הבדלים בין גרסאות בדף "שיטות אינטגרציה"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית)
שורה 79: שורה 79:
  
 
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
 
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
 +
 +
== הצבות אוילר ==
 +
 +
הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>x</math> ו-<math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.
 +
 +
=== אוילר 1 - הפולינום פריק ===
 +
 +
נניח כי הפולינום <math>ax^2+bx+c</math> פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן <math>ax^2+bx+c=a\left (x-\alpha\right )\left (x-\beta\right )</math>.
 +
 +
הצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=u\cdot\left (x-\alpha\right )</math> (אפשר גם את השורש השני). נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math>, ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.
 +
 +
==== דוגמה ====
 +
 +
<math>\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx</math>
 +
 +
ניעזר בהצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left (x-1\right )</math>. לכן <math>\left(x-1 \right )\left(x-6 \right )=u^2\left(x-1 \right )^2</math>, כלומר <math>x-6=u^2\left(x-1 \right )</math>, ומכאן <math>x=\frac{u^2-6}{u^2-1}</math>. לכן <math>dx=\frac{2u\left (u^2-1  \right )-2u\left (u^2-6  \right )}{\left (u^2-1  \right )^2}du=\frac{10u}{\left (1-u^2  \right )^2}du</math>. בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left ( x-1 \right )=u\cdot\left ( \frac{u^2-6}{u^2-1}-1 \right )=-\frac{5u}{u^2-1}</math>
 +
 +
מקבלים:
 +
 +
<math>\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot \frac{5u}{u^2-1}\ }\cdot\frac{10u}{\left ( 1-u^2 \right )^2}du=-2\int \frac{1}{u^2-6}du</math> כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.
 +
 +
=== אוילר 2 - פולינום יותר כללי ===
 +
 +
ישנן שתי אפשרויות:
 +
# בהינתן <math>a>0</math>, נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}\cdot x+u</math>.
 +
# בהינתן <math>c>0</math>, נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt{c}</math>.
 +
 +
נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math>, ונוכל למצוא את <math>dx</math> ואת <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.
 +
 +
==== דוגמה ====
 +
 +
<math>\int\frac{1}{\sqrt{x^2-7x+6}}dx</math>
 +
 +
ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u</math>. נעלה בריבוע ונקבל <math>x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2</math>, כלומר <math>x=\frac{6-u^2}{2u+7}</math>. לכן <math>dx=\frac{-2u\left (2u+7  \right )-2\left (6-u^2  \right )}{\left (2u+7  \right )^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du</math>, וכן <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7}</math>.
 +
 +
מקבלים:
 +
 +
<math>\int\frac{1}{\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2+7u+6}{2u+7} \ }\cdot 2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du=-\int\frac {2}{2u+7}du=-ln\left | 2u+7 \right |+c=-ln\left | \sqrt{x^2-7x+6}-x \right |+c</math>

גרסה מ־19:23, 29 במרץ 2013

בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש.

אינטגרציה "רגילה"

הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה,
\int \left(e^x+\frac{1}{x} \right )dx=e^x+ln\left | x \right |+c.

השלמה לריבוע

כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-arctan.

דוגמה

\int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx

ניעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל:

\int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx=\int\frac{1}{\left (x+\frac{1}{2} \right )^2+1}dx=arctan\left (x+\frac{1}{2} \right )+c

אינטגרציה בחלקים

לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:
\int{f'g}=fg-\int{fg'} (ניתן לוודא על ידי גזירה).

דוגמה

נחפש את \int ln\ x \ dx.

לפי השיטה, נסמן f'\left (x \right )=1, g(x)=ln\ x.

לכן נקבל f(x)=x, g'(x)=\frac{1}{x}.

לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:

\int ln\ x \ dx=x\cdot ln\ x-\int x\cdot \frac{1}{x}\ dx=x\cdot ln\ x-\int 1\ dx=x\cdot ln\ x-x+c.

הרחבה

הרחבה

אינטגרציה בהצבה

לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:
\int f\left (g\left(x \right ) \right )\cdot g'\left (x \right )\ dx=F\left (g\left(x \right ) \right )+c (ניתן לוודא על ידי גזירה).

דוגמה

נחפש את \int \frac{sin\left(2x \right )}{a+sin^2 x}dx כאשר a>0.

נבצע הצבה: du=2\cdot sin\ x\cdot cos\ x\ dx=sin\left(2x \right )dx \ \Leftarrow u=sin^2 x. מקבלים:

\int \frac{sin\left(2x \right )}{a+sin^2 x}dx=\int \frac{1}{a+u}du=ln\left ( a+u \right )+c=ln(a+sin^2 x)+c (נזכור כי a+u>0, לכן אין צורך בערך מוחלט).

הרחבה

הרחבה

ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית

בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב u=tan\left (\frac{x}{2}\right ).

נזכור כי 1+tan^2\alpha=\frac{1}{cos^2 \alpha}, ונקבל cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right )=\frac{1}{1+tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}=\frac{1}{1+u^2}.

נקבל בנוסף cos\ x=2\cdot cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )-1=2\cdot\frac{1}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}.

לכן sin\ x=\sqrt{ 1-cos^2 x }=\sqrt{1-\left (\frac{1-u^2}{1+u^2} \right )^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-\left (1-2u^2+u^4 \right )}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{\left ( 2u \right )^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\frac{2u}{1+u^2}

כמו כן, x=2\cdot arctan\ t, ולכן dx=\frac{2}{1+u^2} du.

דוגמה

\int\frac{1}{2+2\cdot sin\ x}dx

ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב u=tan\left (\frac{x}{2}\right ). נקבל:

\int\frac{1}{2+2\cdot sin\ x}dx=\int\frac{1}{2+2\cdot \frac{2u}{1+u^2}}\cdot \frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1+u^2}{2+2u^2+4u}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1}{u^2+2u+1}du=\int\frac{1}{\left (u+1\right )^2}du=-\frac{1}{u+1}+c=-\frac{1}{1+tan\left (\frac{x}{2}\right )}+c

הרחבה

הרחבה

הצבות אוילר

הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם x ו-\sqrt{ax^2+bx+c}.

אוילר 1 - הפולינום פריק

נניח כי הפולינום ax^2+bx+c פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן ax^2+bx+c=a\left (x-\alpha\right )\left (x-\beta\right ).

הצבת אוילר: נציב \sqrt{ax^2+bx+c}=u\cdot\left (x-\alpha\right ) (אפשר גם את השורש השני). נביע את x באמצעות u, ונוכל למצוא גם את x וגם את \sqrt{ax^2+bx+c}.

דוגמה

\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx

ניעזר בהצבת אוילר: נציב \sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left (x-1\right ). לכן \left(x-1 \right )\left(x-6 \right )=u^2\left(x-1 \right )^2, כלומר x-6=u^2\left(x-1 \right ), ומכאן x=\frac{u^2-6}{u^2-1}. לכן dx=\frac{2u\left (u^2-1 \right )-2u\left (u^2-6 \right )}{\left (u^2-1 \right )^2}du=\frac{10u}{\left (1-u^2 \right )^2}du. בנוסף, \sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left ( x-1 \right )=u\cdot\left ( \frac{u^2-6}{u^2-1}-1 \right )=-\frac{5u}{u^2-1}

מקבלים:

\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot \frac{5u}{u^2-1}\ }\cdot\frac{10u}{\left ( 1-u^2 \right )^2}du=-2\int \frac{1}{u^2-6}du כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.

אוילר 2 - פולינום יותר כללי

ישנן שתי אפשרויות:

  1. בהינתן a>0, נציב \sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}\cdot x+u.
  2. בהינתן c>0, נציב \sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt{c}.

נביע את x באמצעות u, ונוכל למצוא את dx ואת \sqrt{ax^2+bx+c}.

דוגמה

\int\frac{1}{\sqrt{x^2-7x+6}}dx

ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב \sqrt{x^2-7x+6}=x+u. נעלה בריבוע ונקבל x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2, כלומר x=\frac{6-u^2}{2u+7}. לכן dx=\frac{-2u\left (2u+7 \right )-2\left (6-u^2 \right )}{\left (2u+7 \right )^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du, וכן \sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7}.

מקבלים:

\int\frac{1}{\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2+7u+6}{2u+7} \ }\cdot 2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du=-\int\frac {2}{2u+7}du=-ln\left | 2u+7 \right |+c=-ln\left | \sqrt{x^2-7x+6}-x \right |+c

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=שיטות_אינטגרציה&oldid=33131