הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "אלו מבין המטריצות הבאות דומות? <math>A=\begin{pmatrix} 2 &8 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 &0 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, C=\be...")
 
שורה 15: שורה 15:
 
\end{pmatrix}</math>
 
\end{pmatrix}</math>
  
−
אנו יודעים כי מטריצות בעלות צורת ג'ורדן הנן זהות, לכן נחשב את מטריצות הגו'רדן של המטריצות הנ"ל.
+
אנו יודעים כי מטריצות בעלות צורת ג'ורדן '''תיקון:'''(עמנואל, הסתכלו על ההיסטוריה כדי לראות הגרסה הקודמת) זהה (עד כדי שינוי סדר הבלוקים) הינן דומות, לכן נחשב את מטריצות הגו'רדן של המטריצות הנ"ל.
  
 
נתחיל במטריצה הקלה ביותר, <math>D</math>. היא אלכסונית, ולכן <math>P_{D}(x)=(x+2)(x-6)</math> וקל לראות כי גם <math>M_{D}(x)=(x+2)(x-6)</math> ולכן <math>J_{D}=\begin{pmatrix}
 
נתחיל במטריצה הקלה ביותר, <math>D</math>. היא אלכסונית, ולכן <math>P_{D}(x)=(x+2)(x-6)</math> וקל לראות כי גם <math>M_{D}(x)=(x+2)(x-6)</math> ולכן <math>J_{D}=\begin{pmatrix}

גרסה מ־18:50, 26 בדצמבר 2011

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

A=\begin{pmatrix} 2 &8 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 &0 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 2 &4 \\ 4 &2 \end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}

אנו יודעים כי מטריצות בעלות צורת ג'ורדן תיקון:(עמנואל, הסתכלו על ההיסטוריה כדי לראות הגרסה הקודמת) זהה (עד כדי שינוי סדר הבלוקים) הינן דומות, לכן נחשב את מטריצות הגו'רדן של המטריצות הנ"ל.

נתחיל במטריצה הקלה ביותר, D. היא אלכסונית, ולכן P_{D}(x)=(x+2)(x-6) וקל לראות כי גם M_{D}(x)=(x+2)(x-6) ולכן J_{D}=\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}

נחשב את צורת הג'ורדן של A: P_{A}(x)=\begin{vmatrix} x-2 &8 \\ 2 &x-2 \end{vmatrix}=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2) ונקבל כי גם M_{A}(x)=(x+2)(x-6) ולכן גם J_{A}=\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}

נחשב את צורת הגו'רדן של B: P_{B}(x)=\begin{vmatrix} x-2 &0 \\ 2 &x-2 \end{vmatrix}=(x-2)^{2}-0=(x-2)^{2} כעת צריך לחשב את הפולינום המינימלי של B. קל לראות כי M_{B}(x)=(x-2)^{2} (שכן (B-2I)\neq 0 ) ולכן J_{B}=\begin{pmatrix} 2 &1 \\ 0 &2 \end{pmatrix}

וכעת נחשב את צורת הג'ורדן של C : P_{C}(x)=\begin{vmatrix} x-2 &4 \\ 4 &x-2 \end{vmatrix}=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2) ולכן גם M_{B}(x)=(x+2)(x-6) ולכן J_{B}=\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}

ובסה"כ קבלנו כי A\sim C\sim D ו B אינה דומה לאף מטריצה מבניהם.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=פתרון_לינארית_2,_אונ%27_עברית,_תשס%22ח,_מועד_ב,_שאלה_5&oldid=17515