'''ואכן מתקיים <math>(x,y)=(x-\frac{1}{2}y)(1,0)+\frac{1}{2}x(1,2)</math>.
''' עבור ה"ל, המטריצה הנ"ל מקיימת <math>[T]^A_D=[I]^A_BC_D[T]^B_C[I]^C_DA_B</math>, כלי שימושי מאוד כאשר מעדיפים למצוא מטריצה מייצגת עבור בסיסים נוחים יותר. באופן כללי ניתן להסתכל על מטריצת מעבר כמקרה פרטי של מטריצה מייצגת עבור T=I העתקת הזהות.
'''כמו כן מתקיים
1- ראיתי שנאמר באחד השיעורים (או תרגולים, לא זוכרת) שאם A מטריצה ממשית עם פ"א מל"ל אז היא נורמלית אם"ם היא צמודה לעצמה אם"ם היא לכסינה אורתוגונלית. מדוע ולמה?
'''"צמודה דומה לעצמה"? כל מט' היא צמודה דומה לעצמה. צמידות דמיון הוא יח"ש. תבדקו שוב. בכל מקרה נורמלית ומל"ל אומר שהיא לכסינה- הוכחנו את זה. הראינו שנורמלית ומשולשית=>אלכסונית, וישר אחרי הסקנו נורמלית ושלישה=> לכסינה. ''אוקיי, הבנתי למה משולשית ונורמלית היא אלכסונית. ההסקה לגבי נורמלית+שלישה => לכסינה היא ישירה? (כלומר, צריך להראות משהו, או שמספיק לציין את המעבר?)'' ''מה זאת אומרת כל מטריצה צמודה לעצמה? כל מטריצה A מקיימת A*=A?ובכל מקרה- איך הנורמליות נותנת לכסינות?'' '''אההה סליחה! סליחה! עבור מטריצות משתמשים במושג דימיון עבור המושג הכללי של מחלקות צמידות: <math>\bar{b}=\{x:\exists a:axa^{-1}=b\}</math>. סליחה!!! כמובן שכוונתך לאופרטור צמוד <math>A^*</math>. '''<math></math> זה נכון מעל R כי אם <math>P^*AP=D</math> אז <math>(P^*AP)^*=P^*A^*P=D^*=D</math> ולכן <math>A=PDP^*=A^*</math>. '''לגבי החלק השני של השאלה, כאמור, הוכחנו את זה בתירגול מיד אחרי נורמלית+משולשית=אלכסונית. עדי לא קרה כלום...(כתבת דומה לעצמה ולא שמתי לב בכלל...) ותודה רבה!
2- האם יש משפט שאומר: אם הפולינום המינימלי מל"ל שונים אז המטריצה לכסינה? (אני שואלת בגלל פתרון שאלה 2 בתרגיל 5)
'''כן. זה אפילו אמ"מ, המל"ל יעיד על מל"ל בפ"א וה"שונים" יעיד על שוויון ריבויים.
''הבנתי, בגלל שהבלוק הכי גדול של כל ע"ע הוא מסדר 1, ואז מספר הבלוקים בצורת ז'ורדן של כל ע"ע שווה למספר ההופעות שלו. מגניב.
''
3- אם וקטורי בסיס או"נ מוצגים לפי בסיס או"נ אחר, הם עדיין מאונכים זה לזה (ונורמליים). איך מוכיחים?
'''ע"י מטריצת המעבר והקריטריות והקריטריון לאוניטריות (המשפט עם 4 התנאים השקולים). '' את מתכוונת למשפט שבין השאר יש שקילות בין A אוניטרית ל-A מט' מעבר בין בסיסים או"נ, נכון? הוכחנו אותו בתרגול, אבל את ההוכחה של מה ששאלתי השארת לנו לעשות בבית (ולא הצלחתי)...'' '''מה הגרירה שחסרה אוניטרית=>מעבר או מעבר=>אוניטרית? חסר מעבר=>אוניטרית '''האמת שדווקא את הכיוון הזה אני זוכרת שעשיתי, עם ה-I בשני שלבים.אני אתן שני הכיוונים על כל מקרה: '''מט' מעבר בין בסיסים א"נ היא אוניטרית: '''<math>A=[I]^B_C=[I]^S_C[I]^B_S=>AA^*=[I]^S_C[I]^B_S([I]^B_S)^*([I]^S_C)^*=[I]^S_CI([I]^S_C)^*=I</math> '''(כי B ו-C א"נ). ''הבנתי. ממש תודה!'' '''מט' אוניטרית היא מט' מעבר בין בסיסים א"נ: '''<math>AA^*=I</math>לכן A הפיכה ולכן היא מעבר בין שני בסיסים: <math>A=[I]^B_C</math> לכן קיים בסיס D כך ש <math>A=[I]^D_S</math> (עבור S הבסיס הסטנדרטי), פשוט ניקח את D להיות עמודות A. ונקבל <math>I=A^*A=(\overline{[I]^D_S})^{t}[I]^D_S</math> ולכן אם נסמן <math>D=\{v_1,...,v_n\}</math> אז <math><v_i,v_j>=\delta_{i,j}</math>. עדי
4- למה מעל C (שדה המרוכבים) משתמשים במונח "אוניטריות" ומעל R (שדה הממשיים) משתמשים ב"אורתוגונליות"? הרי גם מעל C, עמודותיה של מטריצה אוניטרית הן אורתוגונליות (ולהיפך)...
'''כי לא מכפילים וקטור בוקטור, אלא וקטור בצמוד.
== שילוש/לכסון אוניטרי ==
האם כל מטריצה (או העתקה) שלישה היא שלישה אוניטרית? וכל מטריצה לכסינה היא גם לכסינה אוניטרית?
אם לא, מה מונע מאיתנו לקחת את הבסיס שהשתמשנו בו לשילוש או לכסון ולהפוך אותו לאו"נ בעזרת גראם-שמידט?
''' התנאי: על המ"ו להיות מצוייד במ"פ. עדי
== שאלות ממבחן ==
היי
במבחן המצורף אני לא מצליחה את שאלה 6 ולא בטוחה בקשר להפרכה בשאלה 7...אשמח לעזרה וכיוונים ..
תודה :)
[[מדיה:dugma.doc|מבחן שמצאתי]]
'''לגבי 6: גם אני לא רואה קשר למימד וגם לא לממשיים. רק חשוב לציין מדוע האלכסון חיובי. בגדול הדרישה היא אי שליליות-צייני זאת, ואז כפי שרשמת-האפס יורד כי הוא יגרור שיש וקטור אפס בבסיס, מה שלא יכול לקרות. אבל חשוב לציין זאת. אני אנסה לברר עם כותב המבחן את פשר האי זוגיות והממשיות, יכול להיות שהוא רצה לומר משהו על הדטרמיננטה.
'''לגבי 7: הדוגמא שנתת איננה נגדית היות והם כן מאונכים. בכל מקרה, כשאת נותנת דוגמא נגדית תראי את החישוב לכך שהיא נגדית ובמקרה הזה גם תאמרי ביחס לאיזו מ"פ.
'''איך נמצא דוגמא? אז שימי לב מה החישוב שלך אומר, את רוצה שהמ"פ בין שני הוקטורים תהיה מרוכבת טהורה. ניקח למשל שני מספרים מרוכבים ביחס למ"פ הסטנדרטית ונראה מה זה אומר (מספיק לך מרחב ממימד אחד, ולא 2, כמו שלקחת. לדוגמא נגדית תמיד תלכי על הכי פשוט):
'''<math><a+ib,c+id>=(a+ib)(c-id)=ac+bd+i(bc-ad)</math>
'''כאשר החלק שאנחנו רוצים שיתאפס הוא <math>ac+bd</math>, למשל כאשר <math>-a=d</math> ו- <math>c=b</math>.
'''לדוגמא כש-
<math>u=1+2i</math>
<math>v=2-i</math>
'''אכן מתקיים
'''<math><u+v,u+v>=<3+i,3+i>=9+1=10</math>
'''<math><u,u>+<v,v>=1+4+4+1=10</math>
'''אבל (ופה אנחנו משתמשים בהכנה הקטנה שעשינו כדי למצוא את הדוגמא הנגדית)
'''<math><u,v>=<1+2i,2-i>=(1+2i)(2+i)=2-2+i(1+4)=5i</math>
'''ולכן הם לא מאונכים.
עדי
== תרגיל חזרה ==
אני יכולה להגיד בתרגיל 10 שאם הפונקציה שייכת למאפס אז היא הע"ל?
'''בוודאי. המאפס מוכל בדואלי, המרחב הדואלי הוא אוסף ה"ל שטווחן הוא השדה. עדי
==שאלה ממבחן==
הי עדי
אני מצרפת לינק של מבחן בלינארית של דר צבאן, רציתי שתתני לי כיוונים להוכחות של השאלה הראשונה לסעיפים א-ד,
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/LA2T71a.pdf
תודה רבה
>>'''לגבי א, תבדקי בנפרד אייברי אלכסון, ואייברים מחוץ לאלכסון.
'''נזכיר שהאיבר במקום הk,j באדג' A מתקבל ע"י דטרמיננטה של המינור הj,k, כלומר סכום כל התמורות הכוללות את <math>a_{j,k}</math> אשר נמחק מהתמורה.
'''לכן באייברי אלכסון המכפלה
<math>b_{i,i}=\sum a_{i,k}a'_{k,i}= \sum a_{i,k}|A_{i,k}|=|A|</math>
'''(כאשר <math>a</math> הם רכיבי A, רכיבי המכפלה הם <math>b</math> ו-<math>a'</math> הם אייברי האדג')
'''תפתחי את הנוסחאות של אדג' ודט' ותיראי שזה אכן נכון.
'''מחוץ לאלכסון: במקרה הזה במקום ה-i,j יופיע פיתוח הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת על ידי החלפת השורה ה-i ב-A בשורה ה-j, כאשר פיתוח הדטרמיננטה נעשה לפי השורה ה-i. אם i אינו j, הדטרמיננטה המתקבלת היא של מטריצה בה השורה ה-i מופיעה פעמיים ולכן היא אפס.
'''לגבי ד, פשוט מאוד פתחי את הנוסחא מ-א עבור אדג' במקום A, כלומר
<math>adjA\cdot adj(adj(A))=|adjA|I</math>
'''וכמו כן הסיקי מ-א' כי ההופכי לA הוא אדג' חלקי דטA וההופכי לאדג' הוא A חלקי דטA.
'''שילוב שלהם יתן לך בדיוק את הנוסחא המבוקשת.
'''עדי