הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון 8 (אלעד איטח)"
(יצירת דף עם התוכן "נמצא את הפולינום האופייני של A: <math>f_{A}(x)=\begin{vmatrix} x-3 &-1 &0 \\ 0 &x-2 &0 \\ 0 &0 &x-2 \end{vmatrix}=(x-2)^{2}(x-3)</mat...") |
Noamlifshitz (שיחה | תרומות) |
||
| שורה 10: | שורה 10: | ||
הריבוי הגיאומטרי של 3 גדול או שווה ל-1 וגם קטן או שווה לריבוי האלגברי שלו (1). | הריבוי הגיאומטרי של 3 גדול או שווה ל-1 וגם קטן או שווה לריבוי האלגברי שלו (1). | ||
לכן, הריבוי הגיאומטרי של 3 הוא 1. | לכן, הריבוי הגיאומטרי של 3 הוא 1. | ||
| − | נחשב ונקבל ש- <math>(A-2I)(A-3I)= | + | נחשב ונקבל ש- <math>(A-2I)(A-3I)=O</math> |
כלומר, קיים פולינום מתוקן ומאפס של A, ממעלה הנמוכה ביותר כך שיש לו אותם גורמים | כלומר, קיים פולינום מתוקן ומאפס של A, ממעלה הנמוכה ביותר כך שיש לו אותם גורמים | ||
גרסה אחרונה מ־11:51, 5 בינואר 2012
נמצא את הפולינום האופייני של A:
שורשי פולינום זה הינם הע"ע של A. לכן, 2 ו-3 הם ע"ע של A, מריבוי אלגברי 2 ו-1 בהתאמה.
הריבוי הגיאומטרי של 3 גדול או שווה ל-1 וגם קטן או שווה לריבוי האלגברי שלו (1).
לכן, הריבוי הגיאומטרי של 3 הוא 1.
נחשב ונקבל ש- 
כלומר, קיים פולינום מתוקן ומאפס של A, ממעלה הנמוכה ביותר כך שיש לו אותם גורמים
אי-פריקים כמו הפולינום האופייני. לכן, 
הוא הפולינום
המינימלי של A. הפולינום האופייני מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן של A ש-A דומה לה. בצורה זו, מס' הבלוקים של כל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי והבלוק הגדול ביותר של ע"ע t הוא מסדר השווה
לחזקה של x-t בפולינום המינימלי של A. לכן יש בלוק אחד מסדר 1 של הע"ע 3 והבלוק הכי גדול של הע"ע 2 הוא מסדר 1. צורת הז'ורדן של A היא מסדר 3. לכן בצורה זו יש גם שני בלוקים מסדר 1 של הע"ע 2.
לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא 
כלומר, A דומה למטריצה אלכסונית. לפיכך, התשובה הנכונה היא ש-A לכסינה.
