פתרון 4 (אלעד איטח)

א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא $f_{A}\left(x\right)=\left|xI-A\right|=\left|\begin{array}{ccc} x-1 & 1 & 1\\ 0 & x-1 & 1\\ 0 & 0 & x-2 \end{array}\right|=\left(x-1\right)^{2}\left(x-2\right)$

ב. לפולינום המינימאלי של $A$ יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של $A$ . אחרי חישוב נקבל ש- $(A-I)(A-2I)\neq 0$ כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של $A$ שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את $A$ . לכן הפולינום המינימאלי של A הוא $m_{A}(x)=f_{A}(x)=(x-1)^{2}(x-2)$ .

ג. הע"ע של $A$ הם שורשי הפולינום האופייני של $A$ , שהם $2$ ו $1$ .

ד. נגדיר $k_{\lambda }$ -הריבוי האלגברי של ע"ע $\lambda$ ו- $m_{\lambda }$ הריבוי הגיאומטרי שלו. הריבוי האלגברי של ע"ע $\lambda$ מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר $k$ שעבורו $(x-\lambda)^{k}$ מחלק את הפולינום האופייני של $A$ . לכן, $k_{1}=2$ $k_{2}=1$ הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל $1$ . לכן, $1\leq m_{2}\leq 1\Rightarrow m_{2}=1$ .

הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך, $m_{1}=dimN(A-I)=dimN\begin{pmatrix} 0 &1 &1 \\ 0 &0 &1 \\ 0 &0 & 1 \end{pmatrix}=dim(Sp\left \{ e_{1} \right \})=1$

ה.הפולינום האופייני של $A$ מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל $A$ . מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד. A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1. הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם $(x-\lambda)$ בפולינום המינימאלי של $A$ . לכן, הבלוק הקשור לע"ע $2$ הוא מסדר $1$ והבלוק הקשור לע"ע $1$ הוא מסדר $2$ . לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא $J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} 1 &1 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix}$