +
ברור <math>(A-I)^1 \neq 0</math>
 +
.
  
 
נבדוק ישירות שA-I בריבוע שונה ממטריצת אפסים: <math>(A-I)^2=\begin{pmatrix}
 
נבדוק ישירות שA-I בריבוע שונה ממטריצת אפסים: <math>(A-I)^2=\begin{pmatrix}
שורה 40: שורה 47:
 
</math>
 
</math>
  
−
ידוע שהפ״מ מאפס את A, ולכן נסיק שהפ״מ זהה לפ״א. מכאן אפשר לומר שגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים לע״ע 1 הוא 3. אבל A היא כבר מסדר 3x3 ולכן זהו הבלוק היחיד בצורת ז׳ורדן שלה. לכן צורת ז׳ורדן היא <math>J_1(3)</math>.  
+
(החישוב האחרון ברור גם ממשפט קיילי-המילטון, שכן הצבנו את <math>A</math> לפ"א שלה).
 +
 
 +
 
 +
ידוע שהפ״מ מאפס את A, והראינו שכל שאר האפשרויות לפ"מ לא מאפסות את A, ולכן נסיק שהפ״מ זהה לפ״א. מכאן אפשר לומר שגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים לע״ע 1 הוא 3. אבל A היא כבר מסדר 3x3 ולכן זהו הבלוק היחיד בצורת ז׳ורדן שלה. לכן צורת ז׳ורדן היא <math>J_1(3)</math>.  
 
סיימנו את התרגיל.
 
סיימנו את התרגיל.
  
שורה 46: שורה 56:
 
----
 
----
  
−
מכיוון שכבר כתבתי וחבל לי למחוק, נראה כעת נימוק יותר אלמנטרי:
+
מכיוון שכבר כתבתי וחבל לי למחוק, נראה כעת נימוק יותר אלמנטרי:
  
  

גרסה אחרונה מ־16:54, 27 בדצמבר 2011

חזרה

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

נסמן את סדר המטריצה A ב- n.

נמצא פ"א: p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix} x-1 & -1 & -1\\ 0 & x-1 & -1\\ 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix}=(x-1)^3 כי דטר' של מטר' משולשית היא מכפלת איברי האלכסון.


נראה שזהו גם הפ"מ של A:

הפ"מ מחלק את הפ"א, והחזקה הn-ית (כאן 3) של הפ"מ מתחלקת בפ״א. לכן הפ"מ חייב להיות מהצורה (x-1)^\alpha , כאשר \alpha \leq 3 \wedge \alpha \in\mathbb{N}.


ברור (A-I)^1 \neq 0 .

נבדוק ישירות שA-I בריבוע שונה ממטריצת אפסים: (A-I)^2=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 0& 0 &1 \\ 0 & 0 &0 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix}

אבל (A-I)^3=(A-I)^2(A-I)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 0& 0 &0 \\ 0 & 0 &0 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix}

(החישוב האחרון ברור גם ממשפט קיילי-המילטון, שכן הצבנו את A לפ"א שלה).


ידוע שהפ״מ מאפס את A, והראינו שכל שאר האפשרויות לפ"מ לא מאפסות את A, ולכן נסיק שהפ״מ זהה לפ״א. מכאן אפשר לומר שגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים לע״ע 1 הוא 3. אבל A היא כבר מסדר 3x3 ולכן זהו הבלוק היחיד בצורת ז׳ורדן שלה. לכן צורת ז׳ורדן היא J_1(3). סיימנו את התרגיל.


מכיוון שכבר כתבתי וחבל לי למחוק, נראה כעת נימוק יותר אלמנטרי:


קיבלנו שהמטריצה A-I נילפ' מאינדקס 3. לכן, לפי משפט שהוכחנו, הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 3=אינדקס הנילפוטנטיות. אבל המטר' היא כבר מסדר 3, ולכן בלוק זה חייב להיות הבלוק היחיד במטריצה. קיבלנו שA-I דומה לבלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר 3.


לפי הגדרת דמיון המטריצות, קיימת מטר' הפיכה P כך ש: P^{-1}(A-I)P=P^{-1}AP-P^{-1}IP=P^{-1}AP-I=J_3(0)

נעביר אגפים ונקבל:P^{-1}AP=I+J_3(0)


קיבלנו שצורת ז'ורדן הדומה ל-A היא J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

כפי שקיבלנו קודם.

כנדרש! :)

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=פתרון_לינארית_2,_אונ%27_בר_אילן,_תשנ%22א,_מועד_ב,_שאלה_4&oldid=17599