פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

נתונות המטריצות A=\begin{pmatrix}
1& 1 & 0 & 0\\ 
0 & -1 & 1 & 0\\ 
0 & 0 & 1 & 1\\ 
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
, B=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 1\\ 
1 & 0 & 0 & 0\\ 
0 & 0 & 0 & 1\\ 
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix} האם הן דומות? הוכח את טענת.

כן הן דומות. נוכיח שצורת הג'ורדן של שתיהן שווה, ונקבל ש: A\sim J_{A}=J_{B}\sim B ומטרנזיטיביות של דמיון מטריצות נקבל ש A\sim B

נחשב את הפולינום האופייני של A, ונקבל כי P_{A}(x)=(x+1)^{2}(x-1)^{2} וגם כי הפולינום המינימלי של A שווה לפולינום האופייני ובסה"כ M_{A}(x)=(x+1)^{2}(x-1)^{2}

במקרה זה, המטריצה הנ"ל מורכבת משני חלקי ג'ורדן (כאשר באחד \lambda =1 ובשני \lambda =-1), וכל אחד מהם בגודל 2.

מכיון שבשניהם הבלוק הגדול ביותר הוא מגודל 2, נקבל כי צורת הגורדן היא

J_{A}=\begin{pmatrix}
J_{2}(1) & 0\\ 
0 & J_{2}(-1)
\end{pmatrix}

נעשה אותו הדבר למטריצה B, ונקבל כי יש לה אותו פולינום אופייני ואותו פולינום מינימלי, ולכן J_{B}=\begin{pmatrix}
J_{2}(1) & 0\\ 
0 & J_{2}(-1)
\end{pmatrix}

וקבלנו כי J_{A}=J_{B}

מ.ש.ל.