אם G/H היא חבורה אז <math>H\triangleleft G</math>?
G/H היא תמיד קבוצה. כשרוצים לבדוק אם G/H היא חבורה צריך להחליט מה הפעולה שמגדירים מעליה.
בהנחה שמנסים להגדיר פעולה כמו שהגדרתם בהרצאה, אז כן - G/H היא חבורה אמ"ם H היא תת חבורה נורמלית של G.
מעט יותר בפירוט, אם הפעולה <math>(aH)*(bH)=abH</math> מוגדרת היטב אז <math>H\triangleleft G</math>.
אכן, לכל <math>g\in G</math> ולכל <math>h\in H</math>
<math>hH=eH</math>
<math>g^{-1}H=g^{-1}H</math>
לכן, אם הפעולה מוגדרת היטב אז:
<math>hg^{-1}H=eg^{-1}H</math> <math>\Leftarrow</math> <math>ghg^{-1}H=H</math> <math>\Leftarrow</math> <math>ghg^{-1}\in H</math>
לכן, H ת"ח נורמלית של G.
(לחילופין יכולנו להגדיר את הפעולה כמו שהגדרנו בתרגול - כשהמכפלה של שני קוסטים היא מכפלתם בתור קבוצות. עבור H ת"ח נורמלית, ראינו כי מתקבלת אותה פעולה. גם במקרה זה, הפעולה מוגדרת היטב אמ"ם H ת"ח נורמלית . אם H ת"ח נורמלית, ראינו כי הפעולה מוגדרת היטב.
בכיוון השני, נניח כי לכל <math>a,b\in G</math> <math>(aH)(bH)</math> הוא קוסט.
אזי, לכל <math>g\in G</math> קיים <math>c\in G</math> כך ש <math>gHg^{-1}H=cH</math>.
בפרט, <math>gHg^{-1}e\subseteq cH</math>.
אבל <math>e=geg^{-1}e\in gHg^{-1}e\subseteq cH</math> לכן <math>c^{-1}\in H</math> ו <math>c\in H</math>. לכן, <math>cH=H</math> ובסה"כ <math>gHg^{-1}\subseteq H</math> <math>\Leftarrow</math> <math>H\triangleleft G</math>). [[משתמש:גילי|גילי]] 15:33, 29 באוגוסט 2012 (IDT)
==הטלה==
מהי, ומה הקשר שלה להטלה שאנחנו מכירים מלינארית?
אני מניחה שהכוונה היא להטלה ממכפלה ישרה של חבורות לאחד הגורמים במכפלה.
במקרה זה, עבור <math>G=G_1 \times G_2</math> הטלה לרכיב הראשון תהיה הפונקציה <math>\pi_1:G\rightarrow G_1</math> המוגדרת <math>\pi_1(g_1,g_2)=g_1</math>. באופן דומה מגדירים הטלה לרכיב השני, או הטלה ממכפלה קרטזית של יותר חבורות.
לגבי הקשר ללינארית, במובן מסויים אפשר להסתכל על ההטלה הנ"ל בתור הכללה של הטלה במרחבי מכפלה פנימית.
על הטלה של וקטור <math>v\in V</math> לתמ"ו <math>W\leq V</math> ניתן להסתכל באופן הבא:
W הוא תמ"ו של V, לכן קיים המשלים הניצב <math>W^{+}\leq V</math> ומתקיים <math>V=W_1\oplus W_2</math>. לפי תכונות הסכום הישר, v ניתן להצגה יחידה מהצורה <math>v=w_1+w_2</math> כש <math>w_1\in W</math> ו <math>w_2 \in W^{+}</math>. ומתקיים ההטלה של v על W היא <math>\pi_{W}(v)=w_1</math>.
המקרה של חבורות מכליל מקרה זה שכן, מרחבים וקטוריים הם בפרט חבורות חיבוריות.
לעומת זאת, המקרה של חבורות אינו אנלוגי למקרה של מרחבים וקטוריים. בעוד שלתת מרחב וקטורי המשלים הניצב תמיד קיים ויחיד (ולכן, ניתן להגדיר היטל בצורה שתיארנו עכשיו) בחבורות זה לא המצב.
למשל, עבור החבורה <math>D_3</math> ותת החבורה <math>C_3</math>, לא קיימת תת חבורה <math>H\leq D_3</math> כך ש <math>D_3\cong C_3\times H</math>. [[משתמש:גילי|גילי]] 16:00, 29 באוגוסט 2012 (IDT)
== אפשר דוגמא להפרכה ל ==
http://www.math-wiki.com/images/c/c6/A_06.pdf שאלה 6 ג',הסתכלתי בפתרונות ואין הפרכה שמה..
:אם אני לא טועה זה היה בתרגילי הבית של שנה שעברה, תבדוק.
השאלה שאלה מצויינת. נפתור אותה בע"ה בשיעור החזרה. [[משתמש:גילי|גילי]] 15:08, 6 בספטמבר 2012 (IDT)
== משפט אוילר הראשון ==
מהו המשפט? חישוב פונקציית פי? או ההוכחה Un=Gr(Zn)q ?
לדעתי משפט אויילר הראשון הוא המשפט הקובע כי האיברים בחבורה <math>U_n</math> הם איברי <math>Z_n</math> הזרים ל <math>n</math>.
כמובן, אם אתה רוצה להיות בטוח שהכוונה היא למשפט זה, עדיף שתבדוק את הכותרת במחברת ההרצאה או שתשאל את פרופ' מגרלי. בהצלחה. [[משתמש:גילי|גילי]] 18:07, 9 בספטמבר 2012 (IDT)
== נורמליות ==
עבור H תת-חבורה, ההעתקה <math>gH \; \mapsto \; Hg</math> מוגדרת היטב אםם <math> H \triangleleft G</math>? (ברור שמאל גורר ימין)
נוכיח כי צד ימין גורר את צד שמאל:
נתון כי ההעתקה <math>gH \; \mapsto \; Hg</math> מוגדרת היטב. צ"ל <math>H\triangleleft G</math>.
יהיו <math>g\in G</math> ו <math>h\in H</math>. מ"ל: <math>ghg^{-1}\in H</math>.
אבל: <math>gH=ghH</math> ונתון כי ההעתקה <math>gH \; \mapsto \; Hg</math> מוגדרת היטב, לכן <math>Hg=Hgh</math>. נכפול מימין ב <math>g^{-1}</math> ונקבל <math>H=Hghg^{-1}</math>. לכן <math>ghg^{-1}\in H</math>. [[משתמש:גילי|גילי]] 17:57, 9 בספטמבר 2012 (IDT)
==תרגיל אתגר מההרצאה==
יהיו <math>H_2 \leq G</math>, <math>H_1 \leq G</math>.
צ"ל <math>[G:(H_1 \cap H_1)]\leq[G:(H_1)][G:(H_2)]</math> ע"י הגדרת פעולה מתאימה.
:נסה להסתכל על הפעולה הטבעית רכיב רכיב של <math>G</math> על <math>G/H_1\times G/H_2</math>.
:מה ניתן להגיד על הסדר של המסלול של <math>(H_1,H_2)</math>?
:מה הקשר בינו לבין סדרי המסלולים של <math>H_1</math> ו <math>H_2</math> בפעולות הטבעית של <math>G</math> מעל <math>G/H_1</math> ומעל <math>G/H_2</math> בהתאמה? [[משתמש:גילי|גילי]] 18:02, 9 בספטמבר 2012 (IDT)
== קבוצה פורשת ==
נניח נתון לי שהחבורה G נוצרת ע"י האיברים <math>a_1, a_2, ... , a_n</math> ונניח גם ש - rank(G) = k עבור k<n כלשהו, כלומר <math>a_1, a_2, ... , a_n</math> יוצרים את החבורה אולם זו אינה קבוצה יוצרת מינימלית בגודלה. האם אני יכול להסיק מכך שיש איבר <math>a_i</math> בקבוצה הפורשת שלי שהוא מכפלה כלשהי של האיברים האחרים בקבוצה הפורשת (כמו באלגברה ליניארית)?
לא, למשל הדרגה של חבורת התמורות <math>S_n</math> היא 2. מצד שני ראינו שהיא נוצרת על ידי כל החילופים מהצורה <math>(1 i)</math> וברור כי חילוף כנ"ל לא ניתן להבעה בתור מכפלה של שאר החילופים מהצורה הנ"ל.
== אשמח לעזרה בשאלה הבאה ==
נתונה פעולה G טרנזיטיבית לא טריוויאלית הוכח ש בG קיימת <math>g\in G</math> כך ש <math>X_g =\varnothing</math>.
הצלחתי לא משנה שאלה נחמדה
== פתירוּת ==
הוכיחו: אם <math>N \triangleleft G</math> פתירה וגם <math>G/N</math> פתירה, אז G פתירה.
נניח <math> H/H \triangleleft \ldots G_r-1/H\triangleleft G_r/H=G/H </math> ו <math>1=H_1 \triangleleft H_2\ldots \triangleleft H</math>
שמקיימות את תנאי הפתירות
השתמשתי בכך שכל תת חבורה של G\H היא מהצורה שהזכרתי למעלה.
אז נקח את
<math>H_1\ldots G_r-1 \triangleleft G_r</math>
וזה עובד ממשפט האיזו השלישי
== תודה!! ==
אני בטוח שאני מדבר בשם כולם- רק רציתי להודות לך גילי
את מתרגלת מעולה-העברת לנו המון חומר בצורה ברורה
ואין ספק שעזרת לנו מאוד! באמת תודה רבה ושנה טובה לכולם
וואו, ממש תודה :-)
איך היה המבחן? [[משתמש:גילי|גילי]] 17:15, 14 בספטמבר 2012 (IDT)
לא היה קשה מדיי, כמו שאמרת לנו שאם נעבור טוב על הרצאות, תרגולים ושיעורי בית נהיה מוכנים
לדעתי היה טיפה טכני מדי לא היו שאלות יותר מדי מגניבות אבל אכן היה קל
== אינדקס, נורמליות ==
תהי G חבורה, <math>H \leq G</math> מאינדקס <math>n</math>. הוכיחו שיש <math>N \leq H ,\; N\triangleleft G</math> מאינדקס <math>n!\geq</math>.
שאלה נחמדה
G פועלת על H באמצעות הזזות ולכן <math>G/F\cong T</math> כך ש <math>F</math> זה קבוצת כל האיברים שפועלים טריוויאלית על כל הקוסטים וT תת חבורה של <math>S_n</math> וקיבלנו את המבוקש. כמובן המשפט שהשתמשתי בו נובע מההסתכלות על <math>f_g: x\mapsto gx</math> כתמורה ואז זה נובע מהפונקציה <math>g \mapsto f_g</math>
כמובן <math>F\leq H</math> כי F פועלת טריוויאלית על H
-נעם-
== שאלה על חבורת סילו ==
נניח <math>U,W\subseteq P\leq G</math> עם <math>P</math> חבורת P סילו ועם <math>P\leq N(U)\cap N(W)</math> הוכח שהתנאים הבאים שקולים:
א) <math>U,W </math> צמודים ב <math>G</math>
ב)<math>U,W </math> צמודים ב<math>N(P)</math>
: למה בדיוק הכוונה בכך ש-P מנרמלת את הקבוצות, ובכך שהקבוצות צמודות זו לזו? בכל אופן, הנה פתרון לגרסה שבה מדובר בשני אברים.
: '''טענה'''. יהיו a,b שני אברים במרכז של חבורת p-סילו P, שהם צמודים בחבורה G. אז הם צמודים גם במנרמל <math>\ N_G(P)</math>.
: '''הוכחה'''. לפי ההנחה יש <math>\ g \in G</math> כך ש-<math>\ b = gag^{-1}</math>. נתבונן במרכז <math>\ H = C_G(a)</math>. לפי ההנחה כל אברי P מתחלפים עם a, ולכן <math>\ P\subseteq H</math>. מאותה סיבה גם <math>\ P \subset C_G(b) = C_G(gag^{-1}) = gC_G(a)g^{-1}</math>, ועל-ידי הצמדה מקבלים <math>\ g^{-1}Pg \subseteq H</math>. קיבלנו שתי תת-חבורות p-סילו של H, שהן צמודות שם לפי המשפט; כלומר, קיים <math>\ h \in H</math> כך ש-<math>\ g^{-1}Pg = h^{-1}Ph</math>. מכאן ש-<math>\ gh^{-1} \in N_G(P)</math>, אבל מכיוון ש-<math>\ h^{-1}ah=a</math>, מתקיים <math>\ (gh^{-1})a(gh^{-1})^{-1} = gag^{-1} = b</math>, כדרוש. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 22:22, 2 באוקטובר 2012 (IST)