פתרון 2(אלעד איטח)

נעבוד בדיוק באותה שיטת עבודה שבה השתמשתי בפתרון הקודם שלי: נמצא את הפולינום האופייני של המטריצה: $P(x)=\left | xI-A \right |=\left | \begin{pmatrix} x-5 & -2 & -1\\ 0 & x-5 & 2\\ 0 & 0 & x-5 \end{pmatrix} \right |=(x-5)^{3}$ לכן x=5 הוא הע"ע היחיד של A.

לפי משפט קיילי-המילטון: $P(A)=(A-5I)^{3}=0$ לכן המטריצה A-5I היא נילפוטנטית. אחרי חישובים נקבל ש- $(A-5I)^{3}=0$ אבל $(A-5I)^{2}\neq 0$ לכן המטריצה A-5I היא מטריצה נילפוטנטית מאינדקס 3. לפי משפט ז'ורדן עבור מטריצות נילפוטנטיות, קיימת ל-A-5I צורת ז'ורדן, שבה הבלוק הגדול ביותר (והיחיד) הוא בלוק ז'ורדן של ע"ע 0 מסדר 3. לפיכך, קיימת מטריצה הפיכה P כך ש- $P^{-1}(A-5I)P=J=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}= P^{-1}AP-5I$

לכן $P^{-1}AP=5I+J=\begin{pmatrix} 5 & 1 &0 \\ 0 & 5 &1 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}=G$

כלומר, קיימת מטריצה P הפיכה כך ש- $P^{-1}AP=G$ ו-G היא בלוק ז'ורדן בעל ע"ע 5 מסדר 3. לסיכום, G הנ"ל היא צורת הז'ורדן של A המקורית.