קבוצה פורשת

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

קבוצה B של וקטורים במרחב וקטורי V מעל שדה F פורשת את המרחב, אם כל וקטור ב-v הוא צירוף לינארי (עם מקדמים מ-F) של וקטורי B.

כל קבוצה B פורשת את הקבוצה הנפרשת על-ידיה.

המקרה הסופי. נניח ש-\ B = \{v_1,\dots,v_n\} היא קבוצה סופית. אז B פורשת את V אם לכל \ v\in V קיימים \ a_1,\dots,a_n \in F כך ש-\ v = a_1v_1 + \cdots + a_n v_n.

המקרה הכללי. כאשר B אינה סופית נדרשת הגדרה מעט יותר מורכבת: B פורשת את V אם לכל \ v\in V קיימים \ b_1,\dots,b_n \in B ו-\ a_1,\dots,a_n \in F כך ש-\ v = a_1v_1 + \cdots + a_n v_n (אפשר להשתמש, כביכול, בוקטורים שונים מ-B לכל וקטור v).

דוגמאות

וקטורי היחידה \ e_1,\dots,e_n פורשים את מרחב הוקטורים \ F^n. הקבוצה \ \{1,x,x^2,\dots\} פורשת את מרחב הפולינומים \ F[x].

הקשר לבסיסים

קבוצה פורשת ובלתי תלויה היא בסיס. כל קבוצה פורשת של V מכילה בסיס. כל קבוצה המכילה בסיס היא פורשת.