הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ג, מועד ב, שאלה 1 בחלק III"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ (השינוי הקטן ביותר שניתן להעלות על הדעת?)
מ
שורה 9: שורה 9:
 
אם יש במטריצה בלוק מסדר 3, אזי בלוק זה חייב להיות המטריצה עצמה; לכן קיבלנו את האפשרות <math>J_3</math>.
 
אם יש במטריצה בלוק מסדר 3, אזי בלוק זה חייב להיות המטריצה עצמה; לכן קיבלנו את האפשרות <math>J_3</math>.
  
אם יש במטריצה בלוק מסדר 2, אזי הבלוק האחר חייב להיות מסדר 1; לכן קיבלנו את האפשרות <math>\begin{matrix}
+
אם יש במטריצה בלוק מסדר 2, אזי הבלוק האחר חייב להיות מסדר 1; לכן קיבלנו את האפשרות <math>\beginp{matrix}
 
J_2 & \\  
 
J_2 & \\  
 
  & J_1
 
  & J_1
\end{matrix}</math>.
+
\end{pmatrix}</math>.
  
 
האפשרות היחידה שנותרה היא שיש במטריצה בלוק מסדר 1, אבל אין בה בלוקים מסדר 2 ו-3. כלומר קיבלנו את האפשרות <math>\begin{pmatrix}
 
האפשרות היחידה שנותרה היא שיש במטריצה בלוק מסדר 1, אבל אין בה בלוקים מסדר 2 ו-3. כלומר קיבלנו את האפשרות <math>\begin{pmatrix}
שורה 24: שורה 24:
  
 
נותר לבנות דוגמא של 3: ניקח את המטריצות  
 
נותר לבנות דוגמא של 3: ניקח את המטריצות  
<math><math>\begin{pmatrix}
+
<math>\begin{pmatrix}
 
J_1 &  & \\  
 
J_1 &  & \\  
 
  & J_1  & \\  
 
  & J_1  & \\  
 
  &  & J_1  
 
  &  & J_1  
\end{pmatrix}</math>.
+
\end{pmatrix}.
</math>, <math>\begin{matrix}
+
 
 +
</math>, <math>\begin{פmatrix}
 
J_2 & \\  
 
J_2 & \\  
 
  & J_1
 
  & J_1
\end{matrix}</math>, <math>J_3</math>.
+
\end{פmatrix}</math>,  
 +
 
 +
<math>J_3</math>.
  
 
כל אחת מהן נילפוטנטית, ולמעשה כבר הראינו שאף שתיים מהן אינן דומות - שכן הן צורות ז'ורדן של עצמן, והן שונות אחת מהשנייה.
 
כל אחת מהן נילפוטנטית, ולמעשה כבר הראינו שאף שתיים מהן אינן דומות - שכן הן צורות ז'ורדן של עצמן, והן שונות אחת מהשנייה.

גרסה מ־12:26, 29 בדצמבר 2011

סימון - J_i:=J_i(0).

ראשית נראה שהמספר לא יכול להיות גדול מ-3, ואז נראה שניתן לבנות דוגמה של 3 מטריצות שכאלה. בכך תושלם ההוכחה.

ידוע שמטריצות דומות <=> צורת ז'ורדן שלהן זהה. כאן כל שתי מטריצות שונות אינן דומות, ולכן לכל אחת מהן יש צורת ז'ורדן שונה. הן נילפוטנטיות, ולכן בצורת ז'ורדן שלהן הבלוקים המופיעים שייכים לע"ע 0 - כלומר הם בלוקים נילפוטנטיים. הבלוק יכול להיות מסדר של לכל היותר 3, והסדר חייב להיות טבעי. נוסף על כך, סכום הסדרים של הבלוקים בצורת ז'ורדן צריך להסתכם ל-3.

המשימה שלנו, אם כך, היא למצוא בכמה דרכים שונות ניתן למלא מטריצת בלוקים שהיא מסדר 3 בבלוקים נילפוטנטיים.

אם יש במטריצה בלוק מסדר 3, אזי בלוק זה חייב להיות המטריצה עצמה; לכן קיבלנו את האפשרות J_3.

אם יש במטריצה בלוק מסדר 2, אזי הבלוק האחר חייב להיות מסדר 1; לכן קיבלנו את האפשרות עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \beginp לא מוכרת): \beginp{matrix} J_2 & \\ & J_1 \end{pmatrix} .

האפשרות היחידה שנותרה היא שיש במטריצה בלוק מסדר 1, אבל אין בה בלוקים מסדר 2 ו-3. כלומר קיבלנו את האפשרות \begin{pmatrix}
J_1 &  & \\ 
 & J_1  & \\ 
 &  & J_1 
\end{pmatrix}.

קיבלנו שמספר הדרכים השונות הוא 3, ולכן לא ייתכן שתהיינה יותר מ3 מטריצות שתצייתנה לתנאי השאלה (שכן אחרת נקבל שצורות ז'ורדן שלהן שונות, ושיש יותר מ-3, בסתירה).


נותר לבנות דוגמא של 3: ניקח את המטריצות \begin{pmatrix}
J_1 &  & \\ 
 & J_1  & \\ 
 &  & J_1 
\end{pmatrix}.

, \begin{פmatrix}
J_2 & \\ 
 & J_1
\end{פmatrix},

J_3.

כל אחת מהן נילפוטנטית, ולמעשה כבר הראינו שאף שתיים מהן אינן דומות - שכן הן צורות ז'ורדן של עצמן, והן שונות אחת מהשנייה.

מש"ל!

הערה - במהלך הפתרון הסתכלנו על צורות ז'ורדן ש(זהות עד כדי שינוי סדר בלוקים) כזהות. זה ברור, אבל אני פרנואיד וחושש שיגנבו את הפתרון הדי-יפה הזה. מאותה הסיבה, הערה מעניינת תִּמָּצא בדף השיחה של פתרון זה, לא כחלק מהפתרון עצמו. :)