הבדלים בין גרסאות בדף "שיטות אינטגרציה"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏אינטגרציה "רגילה")
מ (another way to express sin(x) as a result of the universal trigonometric substitution)
 
(33 גרסאות ביניים של 4 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
−
בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש.
+
בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.
  
−
== אינטגרציה "רגילה" ==
+
==אינטגרציה מיידית==
 +
אינטגרל מיידי הוא אינטגרל על פונקציה שאנחנו יודעים מי הקדומה שלה.
  
−
הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה, <BR>
+
לדוגמא: <math>\int\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^x+\ln(|x|)+C</math>
−
<math>\int \left(e^x+\frac{1}{x} \right )dx=e^x+ln\left | x \right |+c</math>.
+
  
−
=== השלמה לריבוע ===
+
[[מדיה:אינטגרלים.pdf|דף אינטגרליים מיידיים]]
  
−
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-<math>arctan</math>.
+
==אינטגרציה בחלקים==
 +
לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:
  
−
==== דוגמה ====
+
<math>\int f'g=f\cdot g-\int fg'</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
  
−
<math>\int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx</math>
+
===דוגמא===
 +
<math>\int\ln(x)dx</math>
  
−
ניעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל:
+
לפי השיטה, נסמן <math>f'(x)=1\ ,\ g(x)=\ln(x)</math> .
  
−
<math>\int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx=\int\frac{1}{\left (x+\frac{1}{2} \right )^2+1}dx=arctan\left (x+\frac{1}{2} \right )+c</math>
+
לכן נקבל <math>f(x)=x\ ,\ g'(x)=\frac{1}{x}</math> .
  
−
== אינטגרציה בחלקים ==
+
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:
  
−
לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים: <BR>
+
<math>\int\ln(x)dx=x\ln(x)-\int x\cdot\frac{1}{x}dx=x\ln(x)-\int 1\,dx=x\ln(x)-x+C</math>
−
<math>\int{f'g}=fg-\int{fg'}</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
+
  
−
=== דוגמה ===
 
  
−
נחפש את <math>\int ln\ x \ dx</math>.
+
[[אינטגרציה בחלקים|הרחבה]]
  
−
לפי השיטה, נסמן <math>f'\left (x \right )=1</math>, <math>g(x)=ln\ x</math>.
+
==אינטגרציה בהצבה==
 +
לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:
  
−
לכן נקבל <math>f(x)=x</math>, <math>g'(x)=\frac{1}{x}</math>.
+
<math>\int f(g(x))\cdot g'(x)dx=F(g(x))+C</math> (ניתן לוודא על-ידי גזירה).
  
−
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:
+
===דוגמא===
 +
<math>\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx</math> כאשר <math>a>0</math> .
  
−
<math>\int ln\ x \ dx=x\cdot ln\ x-\int x\cdot \frac{1}{x}\ dx=x\cdot ln\ x-\int 1\ dx=x\cdot ln\ x-x+c</math>.
+
נבצע הצבה<math>u=\sin^2(x)\</math> ולכן <math>du=2\sin(x)\cos(x)dx=\sin(2x)dx\</math>
  
−
=== הרחבה ===
+
מקבלים:
  
−
[[אינטגרציה בחלקים|הרחבה]]
+
<math>\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx=\int\frac{du}{a+u}=\ln(a+u)+C=\ln\big(a+\sin^2(x)\big)+C</math> (נזכור כי <math>a+u>0</math> , לכן אין צורך בערך מוחלט).
  
−
== אינטגרציה בהצבה ==
 
  
−
לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים: <BR>
+
[[שיטת ההצבה|הרחבה]]
−
<math>\int f\left (g\left(x \right ) \right )\cdot g'\left (x \right )\ dx=F\left (g\left(x \right ) \right )+c</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
+
  
−
=== דוגמה ===
+
==פונקציה רציונאלית==
 +
על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:
 +
*אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.
 +
*נבצע פירוק לשברים חלקיים.
 +
*נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.
  
−
נחפש את <math>\int \frac{sin\left(2x \right )}{a+sin^2 x}dx</math> כאשר <math>a>0</math>.
+
ניתן לקרוא [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|כאן]] את האלגוריתם המלא.
  
−
נבצע הצבה: <math>du=2\cdot sin\ x\cdot cos\ x\ dx=sin\left(2x \right )dx \ \Leftarrow u=sin^2 x</math>. מקבלים:
+
==הצבות אוניברסאליות==
 +
'''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.
  
−
\int \frac{sin\left(2x \right )}{a+sin^2 x}dx=\int \frac{1}{a+u}du=ln\left ( a+u \right )+c=ln(a+sin^2 x)+c (נזכור כי <math>a+u>0</math>, לכן אין צורך בערך מוחלט).
+
הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)
  
−
=== הרחבה ===
+
*[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הסבר על הצבות אוניברסאליות]]
  
−
[[שיטת ההצבה|הרחבה]]
+
==ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית==
 +
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> .
  
−
== ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית ==
+
נזכור כי <math>1+\tan^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}</math> , ונקבל <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{1+u^2}</math> .
  
−
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>.
+
נקבל בנוסף <math>\cos(x)=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1=\frac{2}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}</math> .
  
−
נזכור כי 1+tan^2\alpha=\frac{1}{cos^2 \alpha}, ונקבל cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right )=\frac{1}{1+tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}=\frac{1}{1+u^2}.
+
לכן:
  
−
נקבל בנוסף cos\ x=2\dcot cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )-1=2\cdot\frac{1}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}.
+
<math>\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}=\sqrt{1-\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=</math>
  
−
לכן sin\ x=\sqrt{ 1-cos^2 x }=\sqrt{1-\left (\frac{1-u^2}{1+u^2}  \right )^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-\left (1-2u^2+u^4 \right )}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{\left ( 2u \right )^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\frac{2u}{1+u^2}
+
<math>\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-(1-2u^2+u^4)}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{(2u)^2}{(1+u^2)^2}}=\frac{2u}{1+u^2}</math>
  
−
כמו כן, <math>x=2\cdot arctan\ t</math>, ולכן <math>dx=\frac{2}{1+u^2} du</math>.
+
ובדרך אחרת:
  
−
=== דוגמה ===
+
<math>\tan(\frac{x}{2})=\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})}=\frac{2 \cdot \sin(\frac{x}{2}) \cdot \cos(\frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}=\frac{\sin(x)}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}</math>
  
−
<math>\int\frac{1}{2+2\cdot sin\ x}dx</math>
+
ולכן מתקיים
  
−
ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u=tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>. נקבל:
+
<math>\sin(x)=\tan(\frac{x}{2})\cdot 2 \cos^2(\frac{x}{2})=\frac{2u}{1+u^2}</math>
  
−
<math>\int\frac{1}{2+2\cdot sin\ x}dx=\int\frac{1}{2+2\cdot \frac{2u}{1+u^2}}\cdot \frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1+u^2}{2+2u^2+4u}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1}{u^2+2u+1}du=\int\frac{1}{\left (u+1\right )^2}du=-\frac{1}{u+1}+c=-\frac{1}{1+tan\left (\frac{x}{2}\right )}+c</math>
 
  
−
=== הרחבה ===
+
כמו כן, <math>x=2\arctan(u)\ \Rightarrow\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math> .
 +
 
 +
לסיכום,
 +
<math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right);\ \cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\ \sin(x)=\frac{2u}{1+u^2};\ x=2\arctan(u);\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math>
 +
 
 +
===דוגמא===
 +
<math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}</math>
 +
 
 +
נעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> . נקבל:
 +
 
 +
<math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\frac{1}{2}\int\frac{1+u^2}{u^2+2u+1}\cdot\frac{2}{1+u^2}du</math>
 +
 
 +
<math>=\int\frac{du}{(u+1)^2}=-\frac{1}{u+1}+C=-\frac{1}{1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)}+C</math>
 +
 
  
 
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
 
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
 +
 +
==הצבות אוילר==
 +
הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>x</math> ו- <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .
 +
 +
===אוילר 1 - הפולינום פריק===
 +
נניח כי הפולינום <math>ax^2+bx+c</math> פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן <math>ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)</math> .
 +
 +
הצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=u(x-\alpha)</math> (אפשר גם את השורש השני). נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .
 +
 +
====דוגמא====
 +
<math>\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}</math>
 +
 +
 +
נעזר בהצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)</math> .
 +
 +
 +
לכן <math>(x-1)(x-6)=u^2(x-1)^2</math> , כלומר <math>x-6=u^2(x-1)</math> , ומכאן <math>x=\frac{u^2-6}{u^2-1}</math> .
 +
 +
 +
לכן <math>dx=\frac{2u(u^2-1)-2u(u^2-6)}{(u^2-1)^2}du=\frac{10u}{(1-u^2)^2}du</math> .
 +
 +
 +
בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)=u\left(\frac{u^2-6}{u^2-1}-1\right)=-\frac{5u}{u^2-1}</math>
 +
 +
מקבלים:
 +
 +
<math>\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot\frac{5u}{u^2-1}}\cdot\frac{10u}{(1-u^2)^2}du=-2\int\frac{du}{u^2-6}</math> כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.
 +
 +
===אוילר 2 - פולינום יותר כללי===
 +
ישנן שתי אפשרויות:
 +
# בהינתן <math>a>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+u</math> .
 +
# בהינתן <math>c>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt c</math> .
 +
 +
נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא את <math>dx</math> ואת <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .
 +
 +
====דוגמא====
 +
<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}</math>
 +
 +
ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u</math> .
 +
 +
 +
נעלה בריבוע ונקבל <math>x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2</math> , כלומר <math>x=\frac{6-u^2}{2u+7}</math> .
 +
 +
 +
לכן <math>dx=\frac{-2u(2u+7)-2(6-u^2)}{(2u+7)^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du</math> ,
 +
 +
 +
וכן <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7}</math> .
 +
 +
מקבלים:
 +
 +
<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2+7u+6}{2u+7}}\cdot2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du=-\int\frac{2}{2u+7}du=-\ln(|2u+7|)+C=-\ln\left(\left|\sqrt{x^2-7x+6}-x\right|\right)+C</math>
 +
 +
 +
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
 +
 +
==סיכום==
 +
'''[[מדיה:אינטגרלים לא-מסוימים.pdf|דף מסכם]]'''

גרסה אחרונה מ־13:52, 15 במרץ 2019

בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.

אינטגרציה מיידית

אינטגרל מיידי הוא אינטגרל על פונקציה שאנחנו יודעים מי הקדומה שלה.

לדוגמא: \int\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^x+\ln(|x|)+C

דף אינטגרליים מיידיים

אינטגרציה בחלקים

לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:

\int f'g=f\cdot g-\int fg' (ניתן לוודא על ידי גזירה).

דוגמא

\int\ln(x)dx

לפי השיטה, נסמן f'(x)=1\ ,\ g(x)=\ln(x) .

לכן נקבל f(x)=x\ ,\ g'(x)=\frac{1}{x} .

לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:

\int\ln(x)dx=x\ln(x)-\int x\cdot\frac{1}{x}dx=x\ln(x)-\int 1\,dx=x\ln(x)-x+C


הרחבה

אינטגרציה בהצבה

לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:

\int f(g(x))\cdot g'(x)dx=F(g(x))+C (ניתן לוודא על-ידי גזירה).

דוגמא

\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx כאשר a>0 .

נבצע הצבהעיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): u=\sin^2(x)\ 

ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): du=2\sin(x)\cos(x)dx=\sin(2x)dx\


מקבלים:

\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx=\int\frac{du}{a+u}=\ln(a+u)+C=\ln\big(a+\sin^2(x)\big)+C (נזכור כי a+u>0 , לכן אין צורך בערך מוחלט).


הרחבה

פונקציה רציונאלית

על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} (כאשר p(x),q(x) פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:

  • אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.
  • נבצע פירוק לשברים חלקיים.
  • נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

ניתן לקרוא כאן את האלגוריתם המלא.

הצבות אוניברסאליות

הצבות אוניברסאליות הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של פונקציה רציונאלית אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.

הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)

ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית

בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב u=\tan\left(\frac{x}{2}\right) .

נזכור כי 1+\tan^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)} , ונקבל \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{1+u^2} .

נקבל בנוסף \cos(x)=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1=\frac{2}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2} .

לכן:

\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}=\sqrt{1-\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=

\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-(1-2u^2+u^4)}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{(2u)^2}{(1+u^2)^2}}=\frac{2u}{1+u^2}

ובדרך אחרת:

\tan(\frac{x}{2})=\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})}=\frac{2 \cdot \sin(\frac{x}{2}) \cdot \cos(\frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}=\frac{\sin(x)}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}

ולכן מתקיים

\sin(x)=\tan(\frac{x}{2})\cdot 2 \cos^2(\frac{x}{2})=\frac{2u}{1+u^2}


כמו כן, x=2\arctan(u)\ \Rightarrow\ dx=\frac{2}{1+u^2}du .

לסיכום, 

u=\tan\left(\frac{x}{2}\right);\ \cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\ \sin(x)=\frac{2u}{1+u^2};\ x=2\arctan(u);\ dx=\frac{2}{1+u^2}du

דוגמא

\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}

נעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב u=\tan\left(\frac{x}{2}\right) . נקבל:

\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\frac{1}{2}\int\frac{1+u^2}{u^2+2u+1}\cdot\frac{2}{1+u^2}du

=\int\frac{du}{(u+1)^2}=-\frac{1}{u+1}+C=-\frac{1}{1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)}+C


הרחבה

הצבות אוילר

הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם x ו- \sqrt{ax^2+bx+c} .

אוילר 1 - הפולינום פריק

נניח כי הפולינום ax^2+bx+c פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta) .

הצבת אוילר: נציב \sqrt{ax^2+bx+c}=u(x-\alpha) (אפשר גם את השורש השני). נביע את x באמצעות u , ונוכל למצוא גם את x וגם את \sqrt{ax^2+bx+c} .

דוגמא

\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}


נעזר בהצבת אוילר: נציב \sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1) .


לכן (x-1)(x-6)=u^2(x-1)^2 , כלומר x-6=u^2(x-1) , ומכאן x=\frac{u^2-6}{u^2-1} .


לכן dx=\frac{2u(u^2-1)-2u(u^2-6)}{(u^2-1)^2}du=\frac{10u}{(1-u^2)^2}du .


בנוסף, \sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)=u\left(\frac{u^2-6}{u^2-1}-1\right)=-\frac{5u}{u^2-1}

מקבלים:

\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot\frac{5u}{u^2-1}}\cdot\frac{10u}{(1-u^2)^2}du=-2\int\frac{du}{u^2-6} כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.

אוילר 2 - פולינום יותר כללי

ישנן שתי אפשרויות:

  1. בהינתן a>0 , נציב \sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+u .
  2. בהינתן c>0 , נציב \sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt c .

נביע את x באמצעות u , ונוכל למצוא את dx ואת \sqrt{ax^2+bx+c} .

דוגמא

\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}

ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב \sqrt{x^2-7x+6}=x+u .


נעלה בריבוע ונקבל x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2 , כלומר x=\frac{6-u^2}{2u+7} .


לכן dx=\frac{-2u(2u+7)-2(6-u^2)}{(2u+7)^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du ,


וכן \sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7} .

מקבלים:

\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2+7u+6}{2u+7}}\cdot2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du=-\int\frac{2}{2u+7}du=-\ln(|2u+7|)+C=-\ln\left(\left|\sqrt{x^2-7x+6}-x\right|\right)+C


הרחבה

סיכום

דף מסכם

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=שיטות_אינטגרציה&oldid=80438