פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4

השאלה: נניח שלמטריצות $A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}$ יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות $A$ ו $B$ דומות.

פתרון:

הגדרה:

האינדקס של ערך עצמי $\lambda$ הוא $max\{k : (x-\lambda)^{k}\vert m_{A}(x)\}$

כאשר יש ע"ע יחיד הפולינום האופייני הוא $(x-\lambda)^{3}$ כמו שהראנו קודם

בגלל שהפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני האינדקס של $\lambda\in\{1,2,3\}$

נניח שהאינדקס 1

נקבל שהבלוק ג'ורדן הכי גדול בצורת ג'ורדן הוא מסדר 1

כלומר קיבלנו מטריצה סקלרית $\lambda I$ ולכן היא יחידה

נניח שהאינדקס 2

נקבל שבצורת ג'ורדן הבלוק הכי גדול $J_{m}(\lambda)$ הוא עבור m=2 ולכן נשאר לנו מקום רק לבלוק מסדר אחד כלומר צורת ג'ורדן מורכבת מ $J_{2}(\lambda)$,$J_{1}(\lambda)$

נניח שהאינדקס 3

נקבל שיש רק בלוק אחד מסדר 3

בסופו של דבר הראנו שהפולינום האופייני והמינימלי מגדירים באופן יחיד את צורת הג'ורדן ולכן נניח יש ל-A ול-B אתו פוינום אופיינו ומינימלי נקבל:

$B\sim J_{B}=J_{A}\sim A$

ומטרנזיטיביות של דמיון מטריצות$A \sim B$

נניח שיש 2 שורשים שונים $\lambda_{1},\lambda_{2}$ כלומר 2 ערכים עצמיים שונים נניח בלי הגבלת הכלליות :

$f_{A}\left(x\right)=\left(x-\lambda_{2}\right)^{2}\left(x-\lambda_{1}\right)$

נבדוק כל אחד מהאפשרויות עבור האינדקס של$\lambda_{2}$

נניח שהוא 1

נקבל שכל בלוק הוא מסדר 1 (כי האינדקס קטן מהריבוי האלגברי והריבוי האלגברי של$\lambda_{1}$ הוא 1) ולכן יש צורת ג'ורדן יחידה אלכסונית

נניח שהוא 2

נקבל שקיים בלוק מסדר 2 וזה חייב להיות $\lambda_{2}$ ולכן עוד פעם צורת ג'ורדן מוגדרת באופן יחיד ע"י הפולינים: האופייני והמינימלי ולכן מאותו נימוק כמו קודם:

$B\sim J_{B}=J_{A}\sim A$

ומטרנזיטיביות של דמיון מטריצות $A \sim B$