הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4"
מתוך Math-Wiki
מ |
|||
| שורה 20: | שורה 20: | ||
קיבלנו שהמטריצה <math>A-I</math> נילפ' מסדר 3, ולכן לפי משפט שהוכחנו הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 3=אינדקס הנילפוטנטיות. | קיבלנו שהמטריצה <math>A-I</math> נילפ' מסדר 3, ולכן לפי משפט שהוכחנו הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 3=אינדקס הנילפוטנטיות. | ||
| − | אבל | + | אבל המטר' היא כבר מסדר 3, ולכן בלוק זה חייב להיות הבלוק היחיד במטריצה. קיבלנו ש<math>A-I</math> דומה לבלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר 3. |
| − | קיימת מטר' הפיכה <math>P</math> כך ש: | + | |
| + | לפי הגדרת דמיון המטריצות, קיימת מטר' הפיכה <math>P</math> כך ש: | ||
<math>P^{-1}(A-I)P=P^{-1}AP-P^{-1}IP=P^{-1}AP-I=J_3(0)</math> | <math>P^{-1}(A-I)P=P^{-1}AP-P^{-1}IP=P^{-1}AP-I=J_3(0)</math> | ||
נעביר אגפים ונקבל:<math>P^{-1}AP=I+J_3(0)</math> | נעביר אגפים ונקבל:<math>P^{-1}AP=I+J_3(0)</math> | ||
| + | |||
קיבלנו שצורת ז'ורדן הדומה ל-A היא <math>J=\begin{pmatrix} | קיבלנו שצורת ז'ורדן הדומה ל-A היא <math>J=\begin{pmatrix} | ||
| שורה 32: | שורה 34: | ||
0 & 0 & 1 | 0 & 0 & 1 | ||
\end{pmatrix}</math> | \end{pmatrix}</math> | ||
| − | כנדרש:) | + | |
| + | |||
| + | כנדרש! :) | ||
גרסה מ־21:26, 17 בדצמבר 2011
נמצא פ"א: 
כי דטר' של מטר' משולשית היא מכפלת איברי האלכסון.
קל להראות שזהו גם הפ"מ של A.
(שהרי 
- והפ"מ מחלק את הפ"א, לכן הפ"מ חייב להיות מהצורה של חזקה של x-1, והרי ידוע שבלוק ז'ורדן נילפוטנטי הוא נילפ' מאינדקס השווה לסדר שלו (גיבוב מילים מיותרות - קל לבדוק ישירות וזהו)).
קיבלנו שהמטריצה 
נילפ' מסדר 3, ולכן לפי משפט שהוכחנו הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 3=אינדקס הנילפוטנטיות.
אבל המטר' היא כבר מסדר 3, ולכן בלוק זה חייב להיות הבלוק היחיד במטריצה. קיבלנו ש דומה לבלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר 3.
לפי הגדרת דמיון המטריצות, קיימת מטר' הפיכה 
כך ש:
נעביר אגפים ונקבל:
קיבלנו שצורת ז'ורדן הדומה ל-A היא 
כנדרש! :)
