פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד א, שאלה 6

חזרה

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0&1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

נמצא את הפ"א:

$p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix} x-1 & -1 & -1\\ 0&x-1 &0 \\ 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix}=(x-1)^3$

שכן דטר' של מטר' משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי.

$A-I$ הינה מטריצה נילפוטנטית מאינדקס 2, לפי בדיקה ישירה, שכן: $A-I\neq 0_{3\times 3}$ ואילו $(A-I)^2=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0&0 &0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2=0_{3\times 3}$ .

לכן (לפי משפט שהוכחנו) הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 2=אינדקס הנילפוטנטיות. לכן בצורת הז'ורדן הדומה לה הבלוקים הם $J_2(0)$ ו- $J_1(0)$.

לכן קיימת $P$ הפיכה, כך ש- $P^{-1}(A-I)P=\begin{pmatrix} J_2(0) & 0\\ 0 & J_1(0)\\ \end{pmatrix}$ .

נפתח סוגריים ונפשט: $P^{-1}(A-I)P=P^{-1}AP-P^{-1}IP=P^{-1}AP-I=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0& 0 \end{pmatrix}$

נעביר אגפים, ונקבל ש $P^{-1}AP=I+\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0& 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& 1 \end{pmatrix}$

לכן צורת ז'ורדן היא $J=\begin{pmatrix} 1 & 1 &0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix}$ שהיא מטריצה מספר 1, ולכן התשובה היא 1.

מ.ש.ל.