הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
שורה 17: שורה 17:
 
הפ"מ מחלק את הפ"א, לכן הפ"מ חייב להיות מהצורה <math>(x-1)^\alpha </math>, כאשר <math>\alpha \leq 3 \wedge \alpha \in\mathbb{N}</math>.  
 
הפ"מ מחלק את הפ"א, לכן הפ"מ חייב להיות מהצורה <math>(x-1)^\alpha </math>, כאשר <math>\alpha \leq 3 \wedge \alpha \in\mathbb{N}</math>.  
  
−
קל לבדוק ישירות שA-I בריבוע שונה ממטריצת אפסים בעוד בשלישית שווה למטריצת האפס.
 
  
 +
נבדוק ישירות שA-I בריבוע שונה ממטריצת אפסים: <math>(A-I)^2=\begin{pmatrix}
 +
0 & 1 & 1\\
 +
0 & 0 & 1\\
 +
0 & 0 & 0
 +
\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}
 +
0& 0 &1 \\
 +
0 & 0 &0 \\
 +
0 &0  &0
 +
\end{pmatrix}</math>
  
−
קיבלנו שהמטריצה <math>A-I</math> נילפ' מאינדקס 3, ולכן לפי משפט שהוכחנו הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 3=אינדקס הנילפוטנטיות.  
+
אבל (A-I)^3=(A-I)^2)(A-I)=\begin{pmatrix}
 +
0 & 1 & 1\\
 +
0 & 0 & 1\\
 +
0 & 0 & 0
 +
\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}
 +
0& 0 &0 \\
 +
0 & 0 &0 \\
 +
0 &0  &0
 +
\end{pmatrix}
 +
 
 +
 
 +
קיבלנו שהמטריצה <math>A-I</math> נילפ' מאינדקס 3. לכן, לפי משפט שהוכחנו, הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 3=אינדקס הנילפוטנטיות.  
 
אבל המטר' היא כבר מסדר 3, ולכן בלוק זה חייב להיות הבלוק היחיד במטריצה. קיבלנו ש<math>A-I</math> דומה לבלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר 3.
 
אבל המטר' היא כבר מסדר 3, ולכן בלוק זה חייב להיות הבלוק היחיד במטריצה. קיבלנו ש<math>A-I</math> דומה לבלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר 3.
  

גרסה מ־20:06, 26 בדצמבר 2011

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

נמצא פ"א: p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix} x-1 & -1 & -1\\ 0 & x-1 & -1\\ 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix}=(x-1)^3 כי דטר' של מטר' משולשית היא מכפלת איברי האלכסון.


זהו גם הפ"מ של A: הפ"מ מחלק את הפ"א, לכן הפ"מ חייב להיות מהצורה (x-1)^\alpha , כאשר \alpha \leq 3 \wedge \alpha \in\mathbb{N}.


נבדוק ישירות שA-I בריבוע שונה ממטריצת אפסים: (A-I)^2=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 0& 0 &1 \\ 0 & 0 &0 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix}

אבל (A-I)^3=(A-I)^2)(A-I)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 

0& 0 &0 \\

0 & 0 &0 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix}


קיבלנו שהמטריצה A-I נילפ' מאינדקס 3. לכן, לפי משפט שהוכחנו, הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 3=אינדקס הנילפוטנטיות. אבל המטר' היא כבר מסדר 3, ולכן בלוק זה חייב להיות הבלוק היחיד במטריצה. קיבלנו שA-I דומה לבלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר 3.


לפי הגדרת דמיון המטריצות, קיימת מטר' הפיכה P כך ש: P^{-1}(A-I)P=P^{-1}AP-P^{-1}IP=P^{-1}AP-I=J_3(0)

נעביר אגפים ונקבל:P^{-1}AP=I+J_3(0)


קיבלנו שצורת ז'ורדן הדומה ל-A היא J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}


כנדרש! :)

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=פתרון_לינארית_2,_אונ%27_בר_אילן,_תשנ%22א,_מועד_ב,_שאלה_4&oldid=17548