פתרון משוואה ממעלה 4

לפני שמתחילים

תמיד אפשר להניח שהמקדם של $x^4$ הוא $1$ (אחרת פשוט נחלק בו).

תמיד אפשר להניח שהמקדם של $x^3$ הוא $0$. למה? נניח נתון הפולינום $x^4+ax^3+bx^2+c+d$ אז נעשה הצבה $x=y-\frac{a}{4}$ ונקבל פולינום $y^4+(*)y^2+\dots$.

סך הכל נניח שאנחנו צריכים לפתור פולינום מהצורה $x^4+px^2+qx+r=0$.

דרך א

ננסה לפרק את הפולינום לגורמים ריבועיים $x^4+px^2+q+r=^{?} (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$

נפתח ונשווה מקדמים ונקבל את המערכת: $\begin{cases} 0=a+c \\ p=b+d+ac \\ q=ad+bc \\ r=bd \end{cases}$.

משלושת המשוואות הראשונות אפשר לקבל את $b,c,d$ כביטוי של $a$, ואז הצבה במשוואה הרביעית נותנת פולינום $a^6+2pa^4+(p^2-4r)a^2-q^2=0$ --- פולינום מדרגה 3 ב$a^2$ שאותו אנחנו כבר יודעים לפתור.