פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

$A=\begin{pmatrix} 2 &8 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 &0 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 2 &4 \\ 4 &2 \end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}$

אנו יודעים כי מטריצות בעלות צורת ג'ורדן תיקון:(עמנואל, הסתכלו על ההיסטוריה כדי לראות הגרסה הקודמת) זהה (עד כדי שינוי סדר הבלוקים) הינן דומות, לכן נחשב את מטריצות הגו'רדן של המטריצות הנ"ל.

נתחיל במטריצה הקלה ביותר, $D$. היא אלכסונית, ולכן $P_{D}(x)=(x+2)(x-6)$ וקל לראות כי גם $M_{D}(x)=(x+2)(x-6)$ ולכן $J_{D}=\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}$

נחשב את צורת הג'ורדן של$A$: $P_{A}(x)=\begin{vmatrix} x-2 &8 \\ 2 &x-2 \end{vmatrix}=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)$ ונקבל כי גם $M_{A}(x)=(x+2)(x-6)$ ולכן גם $J_{A}=\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}$

נחשב את צורת הגו'רדן של$B$: $P_{B}(x)=\begin{vmatrix} x-2 &0 \\ 2 &x-2 \end{vmatrix}=(x-2)^{2}-0=(x-2)^{2}$ כעת צריך לחשב את הפולינום המינימלי של $B$. קל לראות כי $M_{B}(x)=(x-2)^{2}$ (שכן $(B-2I)\neq 0$ ) ולכן $J_{B}=\begin{pmatrix} 2 &1 \\ 0 &2 \end{pmatrix}$

וכעת נחשב את צורת הג'ורדן של (תיקון נוסף:) $C$ : $P_{C}(x)=\begin{vmatrix} x-2 &-4 \\ 4-&x-2 \end{vmatrix}=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)$ ולכן גם $M_{B}(x)=(x+2)(x-6)$ ולכן $J_{B}=\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}$

ובסה"כ קבלנו כי$A\sim C\sim D$ ו $B$ אינה דומה לאף מטריצה מבניהם.