הצגת המקור של פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ב, מועד ב, שאלה 3

[[תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב|חזרה]]

ידוע שמטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ז'ורדן (עד כדי סדר הבלוקים). שתי המטריצות בשאלה כבר נתונות כסכום של בלוקי ז'ורדן: 

<math>
A=\begin{pmatrix}
0 & 1 &0  & 0\\ 
 0& 0 &0  &0 \\ 
0 & 0 &  0&1 \\ 
 0& 0 &0  &0 \\
\end{pmatrix} = \left(
\begin{array}{cc}
\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array} &  \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{array} \\
\\
\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{array} &  \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}
\end{array}\right) = \begin{pmatrix} J_2(0) & 0 \\ 0 & J_2(0)\end{pmatrix} = J_2(0) \oplus J_2(0),
</math>

ואילו 
<math>B=\begin{pmatrix}
0 & 1 &0  & 0\\ 
 0& 0 &1  &0 \\ 
0 & 0 &  0&0 \\ 
 0& 0 &0  &0 \\
\end{pmatrix}
= \left(
\begin{array}{cc}
\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array} &  \begin{array}{c} 0 \\  0 \\ 0\end{array} \\
\\
\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \end{array} &  0
\end{array}\right) = \begin{pmatrix} J_3(0) & 0 \\ 0 & J_1(0)\end{pmatrix} = J_3(0) \oplus J_1(0),
</math>

קיבלנו שצורות ז'ורדן של שתי המטריצות הנתונות שונות, ולכן הן '''אינן דומות.'''

נימוק אחר: חישוב ישיר מראה ש-<math>\ A^2 = 0</math> בעוד ש-<math>\ B^2 \neq 0</math>. לכן הן אינן יכולות להיות דומות.

----

סעיף ב': ידוע מלינארית 1 שמתקיים <math>dimkerA+dimImA=dimV</math>,
כאשר <math>V</math> המ"ו שעליו פועלת הטרנספורמציה A (<math>\forall v \in F^4: A(v):=A\cdot v</math>)

ולכן <math>dimkerA=dimV-dimImA</math>. 

ידוע גם <math>rank(A)=dimImA</math>=מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של A, כלומר 2.

כמו כן <math>dimV=4</math> שכן מסתכלים על A כעל הע"ל מהמרחב <math>F^4</math> לעצמו.

לכן בסה"כ <math>dimkerA=4-2=2</math>.



באופן דומה עבור <math>B</math>, מתקיים <math>dimkerB+dimImB=dimV</math>, ולכן <math>dimkerB=dimV-dimImB</math>. 

ידוע גם <math>rank(B)=dimImB</math>=מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של B, כלומר 2.

כמו כן <math>dimV=4</math> שכן מסתכלים על B כעל הע"ל מהמרחב <math>F^4</math> לעצמו.

לכן בסה"כ <math>dimkerB=4-2=2</math>. 

(ידוע ש-A היא המטריצה המייצגת של הטרנספורמציה המוגדרת בעזרתה וכו' - כל זה מלינארית 1, אין צורך לפרט)



לסיכום, קיבלנו <math>dimkerA=dimkerB=2</math>.
'''מש"ל!'''