פתרון (אלעד איטח)

נמצא את הפולינום האופייני של המטריצה המקורית: $p(x)=\left |xI-A \right |=\left | \begin{pmatrix} x-1 &0 &-1 \\ 0& x-1 &0 \\ 0& 0 & x-1 \end{pmatrix} \right |=(x-1)^{3}$

השורש היחיד של פולינום זה הוא x=1, ולכן זהו הע"ע היחיד של A המטריצה המקורית. לפי משפט קיילי-המילטון: $P(A)=(A-I)^{3}=0$ לכן המטריצה A-I היא נילפוטנטית, ניתן לחשב ולקבל ש- $(A-I)^{2}=0$ אבל $A-I\neq 0$

לכן המטריצה A-I היא נילפוטנטית מאינדקס 2. לפי משפט ז'ורדן עבור מטריצות נילפוטנטיות, קיימת ל-A-I צורת ז'ורדן, והבלוק הגדול ביותר שלה הוא בלוק ג'ורדן עם ע"ע 0 מסדר 2. A-I היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן של A-I היא המטריצה הבאה: $J=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 \\ 0& 0 & 0\\ 0& 0 & 0 \end{pmatrix}$

קיימת מטריצה P הפיכה כך ש- $P^{-1}(A-I)P=P^{-1}AP-I=J$ ולכן $P^{-1}AP=J+I$

J+I היא סכום ישר של בלוקי ז'ורדן שהע"ע שלהם הוא 1, וקיימת P הפיכה כך ש- $P^{-1}AP=J+I$ לכן, המטריצה $G=J+I=\begin{pmatrix} 1& 1 &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}$ היא צורת הז'ורדן של A.