פתרון לינארית 2, אונ' קנט, 2010, יוני, שאלה 25

עבור המטריצה A:

א. $\underset{A}{p(x)} = \begin{vmatrix} x-2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & x-1 & 0 & 0\\ -2 & 0 & x-1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix} = (x-2)\begin{vmatrix} x-1 & 0 & 0\\ 0 & x-1 & -1\\ 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix} = (x-2)(x-1)^3$ לפי פיתוח של שורה ראשונה.

ב. $\underset{A}{m(x)} = (x-2)(x-1)^l$. נמצא את l. עבור l=1 נקבל $(x-2)(x-1) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ כלומר לא שווה ל-0, ולכן l גדול ממש מ-1. עבור l=2 נקבל $(x-2)(x-1)^2=0$ ולכן l=2 כלומר: $\underset{A}{m(x)} = (x-2)(x-1)^2$

ג. לפי הפולינום האופייני $\lambda = 1,2$

ד. עבור $\lambda = 2$ נקבל $\underset{2}{k} = 1$ ולכן מפני ש-$\underset{\lambda}{m} \leq \underset{\lambda}{k}$ נקבל: $\underset{2}{m} = 1$. אבל $dim(\underset{2}{V}) = \underset{2}{m} = 1$. עבור $\lambda = 1$, נחפש את $dim(\underset{1}{V}) = \underset{1}{m} = n - \rho(A)$. אבל $\rho(A) = \rho\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 2$ לפי דירוג המטריצה (לינארית 1) ולכן $dim(\underset{1}{V}) = 2$.

ה. לפי הסעיפים הקודמים נקבל שצורת הז'ורדן מורכת משתי צורות ז'ורדן G1,G2 הקשורות ל-2,1 בהתאמה. מפני שהריבוי האלגברי של הע"ע 2 הוא 1 כלומר היא מגודל 1x1, נקבל $G1 = \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}$. מפני שהריבוי האלגברי של הע"ע 1 הוא 3 כלומר היא מגודל 3x3, והריבוי הגיאומטרי הוא 2 כלומר היא מורכבת משני בלוקים, נקבל $G1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. לבסוף קיבלנו: $J = \begin{pmatrix} 2&0&0&0\\ 0&1 & 1 & 0\\ 0&0 & 1 & 0\\ 0&0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

עבור המטריצה B:

א. $\underset{B}{p(x)} = \begin{vmatrix} x-1 & -1 & 0 & 0\\ 1 & x-3 & 0 & 0\\ 1 & -1 & x-1 & -1\\ 1 & -1 & 1 & x-3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x-1 & -1\\ 1 & x-3 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x-1 & -1\\ 1 & x-3 \end{vmatrix} = (x^2-4x+3+1)^2 = (x-2)^4$ לפי היותה של B מצורת משולשית בלוקים.

ב. $\underset{B}{m(x)} = (x-2)^l$ נמצא את l. עבור l=1 נקבל $x-2 = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & -1 & 1\\ -1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ כלומר לא שווה ל-0, ולכן l גדול ממש מ-1. עבור l=2 נקבל $(x-2)^2 = 0$ ולכן l=2 כלומר: $\underset{B}{m(x)} = (x-2)^2$

ג. לפי הפולינום האופייני $\lambda = 2$

ד. עבור $\lambda = 2$ נחפש את $dim(\underset{2}{V}) = \underset{2}{m} = n - \rho(A)$. אבל $\rho(B) = \rho\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} = 2$ לפי דירוג המטריצה ולכן $dim(\underset{2}{V}) = 2$.

ה. נקבל שצורת הז'ורדן: מפני שהריבוי האלגברי של הע"ע הוא 4 כלומר היא מגודל 4x4, והריבוי הגיאומטרי הוא מגודל 2 כלומר היא מורכבת מ-2 בלוקים, וכן הבלוק הגדול ביותר הוא מגודל 2x2 נקבל: $J = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

עבור המטריצה C:

א. $\underset{C}{p(x)} = \begin{vmatrix} x-2 & 1 & -1 & 1\\ 0 & x-1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & x-3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & x-2 \end{vmatrix} = (x-2)\begin{vmatrix} x-2 & 1 & -1\\ 0 & x-1 & -1\\ 0 & 1 & x-3 \end{vmatrix} = (x-2)^2\begin{vmatrix} x-1 & -1\\ 1 & x-3 \end{vmatrix} = (x-2)^4$ לפי פיתוח לפי שורה אחרונה ולאחר מכן פיתוח לפי טור ראשון.

ב. $\underset{C}{m(x)} = (x-2)^l$ נמצא את l. עבור l=1 נקבל $x-2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ כלומר לא שווה ל-0, ולכן l גדול ממש מ-1. עבור l=2 נקבל $(x-2)^2 = 0$ ולכן l=2 כלומר: $\underset{C}{m(x)} = (x-2)^2$

ג. לפי הפולינום האופייני $\lambda = 2$

ד. עבור $\lambda = 2$ נחפש את $dim(\underset{2}{V}) = \underset{2}{m} = n - \rho(A)$. אבל $\rho (A) = \rho \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ לפי דירוג המטריצה ולכן dim(\underset{2}{V}) = 3.

ה. נקבל שצורת הז'ורדן: מפני שהריבוי האלגברי של הע"ע הוא 4 כלומר היא מגודל 4x4, והריבוי הגיאומטרי הוא מגודל 3 כלומר היא מורכבת מ-3 בלוקים, וכן הבלוק הגדול ביותר הוא מגודל 2x2 נקבל: $J = \begin{pmatrix} 2 & 1 &0 &0 \\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$