הצגת המקור של פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ג, מועד ב, שאלה 1 בחלק III

[[תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב|חזרה]]

'''סימון''' - <math>J_i:=J_i(0)</math>.

ראשית נראה שהמספר לא יכול להיות גדול מ-3, ואז נראה שניתן לבנות דוגמה של 3 מטריצות שכאלה. בכך תושלם ההוכחה.

ידוע שמטריצות הן דומות <=> צורת ז'ורדן שלהן זהה. כאן כל שתי מטריצות שונות אינן דומות, ולכן לכל אחת מהן יש צורת ז'ורדן שונה. הן נילפוטנטיות, ולכן בצורת ז'ורדן שלהן הבלוקים המופיעים שייכים לע"ע 0 - כלומר הם בלוקים נילפוטנטיים. הבלוק יכול להיות מסדר של לכל היותר 3, והסדר חייב להיות טבעי. נוסף על כך, סכום הסדרים של הבלוקים בצורת ז'ורדן צריך להסתכם ל-3. 

המשימה שלנו, אם כך, היא למצוא בכמה דרכים שונות ניתן למלא מטריצת בלוקים שהיא מסדר 3 בבלוקים נילפוטנטיים. 

אם יש במטריצה בלוק מסדר 3, אזי בלוק זה חייב להיות המטריצה עצמה; לכן קיבלנו את האפשרות <math>J_3</math>.

אם יש במטריצה בלוק מסדר 2, אזי הבלוק האחר חייב להיות מסדר 1; לכן קיבלנו את האפשרות <math>\begin{pmatrix}
J_2 & \\ 
 & J_1
\end{pmatrix}</math>.

האפשרות היחידה שנותרה היא שיש במטריצה בלוק מסדר 1, אבל אין בה בלוקים מסדר 2 ו-3. כלומר קיבלנו את האפשרות <math>\begin{pmatrix}
J_1 &  & \\ 
 & J_1  & \\ 
 &  & J_1 
\end{pmatrix}</math>.

קיבלנו שמספר הדרכים השונות הוא 3, ולכן לא ייתכן שתהיינה יותר מ3 מטריצות שתצייתנה לתנאי השאלה (שכן אחרת נקבל שצורות ז'ורדן שלהן שונות, ושיש יותר מ-3, בסתירה).


נותר לבנות דוגמא של 3: ניקח את שלוש המטריצות 
<math>\begin{pmatrix}
J_1 &  & \\ 
 & J_1  & \\ 
 &  & J_1 
\end{pmatrix}.

</math>, <math>\begin{pmatrix}
J_2 & \\ 
 & J_1
\end{pmatrix}</math>, 
<math>J_3</math>.

כל אחת מהן נילפוטנטית, (קל לבדוק, אבל בגלל שכבר הובהר לי שלא רואים בעין יפה את הביטוי הזה, אפשר לומר שזה נובע ממסקנה 4 בעמוד הראשון [http://math-wiki.com/images/4/46/Hanucca_BlockDiagonal.LinearA2.2010.pdf כאן], שהרי כל אחת מהמטריצות הנ"ל היא סכום ישר של מטריצות נילפוטנטיות (במקרה של J_3 זה סכום ישר באופן לא ממש מעניין, אבל עדיין סכום ישר),

ולכן לפי המסקנה אם נעלה בחזקה של המקסימום של אינדקסי הנילפוטנטיות של הבלוקים נקבל מטריצת אפסים.]),
ולמעשה כבר הראינו שאף שתיים מהן אינן דומות - שכן הן צורות ז'ורדן של עצמן, והן שונות אחת מהשנייה.

מש"ל!

הערה - במהלך הפתרון הסתכלנו על צורות ז'ורדן ש(זהות עד כדי שינוי סדר בלוקים) כזהות. זה ברור, אבל אני פרנואיד וחושש שיגנבו את הפתרון הדי-יפה הזה. מאותה הסיבה, הערה מעניינת תִּמָּצא בדף השיחה של פתרון זה, לא כחלק מהפתרון עצמו. :)