שיחה:88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון

ארכיון 1

ארכיון 2

שאלות

מבחן תש"ע מועד א' שאלה 3 סעיף ב

מספר התמורות של 1..n כך שאף מספר זוגי לא במקומו. נראה לי שהתשובה לשאלה נקטעה באמצע מכיוון שהתשובה מכילה רק את עוצמת כל האיחודים של תמורות של מספרים זוגיים שכן נמצאים במקומם. צריך להוריד את כל האיחודים ממספר התמורות האפשרויות, נכון ? ולא מופיעה תשובה לסעיף ג' שאני גם לא בטוח לגבי הפתרון שלה.הוכחה קומבינטורית: מספר תתי הקבוצות מגודל זוגי (מקבוצה בגודל זוגי) שוות למספר תתי הקבוצות מגודל אי זוגי (מקבוצה בגודל זוגי).

לא ברורה לי השאלה הראשונה לגמרי, אבל אני לא רואה שהתשובה שם קטועה. יש שם את סכום האפשרויות לכל הקבוצות, פחות סכום האפשרויות לחיתוך של שתיים, ועוד סכום האפשרויות לחיתוך של שלוש וכן הלאה. בדיוק לפי נוסחאת ההכלה וההדחה.

אני לא רואה מה הוכחה במה שרשמת. למה שיהיה שיוויון בין שני הדברים האלה? האם מספר תתי הקבוצות מגודל 3 מקבוצה בגודל 100 שווה לתתי הקבוצות מגודל 2 מקבוצה מגודל 3? בוודאי שלא... --ארז שיינר

שאלה תרגיל 7

מישהו יכול בבקשה להסביר לי למה לחלק 10k כדורים שונים בk תאים שונים זה k בחזקת 10k ולא הפוך (זאת אומרת 10k בחזקת k) ובנוסף לזה מה ההבדל בין תאים זהים לתאים שונים?

מכיוון שלכל כדור יש k אפשרויות לבחור תא. לכן כופלים את מספר התאים בעצמו בחזקת מספר הכדורים.

כאשר התאים שונים, אם הכנסת 2 כדורים לראשון וכדור לשני קיבלת מצד שונה מאשר מישהו שהכניס 2 כדורים לשני וכדור לראשון. אם התאים זהים אין הבדל בין מצבים אלו. (למשל כאשר אתה מנסה לפתור בעייה קומבינטורית של חלוקת אנשים לקופאיות. לא מעניין אותך לאיזה קופאית הם הולכים, אלא רק מעניין אותך שהתורים יתפזרו באופן אחיד). --ארז שיינר

מועד א' 2008 שאלה 6,7

דבר ראשון - למה בשאלה 7 במבחן הציפור במקום ה-(2,3) הפוכה? זה אמור לרמוז לנו משהו? (וכן, ניסינו להפוך את המסך).

דבר שני (רציני הפעם... סוג של) - מה היא F בשאלה 6 באותו מבחן? ניסינו לבדוק בפתרונות אבל גם שם ה-F לא כתובה.

בתודה מראש, ג.יפית (שנורא מתעניינת במתמטיקה בדידה)

היי ג. יפית, כמדומני שרשום שם שF הינה קבוצת כל היחסים מA לB. תנסי, זה כדאי. --ארז שיינר

אפשר אולי קצת עזרה בשאלה 6 בתרגיל 7

במקרה שמספר האנשים יותר גדול מהמקומות בספסל ברור לי למה אין אפשרות כזאת בגלל שאתה רוצה שהחזרות יהיו אסורות ואם תנסה לסדר תקבל ששני אנשים ישבו אחד על השני וזה אסור אבל איך מסבירים את זה מתמטית? בנוסף אם אפשר כיוון לשאלה 7

מה הכוונה אחד יישב על השני? זה בדיוק יחס שאינו חד ערכי בין כסאות לבין האנשים שיושבים עליהם. בכיוון ההפוך, זו פונקציה שאינה חח"ע בין האנשים לבין הכסאות עליהם הם ישובים. ניתן להגדיר באחת הדרכים הללו ולהוכיח שהיא לא תתכן (עקרון שובך היונים, למשל).

בקשר לשאלה 7- מבלי לפתור אותה בעצמי, זה נשמע כמו הכלה והדחה. בכמה מקרים התא הראשון יהיה גדול מהתא השני. בכמה מקרים התא הראשון יהיה גדול מהשני וגם השלישי יהיה גדול מהשני? וכדומה. --ארז שיינר

הרבה פעמים מגדירים ש k over n כאשר n גדול מ k הוא 0.

מבחן שנת 2007 מועד ב'

בסעיף ג' של שאלה 6 באותו מבחן יש סימן של + בתוך O שאני מזהה מלינארית, אך לא מבין מה משמעותו בבדידה.

עריכה: לא משנה, בשאלה 1 במבחן שנת 2007 מועד א' מצאתי שמשמעותו ההפרש הסימטרי.

תרגיל 7 שאלה 8 ו- 10

שאלה 8 - לבחור k שלמים מתוך n מספרים כך שלא יהיו בינהם מספרים עוקבים. תשובה n+1-k מעל k. אני לא מצליח להבין למה זאת התשובה ? שאלה 10 - לחלק k שקלים לn ילדים כאשר לא אכפת לנו כמה שקלים כל ילד יקבל. שוב התשובה היא n+1-k מעל k. ושוב אני לא מבין אותה :) אני מבין שאין חשיבות לסדר אבל זה לא מסתדר לי בראש.

שים לב, זו לא אותה תשובה בשתי השאלות, באחת זה מינוס k ובשנייה פלוס. בשאלה עם השקלים, היא שקולה לבחירת k ילדים עם חזרות ולא ממשמעות לסדר (אם בחרתי ילד ספציפי 3 פעמים יש לו שלושה שקלים, וזה לא משנה מתי הוא קיבל אותם). לגבי השאלה עם המספרים העוקבים, אני לא בטוח איך אפשר להגיע ישירות לנוסחא. אני הייתי מנסה הכלה והדחה על מנת לפתור את התרגיל, אבל ייתכן ואני מפספס משהו. --ארז שיינר

הבנתי לגבי הילדים והשקלים, תודה. ומצאתי פתרון עם הסבר טוב לגבי העוקבים - http://math-wiki.com/images/9/94/10BdidaTargil5Sol.pdf. פתרון לשאלה 6.

אני הסתכלתי על זה בדרך טיפה שונה: לקחתי שני מספרים קיצוניים 1-,n+2 ואמרתי שיש k+2 מספרים עכשיו וסכום k+1 ההפרשים באמצע הגדולים שווים 2 הוא n+3 לכן זה שקול למשוואה של k+1 אי שליליים שסכומם (n+3-2(k+1 ויוצאת אותה תשובה.

אתה יכול להסביר קצת יותר ? לא הבנתי.

תרגיל 5 משנה שעברה שאלה 4

סעיף ד'. להבדיל מהסעיף הקודם, מכפילים את האיחודים בין A1 לA2 ב2. וגך גם עבור שאר האיחודים. לא הצלחתי להבין בשביל מה.

כמדומני שיש שם טעות בסימונים. אבל בכל מקרה, ההבדל מהסעיף הקודם הוא שכעת אתה לא רוצה בדיוק את האיחוד, אלא את האיחוד ללא החיתוכים (הרי אתה לא רוצה מספר שמתחלק גם ב3 וגם ב4). הורדת החיתוכים היא בדיוק ההבדל בנוסחא (שים לב גם שהאיחוד המשולש נכפל ב3). --ארז שיינר

השיעור חזרה מחר

האם הוא יעלה לאתר?

לא, זה יהיה שאלות ותשובות. --ארז שיינר

שאלה כללית על יחס סדר חלקי ואנטי -סימטריות

נתונה לי קבוצה A={1,2,3} האם R הזה הוא יחס סדר חלקיR={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)}p ? האם ה-איבר (1,2) עושה את היחס אנטי סימטרי וטרנזטיבי? והאם כל יחס שאינו סימטרי הוא אנטיסימטרי? תודה

כן זה יחס סדר חלקי. האיבר (1,2) לבדו לא "עושה" את זה. לא כל יחס שאינו סימטרי הינו אנטי סימטרי למשל $R=\{(1,1)(1,2)(2,1),(1,3)\}$ --ארז שיינר

האם אפשר לקבל פתרונות לתרגיל 3?

תודה

מבחנים, חידות

אפשר בבקשה לקבל רשימה עם מבחנים של אפי ושל שי שלא נמצאים במאגר מבחנים פה?

ואפשר בבקשה גם רשימה של כל החידות שהיו? כי חיפשתי ומצאתי רק את הראשונה.. :\

אין לי מבחנים אחרים, ולא פורסמו חידות אחרות לכלל התלמידים --ארז שיינר

מבחן תש"ע מועד א שאלה 6 סעיף א

"נתונים n כדורים זהים שחורים וכדור לבן אחד ו n+1 קופסאות שונות.כל קופסא יכולה להכיל לכל היותר כדור אחד. בכמה דרכים ניתן למקם כדור אחד או יותר."

• השאלה סותרת את עצמה ? לגבי כמות הכדורים בקופסא אני מתכוון.
• התשובה כוללת שתיים בחזקת אן ועוד אחד (בתור פורמולה זה התחרבש שלי) למה יש כל פעם שתי אפשרויות ? אם כדור נמצא בקופסא או לא ?

אני אשמח להסבר לגבי השאלה והתשובה.

אני אסביר קודם את השאלה, אם עדיין לא תבין אסביר גם את התשובה. הכוונה היא לסדר כדור אחד בין הקופסאות, שני כדורים בין הקופסאות וכולה. כלומר, אתה לא חייב לסדר את כל הכדורים, זו הכוונה והיא אינה סותרת את התנאי שאם בחרת לסדר את כל הכדורים, כל אחד מהם יהיה בקופסא נפרדת. --ארז שיינר

אז לכל כדור יש שתי אופציות, להיות בקופסא או לא להיות בה ?

כן, וגם זו שאלה איפה הכדור הלבן נמצא (או שהוא לא נמצא בכלל) --ארז שיינר

מבחן תש"ע מועד א 3 סעיף ג'

זאת השאלה הקומבינטורית שהתכוונתי אליה בכיתה. $sigma(0-n) C(2n,2k)= sigma(1-n) C(2n,2k-1)$ אין לשאלה תשובה במבחנים. ניחוש שלי: קשור לתת קבוצות בגודל זוגי ותת קבוצות בגודל אי זוגי.

אני חושב שהכוונה היא זו: $0=((-1)+(+1))^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n \choose k}(-1)^k(1)^{2n-k}=\sum_{k=0}^n{2n \choose 2k}-\sum_{k=1}^n{2n \choose 2k-1}$ --ארז שיינר

לא הבנתי את המעבר מהשלב הראשון לשני. תודה.

מימין או משמאל? מימין הסכום על כל המספרים זה הסכום על הזוגיים והאי זוגיים בנפרד, כאשר האי זוגיים הם במינוס בגלל המינוס אחד בחזקת k. מצד שמאל, מתקיים שאחד ועוד מינוס אחד שווה אפס, ואפס בחזקת כל דבר זה אפס. --ארז שיינר

לא הבנתי מימין. לאן נעלם ה2k איך הם נהפכו לk? יש איזה מעבר ביניים אולי ? כי אני מבין את הבינום (נראה לי) אבל המעבר הזה עדיין לא מובן לי.

זה מה שהסברתי - תסתכל על זה משמאל לכיוון ימין. יש לך סכום על 2n מספרים. פיצלתי אותו לשני סכום של n מספרים - הזוגיים והאי זוגיים. הזוגיים מסומנים ב2k והאי זוגיים ב2k-1. בקיצור, שים לב שמשמאל יש 2n מחוברים וגם מימין יש סה"כ 2n מחוברים. --ארז שיינר

עכשיו הבנתי ! תודה.

מועד ב' 2010

בשאלה 5 סעיף ג' מבקשים למצוא מס ת"ק שאינם מכילים את {1,2} אז מספיק למצוא את מספר (ת"ק שאינם מכילים את {1} איחוד עם ת"ק שאינם מכילים את {2}) ?? כי בפתרון לא עושים ככה וגם התשובה לא יוצאת אותו דבר (השוותי ביניהם במחשבון) אם מה שאמרתי לא נכון אז אפשר הסבר גם למה?

למה זה לא מה שהם עושים בפתרון? זה בדיוק מה שעושים בפתרון. פשוט לפי הכלה והדחה עוצמת האיחוד היא סכום העוצמות פחות עוצמת החיתוך... --ארז שיינר

בפתרון הם לוקחים 3 אפשרויות 1-ש{1} מוכל ו{2} לא. 2-ש{2} מוכל ו{1} לא ו3-ש{1,2} לא מוכל. אבל למה כזה ארוך מספיק למצוא ת"ק שבהן {1} מוכל איחוד עם ת"ק שבהן {2} מוכל. לפי הדרך שלי לא יוצאת אותה תשובה כמו הדרך של הפתרון.

אולי תרשום את הדרך שלך? כמו שאמרתי, חישוב האיחוד נעשה עם הכלה והדחה. בלי לראות את הדרך אני לא יכול לדעת מה הטעות... --ארז שיינר

אמרתי לך אני אמרתי שמס' ת"ק של {1,....n} בגודל K שאינם מכילות את {1,2} זה בעצם מס'(ת"ק שאינן מכילות את {1} איחוד עם ת"ק שאינן מכילות את {2})

עד פה נכון. --ארז שיינר

עוצמות. מבחן תשס"ט שאלה 4 סעיף ג

אני לא מבין משהו שחוזר בהרבה מאוד שאלות. a<b אלה שתי עוצמות של קבוצות. למה a^b = 2^b ? בתשובה רשום שהוכחנו משפט כזה בכיתה כאשר איי גדולה מאחד ובי גדולה מאיי ובי עוצמה אינסופית הנל נכון. לא מצאתי את המשפט הזה בהרצאות.

הוכחה כאן --ארז שיינר

בעע פספסתי את זה, תודה.

אפשר הוכחה לכך שכל יחס שקילות מחלק את הקב' למחלקות שקילות

אם אנחנו מחלקים קבוצה לתתי קבוצות זרות, היחס שמקשר בין איברי אותה קבוצה הינו יחס שקילויות. האם הכיוון ההפוך גם נכון? כלומר, האם כל יחס שקילויות מחלק קבוצה לתתי קבוצות זרות שאיחודן נותן את הקבוצה כולה. התשובה איפוא היא כן, יחס שקילויות מחלק קבוצה לתתי קבוצות כאלה (תרגיל קל). ניסיתי להוכיח ונתקעתי.

תגדיר את תתי הקבוצות בתור מחלקות השקילות - מחלקת שקילות של איבר x הינה אוסף כל האיברים שהם ביחס ל-x. כעת, אם נביט בשני מחלקות שקילות של x,y נגלה שהן שוות או זרות. לכן אוסף כל מחלקות השקילות השונות הוא חלוקה. --ארז שיינר

מערך תרגיל 7

תרגיל. הוכח שעוצמת קבוצת החזקה של A תמיד גדולה מעוצמתה של A

הוכחה. קל להראות שקיימת העתקה חח"ע ועל בין אוסף הפונקציה [1] (כל קבוצה חלקית אומרת בעצם על כל איבר של A אם הוא שייך (1) או לא שייך (0). למשל הפונקציה המתאימה לקבוצה הריקה היא פונקצית האפס, והפונקציה המתאימה לקבוצה כולה היא הפונקציה 1).פונקציה זו עומדת בתנאי התרגיל לעיל ולכן עוצמתה גדולה מעוצמת A אבל זהה לעוצמה של קבוצת החזקה, כפי שרצינו.

אשמח להבהרה :

• אוסף הפונקציות - הכוונה כל הפונקציות האפשריות מאיי לקבוצה 0,1 ?

כן, אוסף כל הפונקציות שמקורן בA ותמונתן בקבוצה 0,1.

• אוסף הפונקציות שקול לP(A) ? זתאמרת העוצמה שלה שתיים בחזקת איי ? ובגלל זה היא גדולה יותר מהעוצמה של איי ?

אוסף הפונקציות מעוצמה גדולה יותר לפי התרגיל הראשון באותו דף (שכן עוצמת הקבוצה 0,1 הינה 2). הוא שקול לP(A) לפי ההתאמה החח"ע ועל המתוארת שם --ארז שיינר

תירגול 5 שנה שעברה שאלה 3

לא הבנתי את ניסוח השאלה. מה הכוונה בלי הגבלות ? מה בלי הגבלות?

ההגבלות הן בסעיפים הבאים... השאלה היא כמה אפשרויות יש להטלת קובייה n פעמים --ארז שיינר

מספר יחסי שקילות על קבוצה

אני ראיתי תרגיל עם קבוצה מגודל 4 איברים והאם יש לה 18 יחסי שקילות. ומצאתי 15 יחסי שקילות יש יחסים שלא מצאתי? יש נוסחא לכזה דבר ?

שאלה טובה. מזל ששמנו אותה בתרגיל הבית השני שאלה שלוש... --ארז שיינר

כן, זה 15. (באופן די מפתיע הנוסחא הרקורסיבית היא הפשוטה ביותר כשיש בה סיגמא ומקדמים בינומיילים, נקרא גם 'מספרי בל')... אני תוהה האם אפשר למצוא לזה נוסחא פשוטה יותר(לחישוב).

לגבי הבוחן

אפשר לפרסם את התשובה לשאלה הראשונה בבוחן, תורת הקבוצות עם הוכח/הפרך?

תשובה

א. הוכחה:

• ידוע כי $A\cup C \subseteq B$ נובע בקלות ש $A\subseteq B$ ולכן $A\cap B = A$. לכן $A\subseteq C^C$ ולכן $\forall a\in A : a\notin C$ ולכן $A\cap C = \phi$

ב. הוכחה:

• נניח $C\subseteq A$ לכן $A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C) = (A\cap B)\cup C$

• נניח $(A\cap B)\cup C = A\cap(B\cup C)$ קל לראות כי $C\subseteq (A\cap B)\cup C = A\cap(B\cup C) \subseteq A$

שאלה

אשמח לקבל הסבר על איך פותרים את התרגיל 2 ג במבחן http://math-wiki.com/images/b/b7/BdidaExamMoedA2005.pdf..

ראה שאלות מעליך... --ארז שיינר

בתרגיל 4 , שאלה 5

?אני לא בטוח למה הם התכוונו שם- האם זו דוגמא טובה f(1,{1})={{{1}}} והאם אפשר ניסוח של התמונה של הפונקציה במילים?

תודה

בדוגמא שלך יש סוגריים מסולסלים מיותרים. במילים, $f(x,U)$ הינו אוסף כל תתי הקבוצות של U המכילות את x. --ארז שיינר

מה זה אומר A-B כA,B קבוצות?

אם זה הפרש, למה לא רשמו A/B?

איך אני יכול לדעת מבלי מראה מקום? אם אני אמור להסיק את זה באופן כללי, סימן שזה סימון דיי ברור וזו הסיבה שלפעמים מסמנים הפרש במינוס --ארז שיינר

שאלה 3 http://www.math-wiki.com/images/7/77/BdidaExamMoedB2008.pdf

לדעתי זה אכן הפרש. --ארז שיינר

תודה רבה :)

מועד ב' שנת 2008 שאלה 6

אפשר כיוון/עזרה/עצם/משהו? אין לי מושג מה קורה פה חוץ משג הכי נראה לי אבל אני לא מבין למה הסדר לא חשוב

יש לך 10 צעדים סה"כ, מתוכם 5 בכיוון ימין ו5 בכיוון למעלה. יש לך רעיון כמה דרכים יש לסדר את זה? --ארז שיינר

מועד א' 2008 שאלה 2

http://www.math-wiki.com/images/9/95/BdidaExamMoedA2008Sol.pdf

לא הבנתי למה הורידו רק 6K, ולא בדקו מה קורה עבור מקרים אחרים, כשמחסרים 7K וכד'

עשינו את השאלה הזו בדיוק ביום שני. אם אתה מחלק 6 לקוביה מסויימת (אחרי האחד שכבר יש לה) אז קיבלת תוצאה לא חוקית. את האחדות הנותרות אתה מחלק בין כל הקוביות, ולכן הקוביה הספציפית שיש לה כבר 7 יכולה לקבל 8, 9, 10 ועוד. --ארז שיינר 13:52, 7 בספטמבר 2011 (IDT)

אז פה: http://www.math-wiki.com/images/7/77/BdidaExamMoedB2008.pdf בשאלה 2 אני עושה אותו דבר רק עם 101K?

כן. אתה צריך לחלק 75*20 בין 20 תלמידים כך שלכל אחד יכול להיות כל ציון בין 0 ל100. כל האפשרויות בהן מישהו קיבל 101 אינן חוקיות לכן אתה מגדיר את A_i להיות כל האפשרויות בהן התלמיד ה-i יקבל לפחות 101 נקודות (ואולי יותר). שזה אומר לחלק את הנקודות הנותרות בין כל 20 התלמידים. --ארז שיינר

תודה רבה :)

יחסי שקילות..

האם יש נוסחא לחישוב מספר יחסי השקילות על קבוצה? לדוגמא מעוצמה 4.? למדנו את הנוסחא לחישוב יחסים בכללי..

ייתכן. הייתי קורא את תרגילי הבית ו/או את השאלות והתשובות --ארז שיינר

עוד שאלה.. הקבוצה הריקה מוכלת משמ בקבוצה הריקה? זה נובע מלוגיקה לא?

אני לא בטוח מה ההגדרה של מוכל ממש. אבל הקבוצה הריקה מוכלת בעצמה ושווה לעצמה אז אני בספק... --ארז שיינר

לא חייבים להיות בספק. מצד האחד הקבוצה הריקה באגף ימין מוכלת בזאת שבאגף שמאל, וגם זאת שבאגף שמאל מוכלת בזאת שבאגף ימין, יש הכלה דו כיוונית משמע שיוויון, ולכן זאת לא הכלה ממש.

זה שיש שיוויון בין הקבוצה הריקה לעצמה זה דיי ברור. השאלה היא האם הכלה ממש מוגדרת על פי אי שיוויון, או על פי איבר ששייך לאחת ולא שייך לאחרת. וכמו שאמרתי, אני לא בטוח מה ההגדרה ולכן אני לא קופץ למסקנות. --ארז שיינר

הכלה ממש מוגדרת על פי אי שוויון. בכל מקרה, שתי ההגדרות האלה שקולות, ולפי שתיהן אין הכלה ממש

קומבינטוריקה

בכמה אופנים ניתן להכניס 12 כדורים שונים לתוך 3 תאים שונים כך שבכל תא יהיו 4 כדורים, אבל שני כדורים מסויימים לא יהיו באותו התא?

תבחר שני תאים (6 אפשרויות) שים את שני הכדורים המסויימים בשני התאים (2 דרכים) ואז תבחר 3 מתוך ה10 הנותרים, ועוד 3 מה7 הנותרים. --ארז שיינר

זה בעצם מקדם מולטינומי, כמו שהיה במבחן רק שפה זה בלי חזרות.

איחוד

$\bigcup P(\mathbb{N})=?$

זה האיחוד הכללי על קבוצת החזקה של הטבעיים? איחוד כללי על קבוצת חזקה הוא הקבוצה עצמה, ובמקרה זה הטבעיים --ארז שיינר

10 בחורים רוקדים במעגל.

רוצים להגדיל את המעגל ולהכניס אליו 4 בחורות. בכמה דרכים ניתן לעשות זאת אם אין להעמיד 2 בחורות זו ליד זו?

הכלה והדחה על כך ששתי בחורות מסויימות יהיו צמודות. --ארז שיינר

מועד ב 2009 שאלה 7

[2]

א. סידור m כדורים לבנים וn כדורים שחורים כך שאף שני כדורים שחורים לא יהיו סמוכים. האם התשובה היא אן ועוד אם מעל אן?

m+1 over n+1. זה מאוד פשוט אם אתה מייצג אורכים של רצפים של כדורים לבנים ע"י משתנים שסכומם שווה m (כמות הכדורים הלבנים)

הוכחתי את סעיף ב' עם קומבינטוריקה : ב.1 אנחנו כל פעם בוחרים איבר K כלשהו ועוד 2 איברים ולכן אנחנו מגיעים לגודל קבוצה S? ב.2. אנחנו בוחרים 2 איברים מתוך הקבוצה והשלישי כבר נבחור או שנבחור 2 איברים כאשר השלישי יבחר מתוך קבוצה קטנה יותר? ב.3 צריך להוכיח באינדוקציה ? כי לא הצלחתי.

מי שיודע או שיש לו תשובה אחרת שישווה איתי בבקשה.

שאלה דחוף

אם נגדיר יחס שקילות S על Z כך ש: (k,m)שייך לS אם"ם k-m מתחלק ב5 כמה מחלקות שקילות לS??????..

יש 5 מחלקות

ומהן?????????

כל מחלקה מתאימה לשארית חלוקה ב-5 (i+5Z היא המחלקה ה-i). קבוצת המנה היא השדה Z5.

זה לא נכון כי שארית החלוקה בכלל לא שייכת ליחס רק אלו שהפרשם מתחלק בחמש שייכים ליחס אשמח אם תוכל להגיד לי אם אני טועה ולמה!?!!?!?!???!

זה כן נכון. ההפרש מתחלק ב-5 אם ורק אם יש אותה שארית חלוקה בחמש.

מס' מחלקות שקילות

צריך למצוא את מספר מחלקות השקילות של יחס השקילות המוגדר ע"י: (a1,a2,a3)=(b1,b2,b3) כאשר הקבוצה של a1,a2,a3 שווה לקב' של b1,b2,b3. האיברים מגיעים מהקב' A*A*A כאשר עוצמת A היא n. אפשר עזרה?

זו שאלה קומבינטורית על כמות השלשות השקולות. מספר השלשות כולו (העולם) הינו n בשלישית. יש לחלק את זה במספר השלשות השקולות. או שזה שלושה איברים שונים (ואז זה מספר הדרכים לסדר אותם), או שזה שני איברים שונים ואחד חוזר פעמיים, או שזה אותו איבר 3 פעמים. סופרים, מחסרים, מחלקים ומה שצריך עד אשר מגיעים לפתרון --ארז שיינר

או שאני טועה או שזה פשוט מספר תתי הקבוצות בגודל 3 של A + מספר תתי הקבוצות בגודל 2 + מספר תתי הקבוצות בגודל 1.

למה קבוצת המנה היא Q?

במערך תירגול 6 באמצע(לא הצלחתי להעתיק טוב) מתחת לטענה שעוצמת Z שווה לעוצמת ZxZ יש הוכחה שעוצמת Z שווה לעוצמת Q אבל בהוכחה כתוב שקבוצת המנה(שמוגדרת שם) היא בעצם Q אבל הרי 1/3 ו2/6 הם באותה מחלקת שקילות ולכן רק אחד מהם יהיה בקבוצת המנה ואז זה לא Q אני צודק?

הם באותה מחלקת שקילות, זה נכון, אבל הם אותו מספר (ב-Q).

תרגיל 7 שאלה 5ג

כתוב שמה שאין פתרון, אבל כאשר n=2 ניתן להכניס כדור אחד צבעוני ושני לבנים בכל תא, וזה דוגמא למקרה שבו התרגיל מתקיים. לא כ"כ הבנתי איך הגיעו לכך שאין פתרון, אפשר הסבר?

איך שתים יצא לך שווה לאחד? רשום שצריך מספר שווה של לבנים וצבעוניים בכל תא --ארז שיינר

האם הרכבת יחסים והרכבת פונקציות אילו שני דברים שונים כלומר

הגדרת הרכבת יחסים RS אומר שקיים b כך R{a,b} ו-S{b,c} כך RS={a,c{ ובפונקציות זה הפוך? SR שתי פונקציות שקיים b כך R{a,b} ו-S{b,c} אבל עדיין ההרכבה תתן SR={a,c

תודה

בשניהם זה אותו הדבר עקרונית, לעיתים יש מי שמסמן הפוך. הסימון הנהוג יותר (לדעתי) הוא $f\circ g (x) = f(g(x))$ כלומר $(a,c)\in R\circ S \iff \exists b:(a,b)\in S \and (b,c)\in R$

דוג' לשרשרת שאינה בת מניה?

כל קבוצה סדורה בסדר מלא שאינה בת מנייה:

• הממשיים (יחס קטן שווה)
• כל קטע סופי בממשיים (יחס קטן שווה)
• אוסף הקטעים מהצורה $n\in\mathbb{N},(n,\infty)\subseteq\mathbb{R}$ (ביחס הכלה). זו דוגמא לשרשרת ללא חסם מלרע פרט לקבוצה הריקה.

מספר קורס

מהו מספר הקורס

88-195-11 (אצל אפי לפחות..)

88-195-08 אצל שי סרוסי

בנוגע לציון הסופי

איך אני יודע כמה קיבלתי ציון סופי בקורס והאם עברתי או לא?

אתה עוד לא יודע. כאשר תסתיים בדיקת התרגילים נפרסם את ציוני התרגילים (בימים הקרובים...) --ארז שיינר

האם הבוחן גם משתכלל בציון?

למה לא? --ארז שיינר

יכול להיות שהוא ישתכלל רק כציון מגן ? (כמו בלינארית )

בעיה בפתרון המבחן, שאלה 1א

צריך להיות הקבוצה הריקה, ולא היחידון הקבוצה הריקה...

צודק, תודה. --ארז שיינר

לא יכול להיות שהבודקים הורידו בטעות על זה, נכון?

אגב, לא יודע אם זה כבר תוקן או לא, בשאלה עם ספירת כמות הפונקציות (אני משער שזו שאלה 4 סעיף ג'), התשובה הסופית אם אני לא טועה היא $\binom{16}{4}=\binom{16}{12}$ כי יש 5 משתנים(גדולים שווים 0) שסכומם 12.

מה עם ההסבר על גדל?

(משפטי האי שלמות)

בקשתי מכמה אנשים להשיג לי את מה שכתבתי, אני מחכה שזה יגיע ואז אפרסם. --ארז שיינר

ערעור-שאלה

שולחים ערעור למרצה ? במייל?

שאלה למתן

בתרגול האחרון נתת לנו שאלה עם 20 האסירים והמנורה ולא עליתי על פיתרון האם תוכל להגיד לנו אותו? נתנאל

נתאנל, תספר את החידה כמו שצריך. (איך שסיפרת לי אותה היא לא פתירה - וקל מאוד להוכיח את זה)

החידה שהבאת לנו שישנם 20 אסירים כל פעם לוקחים אסיר אחר לחקירה ויש להם מנורה שאפשר להדליק או לקבות וניתן לקחת את אותו אסיר כמה פעמים והאסירים צריכים למצוא דרך כך שהאחרון שיכנס לחדר החקירות ידע על כך שהוא אחרון ויגיד את זה.

ציוני תרגיל סופיים

מתי תעלו את ציוני התרגיל הסופיים???

אפשר את האימייל של המרצה שי סרוסי

תודה

מועד א שנת 2007 תרגיל מספר 2

אפשר עזרה/כיוון ?? בשני הסעיפים וגם במועד ב' שנת 2007 שאלה 4 מה קורה כאשר x4<0

האם למדנו את הנושא: "הסגור של רלצייה ביחס לתכונה מסויימת"?

הוא פשוט מופיע בספרים בפרקים של יחסים ואם לא למדנו? האם הוא יכול לעזור לנו בפתירת התרגילים? תודה

לא למדנו אותו בשמו, אבל היה תרגיל דומה לזה בבוחן - היחס שקילות הקטן ביותר --ארז שיינר

אז מה אתה אומר ? ללמוד אותו ?

שאלה בקשר לציון

יכול להיות שיקחו את המקסימום גם מבין 80% מבחן ו 20 אחוז תרגיל? {כמו בלינארית}

לא --ארז שיינר

למה לא ? , הבנתי שהמרצים אמרו שהבוחן לא יוריד .....

מיצטרך לשאלה--כתוב בטבלה של ציוני המבחן שהוא שוקל 80% מהציון..

הוא אכן לא מוריד. אולי הוא מוריד מהציון שהייתם רוצים, אבל לא מציון המבחן. ומה זה טבלה של ציוני המבחן? --ארז שיינר

באתר של ציוני הקורס dory.biu אם אני לא טועה כתוב שהמבחן הוא 80% אחוז.

אכן כתוב שהמבחן הוא 80%, לכן הבוחן בעצם כן מוריד (כי בשיטה שהמבחן הוא 80% הבוחן משפיע ) לכן יותר הוגן להוסיף את שיטת החישוב של 20 אחוז תרגיל ו80 אחוז מבחן(למה אי אפשר להוסיף אותה ?) .

מה שרשום שם זו הדרך הפרקטית בה אנו מאפשרים לבוחן להעלות נקודות. הבוחן לא מוריד, אלא העובדה שציון התרגיל הוא 10 אחוז בלבד למרות שאתם מעוניינים שהוא יהיה 20% (למרות שהוא לא...) --ארז שיינר

נניח בשלילה שהבוחן לא מוריד, כלומר אם הבוחן לא היה קיים הציון לא היה יותר גבוהה(הבוחן לא משפיע לרעה ) . נסתכל על המקרה בו הבוחן לא קיים נותרנו עם מבחן ותרגיל . עכשיו המבחן לפי האתר הוא 80 אחוז לכן נותרו 20 אחוז לש"ב . קיימים ציונים (בש"ב בבוחן ובמבחן ) עבורם הציון הנ"ל יותר גבוה גם משיטת החישוב עם הבוחן (10 אחוז בוחן 10 אחוז ש"ב ו80 מבחן ) וגם בלעדיו (90 אחוז מבחן ו10 אחוז ש"ב ) בסתירה לכך שהבוחן אינו מוריד . מש"ל. (במילים אחרות רק בגלל שהבוחן קיים לא קיימת שיטה של 80 אחוז מבחן ו20 אחוז תרגיל ולכן הוא מוריד(גם אם הוא אינו מופיע בחישוב ) )

אם הבוחן לא היה קיים, לא היה רשום 80 אחוז באתר. --ארז שיינר

סיבכתם אותי לגמרי... איך מחושב הציון בסוף? האם הבוחן נחשב? כמה % ש"ב, מבחן ובוחן?

הפרכה:'

למה בלינארית {שיש בוחן והוא מגן}- הציון הוא 80% מבחן ו20 אחוז תרגיל?

חזרה למבחן

עד כמה יש לייחס חשיבות לנושא "הבינום של ניוטון"? האם יש ללמוד את כולו לעומק (על אף שהקדשנו לו פחות מ10 דקות בשיעור)?

עוד שאלה, איזו דרך הכי מומלצת לחזור ביעילות למועד ב' של בדידה (מלבד מת'-וויקי שחרשתי עליו כבר..:) )

תלמד עליו 10 דקות O_O

הלו :)

אז.. מתי הציון תרגילים יפורסמו ??

ברגע שאקבל את כל ציוני התרגיל לידי... --ארז שיינר

  נתונים

E1,E2 יחסי שקילות (< משמעו מכיל )

E1>(E1)^2

E2>(E2)^2

E1E2=E2E1 (הרכבות יחסים)

למה מכאן נובע ש

(E1)^2(E2)^2<(E1E2) (הרכבות גם) תודה

עוד תרגילים

הממ אפשר לקבל עוד תרגילים בכל הנושאים או לפחות קישור לאיזשהו אתר עם תרגילים או משהו כי אין לי מאיפה לתרגל...

יש קישורים לקורסי תורת הקבוצות ולבן גוריון לצורך תרגילים נוספים --ארז שיינר

בנוגע ליחסים

האם יחס מלא על קבוצה סופית בהכרח אומר שיהיה מינימום? תודה

תרגיל 3 , שאלה 2, סעיף ד

בבנייה של היחס אפשר לפרק את השלמים לשתי קבוצות?

שלמים חיוביים

ושלמים שליליים?

תודה

ציוני תרגיל סופיים

מתי נקבל את ציוני התרגיל הסופיים? אנחנו רוצים לדעת מה הציון הסופי כדי לדעת אם לגשת למועד ב'

מצטרפת לשאלה. בלינארית קיבלנו מזמן, וממש רוצים לדעת, לגשת למועד ב' או לא, וכמה צריך להוציא כדי לעבור... תודה!

אפשר לקבל תרגול נוסף לפני המועד ב' בבדידה?

תרגול אחרון?

כן. תתארגנו ותגידו מתי --ארז שיינר

ביום שני? עם הכרזה לכולם? איזה אימייל ופרסום בויקי? (כי אף אחד לא ממש עשה משהו...) --ג.יפית 10:26, 1 באוקטובר 2011 (IDT)

תשלחו לקבוצה בגוגל גרופ.... בטח מישהו יגיב. --ארז שיינר

אפשר לינק לקבוצה? לא מצאנו... :(

מבחן דמה שאלה 2

באופן כללי, הלמה של צורן מתקיימת גם לגבי איבר מינימלי? הכוונה:" תהי A קבוצה סדורה חלקית. אם לכל שרשרת בתוכה קיים חסם מלרע, אז ב-A קיים איבר מינימלי." באופן כללי זה נכון?

כן. אפשר להוכיח את זה בקלות מהנוסח הרגיל של הלמה של צורן, פשוט לקחת את היחס ולהפוך את הסדר של כל הזוגות הסדורים. --ארז שיינר

תודה

שאלה ממבחן הדמה

בשאלה שתיים עם הלמה של צורן לאיבר מינימלי, החסם מלרע לשרשראות יהיה האיבר הראשון בשרשרת?

לא. תנאי הלמה לא מתקיימים כיוון שיש שרשראות ללא חסם מלרע --ארז שיינר

אפשר דוגמא?

מבחן דמה

אפשר תשובות לשאלה 3 (קומבינטוריקה) כדי לראות אם צדקתי?

א.2835 ב. n מתוך m+n ג. אם זה משנה לך, 2.76 כפול 10 בחזקת 13

יש טעות בא' לדעתי , כי כמו שחישבת לא התייחסת לאפ' שהמספר בנוי מאותה ספרה 7 פעמים לכן יש להוסיף 9 לתשובה שלך כלומר 2844.

בשאלה 2 מה זה אומר איחוד כללי?

תדוה

נגיד שיש n קבוצות בתוך S, אז האיחוד הכללי זה האיחוד של כל n הקבוצות.

התשובה לעיל נכונה אך לא מדויקת. הסיבה למושג "איחוד כללי" היא שמספר הקבוצות ב-S יכול להיות אינסופי. איבר שייך לאיחוד הכללי אם"ם הוא שייך לאחת מהקבוצות ב-S (לפחות) --ארז שיינר

שאלה לא ממבחן.

כנראה לא הייתי בהרצאה או משהו, אבל איך מוכיחים שהעוצמה של הממשים שווה לעוצמה של קבוצת החזקה של הטבעיים?

וגם לא קראת את מערכי התרגול, נכון? קבוצת החזקה של הטבעיים שקולה לאוסף הפונקציות מהטבעיים לקבוצה $\{0,1\}$ וזו שקולה לאוסף הסדרות הבינאריות. עוצמת הסדרות הבינאריות שווה לזו של הממשיים (שכן אפשר לייצג כל מספר בבסיס בינארי...) --ארז שיינר

איך תציג את פאי בבסיס בינארי? הכוונה כל ספרה מהמספר להציג באמצעות ארבע ספרות בינאריות?

מאד בדומה לרישום בבסיס עשרוני. הספרות אחרי הנקודה מייצגות את חצי, רבע, שמינית, אחד חלקי שש-עשרה וכדומה. --ארז שיינר

שאלה בנוגע לנכון באופן ריק

האם זה נכון להגיד שהאיבר 1 מוכל בתוך כל קבוצה שרק נבחר כי זה נכון באופן ריק? במילים אחרות לפי ההגדרה של A מוכל בB זה כל a השייך לA גורר a שייך לB ועכשיו כל a השייך ל1 (שזהו שקר שכן 1 הוא לא קבוצה בכלל) גורר הכל בדיוק כמו פי? אני בטוח שזה לא נכון כי בהרצאה כתוב את ההפך אבל אין לי מושג למה? תודה רבה לעוזרים

יחס ההכלה הינו תת קבוצה של המכפלה הקרטזית של אוסף קבוצות כלשהו. את התנאי הלוגי בודקים רק לגבי זוג סדור של קבוצות, הוא לא מוגדר לאחד בכלל --ארז שיינר

לגבי המבחן

במבחן לא יהיה שובך היונים? לדוגמא שאלה 2 סעיף ד http://math-wiki.com/images/b/b6/10BdidaTestBSol.pdf לא חלק מהחומר?

עקרון שובך היונים נלמד בהרצאה, ועשוי להיות במבחן. --ארז שיינר

טעות בתרגיל

בתרגיל 5 שהעלתם משנה שעבר יש טעות בפיתרון (לדעתי) כתוב בשאלה 3 ש B2 מוגדרת להיות עבור {1,3} וגם ב B3 זה עבור {1,3} ולדעתי זה אמור להיות עבור {2,3} תוכלו לבדוק ולשנות אם צריך?

תודה! נתנאל

זה נכון, תודה. --ארז שיינר

בקשר לפתרונות תרגיל 4

בשאלה מספר 2 בתרגיל מספר 4 בפתרונות יש לי קצת בעיה עם ההגדרה של g היא מוגדרת להיות תמונות של איברי y לפי f אבל Y מוכלת בB והפונקציה f עובדת מA לB במילים אחרות איברי y לא בהכרח מקורות של f(y) תודה לעוזרים

תירגול 3 שאלה 1 סעיף ג'

ארז, אפשר בבקשה את הפתרונות של תרגיל 3 בשיעורי הבית? בסעיף ג' כאשר אומרים של- R יש מקסימום הכוונה שהמקסימות הוא בתוך יחס הסדר של R או ביחס סדר על היחס R? לדוגמא: $R= \left \{ (1,1)(2,2)(3,3)(2,1)(3,1) \right \}$ כאשר $A= \left \{ 1,2,3 \right \}$ אז 1 הוא מקסימום ב-R? או שהכוונה שיש יחס סדר על R שלפיו איבר ב-R הוא מקסימום?

ציון סופי בקורס

למה הציון הסופי לא משוכלל 80% מבחן ו20% תרגילים {ואם הבוחן עוזר אז 80 10 10} כמו בלינארית? 90% מבחן ו10%תרגילים זה שיכלול שמוריד את הציון לרוב הסטודנטים!

מצטרף ...

מה בעצם עושה הפונקציה הריקה?

הראו לנו בהרצאה פונקציה fi מה היא עושה בעצם? זה לא למעשה יחס ריק זאת אומרת התחום והמולט תחום לא מתייחסים זה אל זה? בנוסף אם אפשר הסבר לפיתוח בינארי של מספרים בין 0 ל1 לדוגמא למה חצי שווה ל0.1 ולמה רבע שווה ל0.01 מה החוקיות פה? בנוסף בהרצאה אמרו לנו שאם יש לנו שתי קבוצות כך שהחיתוך בינהם לא זר נניח A ו B ואנחנו רוצים למצוא את העוצמה של AUB אמרו לנו שנמצא את העוצמה של A*{0}UB*{1} ושהעוצמה הזאת שווה לעוצמה של האיחוד בין A ו B ולא הבנתי כל כך למה? יש מצב לעזרה בבניית פונקציה חח"ע ועל בין שתי הקבוצות?

אנסה לעזור:

א) (phi(n עבור n טבעי מוגדר להיות מספר המספרים הקטנים מ n וזרים לו... לא יכול לזרוק כרגע שימוש, אבל היא די נפוצה בתורת המספרים (ובמיוחד בחידות של project euler :-) ............ אוי, רגע, אתה מתכוון לקבוצה הריקה? הקבוצה הריקה היא יחס, ובפרט היא פונקציה אם התחום הוא הקבוצה הריקה בעצמה.

ב) כמו שאתה יכול לייצג מספרים טבעיים בייצוג בינארי - כל אפס שאתה מוסיף, המספר מוכפל ב 2, כך אתה יכול לייצג גם מספרים לא שלמים - ככל שאתה זז ימינה המספר קטן פי 2 (אגב, כך בערך מייצגים מספרים במחשב, תחפש על floating-point representation או משהו כזה)

ג) חיבור עוצמות אינסופיות מוגדר ע"י איחוד קבוצות זרות - כדי לגרום לקבוצות לא זרות "להיות זרות" ושתוכל להסתכל על סכום העוצמות שלהם, אתה תוסיף לכל איבר ב A אפס מימין ולאיבר ב B אחד משמאל ואז הן בטוח זרות.

מבחן מועד א' שגיאה בפתרון

בתרגיל 1 ב' , בסוף בסוף רשום שהקבוצה שמכילה את X לא שווה ל A ורשום שזה גורר ש הקבוצה שמכילה את הקבוצה שמכילה את X לא שייכת לקבוצה שמכילה את A . אולי זה נכון לא בדקתי אבל אני יודע שזה לא תורם למשפט הסיום .

מה זאת אומרת קבוצת החזקה של זוגות סדורים כמו

(1,1)

קבוצת החזקה מוגדרת על קבוצה A כך ש $P(A) = \{B \subset A\}$, אם אתה מתכוון למקרה בו $A = {(x,y) \in R^{2}}$ אז קבוצת החזקה של A תיהיה קבוצה שבתוכה קבוצות שבתוכן זוגות סדורים מ R^2.

לא הבנתי מה השאלה. --ארז שיינר

מה יהיה בתרגול?

אנחנו נעשה מבחן דמה אחר, או את זה שהעלת לאתר?

מבחן דמה אחר. --ארז שיינר

איפה, מתי, כמה? תרגול ביום ג'

ארז, באיזה בניין/חדר התרגול? מתחילים בעשר עד כמה שהבנתי... תודה!~

בניין מתמטיקה, נראה באיזה חדר לפי כמות האנשים שתגיע. --ארז שיינר

ציון סופי בקורס

למה הציון הסופי לא משוקלל 80% מבחן ו20% תרגילים {ואם הבוחן עוזר אז 80 10 10} כמו בלינארית? 90% מבחן ו10%תרגילים זה שיכלול שמוריד את הציון לרוב הסטודנטים!

בהקשר למה שנאמר קודם , אם לא היה בוחן המבחן היה 90 אחוז ?! זה לא נשמע הגיוני ...

ברור שזה מוריד לרוב התלמידים. זה מכיוון שציון התרגיל לא משקף ידע בקורס. לא יעזור לשאול את זה שוב ושוב... --ארז שיינר

למה לא משקף ידע?!? באלגברה לינארית זה כן משקף?

תשנו את השיכלול..!

אתם צודקים, אני אבקש שגם בלינארית נשנה את השקלול על מנת שיהיה אחיד עם בדידה (: --ארז שיינר

אל תשנו בליניארית !!!! בגלל גחמות פרטיות של כאלו או אחרים !

השעה והמיקום של המבחן מחר

מתי ואיפה המבחן מחר? כמו פעם קודמת? תודה ^^

לא חשוב, הגיע המייל ><

טעות מבחן דמה 1

בשאלה 1 זה לכל x שייך ל A ולא מוכל ב A המקיים את התנאי כי מדובר בפונק׳ השולחת לקבוצת המנה של A האם זאת טעות?

נתנאל

מבחן

2009 מועד א' שאלה 4..זה היה במבחן היום !

וגם שאלה 2 הייתה באחד המבחנים ...

והבנתי שפתרו באחד התרגולים את הלמה של צורן שהייתה

ציוני תרגיל.

האם יעלו לאתר ציוני תרגיל בבדידה מפורטים? {כמו שהיה בלינארית}

לא. אני יכול לומר שהציון מורכב בחציו מציוני תרגילי הבית וחציו השני מורכב מהגבוה מבין המבחן והבוחן --ארז שיינר

מדוע עשו זאת?

מכיוון שציון תרגילי הבית מהווה 10 אחוז מהציון, והבוחן מהווה 10 אחוז מגן. בדרך הזו ניתן היה להכניס למחשב האוניברסיטה את הנוסחא הזו. --ארז שיינר

אתה בטוח שלא התבלבת לעיל? חצי ציון הוא תרגילי הבית? -.-

חצי מציון התרגיל ... (לא מהציון הכולל ) .