פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"א, מועד ב, שאלה 7

חזרה

ידוע שמטריצות דומות <=> צורת ז'ורדן שלהן זהה. נראה של $A,B$ יש אותה צורת ז'ורדן, ולכן הן בהכרח דומות:

ל-$A$ יש $n$ ע"ע שונים בשדה, ולכן הפ"א שלה הוא מהצורה $(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)...(x-\lambda_n)$.

ידוע שאם הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים, אזי הפ"מ=פ"א, ולכן גם הפ"מ הוא מהצורה דלעיל.

ל-$B$ יש אותו הפ"א, $(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)...(x-\lambda_n)$, ולכן גם הפ"מ שלה הוא הביטוי הנ"ל. (מאותו הנימוק עבור $A$)

קיבלנו שגם ל-$B$ יש $n$ ע"ע שונים ב-F.

(החזקה של הגורם $\ x-\lambda_i$ בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- $\lambda_i$ בצורת ז'ורדן של המטריצה.

אבל אצלנו כל החזקות הנ"ל שוות 1, ולכן כל הבלוקים בצורת ז'ורדן הם מסדר 1.)

הריבוי האלגברי של ע"ע $\lambda$ בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- $\lambda$ בצורת ז'ורדן.

בשאלה שלנו כל הריבויים הנ"ל שווים 1, ולכן יש בדיוק בלוק ז'ורדן אחד לכל ע"ע, והוא מסדר 1.

לכן צורת ז'ורדן של A ושל B היא $J=\begin{pmatrix} J_1(\lambda_1) & & & \\ & J_1(\lambda_2)& & \\ & &... & \\ & & & J_1(\lambda_n) \end{pmatrix}$

צורת ז'ורדן שלהן זהה, ולכן הן דומות. מש"ל.

(כפי שנועם ציין, למעשה הראינו פה ששתי המטריצות לכסינות ודומות לאותה מטר׳ אלכסונית. ז׳ורדן מיותר.)