הבדלים בין גרסאות בדף "שיטות אינטגרציה"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏פונקציה רציונאלית)
מ (another way to express sin(x) as a result of the universal trigonometric substitution)
 
(10 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
 
בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.
 
בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.
  
−
== אינטגרציה "רגילה" ==
+
==אינטגרציה מיידית==
 +
אינטגרל מיידי הוא אינטגרל על פונקציה שאנחנו יודעים מי הקדומה שלה.
  
−
הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה, <BR>
+
לדוגמא: <math>\int\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^x+\ln(|x|)+C</math>
−
<math>\int \left(e^x+\frac{1}{x} \right )dx=e^x+\ln\left | x \right |+c</math>.
+
  
−
=== דף אינטגרלים ===
+
[[מדיה:אינטגרלים.pdf|דף אינטגרליים מיידיים]]
  
−
[[מדיה:אינטגרלים.pdf|ראה כאן]]
+
==אינטגרציה בחלקים==
 +
לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:
  
−
=== השלמה לריבוע ===
+
<math>\int f'g=f\cdot g-\int fg'</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
  
−
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-<math>\arctan</math>.
+
===דוגמא===
 +
<math>\int\ln(x)dx</math>
  
−
==== דוגמה ====
+
לפי השיטה, נסמן <math>f'(x)=1\ ,\ g(x)=\ln(x)</math> .
  
−
<math>\int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx</math>
+
לכן נקבל <math>f(x)=x\ ,\ g'(x)=\frac{1}{x}</math> .
−
 
+
−
ניעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל:
+
−
 
+
−
<math>\int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx=\int\frac{1}{\left (x+\frac{1}{2} \right )^2+1}dx=\arctan\left (x+\frac{1}{2} \right )+c</math>
+
−
 
+
−
== אינטגרציה בחלקים ==
+
−
 
+
−
לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים: <BR>
+
−
<math>\int{f'g}=fg-\int{fg'}</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
+
−
 
+
−
=== דוגמה ===
+
−
 
+
−
נחפש את <math>\int \ln\ x \ dx</math>.
+
−
 
+
−
לפי השיטה, נסמן <math>f'\left (x \right )=1</math>, <math>g(x)=\ln\ x</math>.
+
−
 
+
−
לכן נקבל <math>f(x)=x</math>, <math>g'(x)=\frac{1}{x}</math>.
+
  
 
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:
 
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:
  
−
<math>\int \ln\ x \ dx=x\cdot \ln\ x-\int x\cdot \frac{1}{x}\ dx=x\cdot \ln\ x-\int 1\ dx=x\cdot \ln\ x-x+c</math>.
+
<math>\int\ln(x)dx=x\ln(x)-\int x\cdot\frac{1}{x}dx=x\ln(x)-\int 1\,dx=x\ln(x)-x+C</math>
  
−
=== הרחבה ===
 
  
 
[[אינטגרציה בחלקים|הרחבה]]
 
[[אינטגרציה בחלקים|הרחבה]]
  
−
== אינטגרציה בהצבה ==
+
==אינטגרציה בהצבה==
 +
לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:
  
−
לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים: <BR>
+
<math>\int f(g(x))\cdot g'(x)dx=F(g(x))+C</math> (ניתן לוודא על-ידי גזירה).
−
<math>\int f\left (g\left(x \right ) \right )\cdot g'\left (x \right )\ dx=F\left (g\left(x \right ) \right )+c</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
+
  
−
=== דוגמה ===
+
===דוגמא===
 +
<math>\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx</math> כאשר <math>a>0</math> .
  
−
נחפש את <math>\int \frac{\sin\left(2x \right )}{a+\sin^2 x}dx</math> כאשר <math>a>0</math>.
+
נבצע הצבה<math>u=\sin^2(x)\</math> ולכן <math>du=2\sin(x)\cos(x)dx=\sin(2x)dx\</math>
  
−
נבצע הצבה: <math>du=2\cdot \sin\ x\cdot \cos\ x\ dx=\sin\left(2x \right )dx \ \Leftarrow u=\sin^2 x</math>. מקבלים:
+
מקבלים:
  
−
<math>\int \frac{\sin\left(2x \right )}{a+\sin^2 x}dx=\int \frac{1}{a+u}du=\ln\left ( a+u \right )+c=\ln(a+\sin^2 x)+c</math> (נזכור כי <math>a+u>0</math>, לכן אין צורך בערך מוחלט).
+
<math>\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx=\int\frac{du}{a+u}=\ln(a+u)+C=\ln\big(a+\sin^2(x)\big)+C</math> (נזכור כי <math>a+u>0</math> , לכן אין צורך בערך מוחלט).
  
−
=== הרחבה ===
 
  
 
[[שיטת ההצבה|הרחבה]]
 
[[שיטת ההצבה|הרחבה]]
  
−
== ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית ==
+
==פונקציה רציונאלית==
 +
על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:
 +
*אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.
 +
*נבצע פירוק לשברים חלקיים.
 +
*נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.
  
−
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=\tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>.
+
ניתן לקרוא [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|כאן]] את האלגוריתם המלא.
  
−
נזכור כי <math>1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2 \alpha}</math>, ונקבל <math>\cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right )=\frac{1}{1+\tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}=\frac{1}{1+u^2}</math>.
+
==הצבות אוניברסאליות==
 +
'''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.
  
−
נקבל בנוסף <math>\cos\ x=2\cdot \cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )-1=2\cdot\frac{1}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}</math>.
+
הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)
  
−
לכן:
+
*[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הסבר על הצבות אוניברסאליות]]
  
−
<math>\sin\ x=\sqrt{ 1-\cos^2 x }=\sqrt{1-\left (\frac{1-u^2}{1+u^2} \right )^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=</math>
+
==ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית==
 +
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> .
  
−
<math>\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-\left (1-2u^2+u^4  \right )}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{\left ( 2u \right )^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\frac{2u}{1+u^2}</math>
+
נזכור כי <math>1+\tan^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}</math> , ונקבל <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{1+u^2}</math> .
  
−
כמו כן, <math>x=2\cdot \arctan\ u</math>, ולכן <math>dx=\frac{2}{1+u^2} du</math>.
+
נקבל בנוסף <math>\cos(x)=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1=\frac{2}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}</math> .
  
−
לסיכום, <math>\boxed{u=\tan\frac{x}{2};\;\;\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2};\;\;\sin x=\frac{2u}{1+u^2};\;\; x=2\arctan u;\;\; dx=\frac{2}{1+u^2}du}</math>.
+
לכן:
  
−
=== דוגמה ===
+
<math>\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}=\sqrt{1-\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=</math>
  
−
<math>\int\frac{1}{2+2\cdot \sin\ x}dx</math>
+
<math>\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-(1-2u^2+u^4)}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{(2u)^2}{(1+u^2)^2}}=\frac{2u}{1+u^2}</math>
  
−
ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u=\tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>. נקבל:
+
ובדרך אחרת:
  
−
<math>\int\frac{1}{2+2\cdot \sin\ x}dx=\int\frac{1}{2+2\cdot \frac{2u}{1+u^2}}\cdot \frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1+u^2}{2+2u^2+4u}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=</math>
+
<math>\tan(\frac{x}{2})=\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})}=\frac{2 \cdot \sin(\frac{x}{2}) \cdot \cos(\frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}=\frac{\sin(x)}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}</math>
  
−
<math>\int\frac{1}{u^2+2u+1}du=\int\frac{1}{\left (u+1\right )^2}du=-\frac{1}{u+1}+c=-\frac{1}{1+\tan\left (\frac{x}{2}\right )}+c</math>
+
ולכן מתקיים
  
−
=== הרחבה ===
+
<math>\sin(x)=\tan(\frac{x}{2})\cdot 2 \cos^2(\frac{x}{2})=\frac{2u}{1+u^2}</math>
  
−
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
 
  
−
== פירוק לשברים חלקיים ==
+
כמו כן, <math>x=2\arctan(u)\ \Rightarrow\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math> .
  
−
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה פולינום ממעלה נמוכה מאשר במכנה שלה, נרצה לפרק את השבר לשברים חלקיים אשר סכומם הוא השבר המקורי, וקל לבצע אינטגרל לכל אחד מהם בנפרד. ננסה לפרק אותו לגורמים לינאריים ולגורמים ממעלה שנייה.
+
לסיכום,  
 +
<math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right);\ \cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\ \sin(x)=\frac{2u}{1+u^2};\ x=2\arctan(u);\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math>
  
−
[[מדיה:שברים חלקיים.pdf|הסבר ודוגמה]]
+
===דוגמא===
 +
<math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}</math>
  
−
== הצבות אוילר ==
+
נעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> . נקבל:
  
−
הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>x</math> ו-<math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.
+
<math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\frac{1}{2}\int\frac{1+u^2}{u^2+2u+1}\cdot\frac{2}{1+u^2}du</math>
  
−
=== אוילר 1 - הפולינום פריק ===
+
<math>=\int\frac{du}{(u+1)^2}=-\frac{1}{u+1}+C=-\frac{1}{1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)}+C</math>
  
−
נניח כי הפולינום <math>ax^2+bx+c</math> פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן <math>ax^2+bx+c=a\left (x-\alpha\right )\left (x-\beta\right )</math>.
 
  
−
הצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=u\cdot\left (x-\alpha\right )</math> (אפשר גם את השורש השני). נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math>, ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.
+
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
  
−
==== דוגמה ====
+
==הצבות אוילר==
 +
הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>x</math> ו- <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .
  
−
<math>\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx</math>
+
===אוילר 1 - הפולינום פריק===
 +
נניח כי הפולינום <math>ax^2+bx+c</math> פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן <math>ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)</math> .
  
−
ניעזר בהצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left (x-1\right )</math>. לכן <math>\left(x-1 \right )\left(x-6 \right )=u^2\left(x-1 \right )^2</math>, כלומר <math>x-6=u^2\left(x-1 \right )</math>, ומכאן <math>x=\frac{u^2-6}{u^2-1}</math>. לכן <math>dx=\frac{2u\left (u^2-1  \right )-2u\left (u^2-6  \right )}{\left (u^2-1  \right )^2}du=\frac{10u}{\left (1-u^2  \right )^2}du</math>. בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left ( x-1 \right )=u\cdot\left ( \frac{u^2-6}{u^2-1}-1 \right )=-\frac{5u}{u^2-1}</math>
+
הצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=u(x-\alpha)</math> (אפשר גם את השורש השני). נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .
  
−
מקבלים:
+
====דוגמא====
 +
<math>\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}</math>
  
−
<math>\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot \frac{5u}{u^2-1}\ }\cdot\frac{10u}{\left ( 1-u^2 \right )^2}du=-2\int \frac{1}{u^2-6}du</math> כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.
 
  
−
=== אוילר 2 - פולינום יותר כללי ===
+
נעזר בהצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)</math> .
  
−
ישנן שתי אפשרויות:
 
−
# בהינתן <math>a>0</math>, נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}\cdot x+u</math>.
 
−
# בהינתן <math>c>0</math>, נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt{c}</math>.
 
  
−
נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math>, ונוכל למצוא את <math>dx</math> ואת <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.
+
לכן <math>(x-1)(x-6)=u^2(x-1)^2</math> , כלומר <math>x-6=u^2(x-1)</math> , ומכאן <math>x=\frac{u^2-6}{u^2-1}</math> .
 +
 
  
−
==== דוגמה ====
+
לכן <math>dx=\frac{2u(u^2-1)-2u(u^2-6)}{(u^2-1)^2}du=\frac{10u}{(1-u^2)^2}du</math> .
  
−
<math>\int\frac{1}{\sqrt{x^2-7x+6}}dx</math>
 
  
−
ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u</math>. נעלה בריבוע ונקבל <math>x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2</math>, כלומר <math>x=\frac{6-u^2}{2u+7}</math>. לכן <math>dx=\frac{-2u\left (2u+7  \right )-2\left (6-u^2  \right )}{\left (2u+7  \right )^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du</math>, וכן <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7}</math>.
+
בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)=u\left(\frac{u^2-6}{u^2-1}-1\right)=-\frac{5u}{u^2-1}</math>
  
 
מקבלים:
 
מקבלים:
  
−
<math>\int\frac{1}{\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2+7u+6}{2u+7} \ }\cdot 2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du=-\int\frac {2}{2u+7}du=-ln\left | 2u+7 \right |+c=-ln\left | \sqrt{x^2-7x+6}-x \right |+c</math>
+
<math>\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot\frac{5u}{u^2-1}}\cdot\frac{10u}{(1-u^2)^2}du=-2\int\frac{du}{u^2-6}</math> כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.
  
−
=== הרחבה ===
+
===אוילר 2 - פולינום יותר כללי===
 +
ישנן שתי אפשרויות:
 +
# בהינתן <math>a>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+u</math> .
 +
# בהינתן <math>c>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt c</math> .
  
−
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
+
נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא את <math>dx</math> ואת <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .
  
−
== פונקציה רציונאלית ==
+
====דוגמא====
 +
<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}</math>
  
−
קיימים מספר מצבים עבור פונקציות רציונאליות <math>f\left (x\right )=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים). להלן המצבים:
+
ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u</math> .
  
−
=== מצב ראשון <math>\deg\ p=\deg\ q-1</math> ===
 
  
−
במצב כזה, <math>\deg\ q'=\deg\ p</math>, לכן קיים קבוע <math>c</math> שעבורו <math>h=cp-q'</math> יהיה ממעלה יותר נמוכה, כלומר <math>\deg\ h<\ \deg\ q-1</math>. נקבל:
+
נעלה בריבוע ונקבל <math>x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2</math> , כלומר <math>x=\frac{6-u^2}{2u+7}</math> .
  
−
<math>\int f=\int\frac{p}{q}=\int\frac{\ \frac{h+q'}{c}\ }{q}=\frac{1}{c}\cdot\int\frac{h}{q}+\frac{1}{c}\cdot \ln|q|</math>. עוברים למצב הבא.
 
  
−
=== מצב שני <math>\deg\ p<\deg\ q-1</math> ===
+
לכן <math>dx=\frac{-2u(2u+7)-2(6-u^2)}{(2u+7)^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du</math> ,
  
−
מפרקים לשברים חלקיים כפי שמוסבר בקובץ [[מדיה:שברים חלקיים.pdf|הזה]].
 
  
−
=== מצב שלישי <math>\deg\ p\ge \deg\ q</math> ===
+
וכן <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7}</math> .
  
−
מבצעים חילוק פולינומים וחוזרים למצבים הקודמים.
+
מקבלים:
  
−
=== הרחבה ===
+
<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2+7u+6}{2u+7}}\cdot2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du=-\int\frac{2}{2u+7}du=-\ln(|2u+7|)+C=-\ln\left(\left|\sqrt{x^2-7x+6}-x\right|\right)+C</math>
  
−
[[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|הרחבה]]
 
  
−
== סיכום ==
+
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
  
 +
==סיכום==
 
'''[[מדיה:אינטגרלים לא-מסוימים.pdf|דף מסכם]]'''
 
'''[[מדיה:אינטגרלים לא-מסוימים.pdf|דף מסכם]]'''

גרסה אחרונה מ־13:52, 15 במרץ 2019

בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.

אינטגרציה מיידית

אינטגרל מיידי הוא אינטגרל על פונקציה שאנחנו יודעים מי הקדומה שלה.

לדוגמא: \int\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^x+\ln(|x|)+C

דף אינטגרליים מיידיים

אינטגרציה בחלקים

לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:

\int f'g=f\cdot g-\int fg' (ניתן לוודא על ידי גזירה).

דוגמא

\int\ln(x)dx

לפי השיטה, נסמן f'(x)=1\ ,\ g(x)=\ln(x) .

לכן נקבל f(x)=x\ ,\ g'(x)=\frac{1}{x} .

לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:

\int\ln(x)dx=x\ln(x)-\int x\cdot\frac{1}{x}dx=x\ln(x)-\int 1\,dx=x\ln(x)-x+C


הרחבה

אינטגרציה בהצבה

לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:

\int f(g(x))\cdot g'(x)dx=F(g(x))+C (ניתן לוודא על-ידי גזירה).

דוגמא

\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx כאשר a>0 .

נבצע הצבהעיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): u=\sin^2(x)\ 

ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): du=2\sin(x)\cos(x)dx=\sin(2x)dx\


מקבלים:

\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx=\int\frac{du}{a+u}=\ln(a+u)+C=\ln\big(a+\sin^2(x)\big)+C (נזכור כי a+u>0 , לכן אין צורך בערך מוחלט).


הרחבה

פונקציה רציונאלית

על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} (כאשר p(x),q(x) פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:

  • אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.
  • נבצע פירוק לשברים חלקיים.
  • נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

ניתן לקרוא כאן את האלגוריתם המלא.

הצבות אוניברסאליות

הצבות אוניברסאליות הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של פונקציה רציונאלית אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.

הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)

ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית

בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב u=\tan\left(\frac{x}{2}\right) .

נזכור כי 1+\tan^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)} , ונקבל \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{1+u^2} .

נקבל בנוסף \cos(x)=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1=\frac{2}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2} .

לכן:

\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}=\sqrt{1-\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=

\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-(1-2u^2+u^4)}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{(2u)^2}{(1+u^2)^2}}=\frac{2u}{1+u^2}

ובדרך אחרת:

\tan(\frac{x}{2})=\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})}=\frac{2 \cdot \sin(\frac{x}{2}) \cdot \cos(\frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}=\frac{\sin(x)}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}

ולכן מתקיים

\sin(x)=\tan(\frac{x}{2})\cdot 2 \cos^2(\frac{x}{2})=\frac{2u}{1+u^2}


כמו כן, x=2\arctan(u)\ \Rightarrow\ dx=\frac{2}{1+u^2}du .

לסיכום, 

u=\tan\left(\frac{x}{2}\right);\ \cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\ \sin(x)=\frac{2u}{1+u^2};\ x=2\arctan(u);\ dx=\frac{2}{1+u^2}du

דוגמא

\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}

נעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב u=\tan\left(\frac{x}{2}\right) . נקבל:

\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\frac{1}{2}\int\frac{1+u^2}{u^2+2u+1}\cdot\frac{2}{1+u^2}du

=\int\frac{du}{(u+1)^2}=-\frac{1}{u+1}+C=-\frac{1}{1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)}+C


הרחבה

הצבות אוילר

הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם x ו- \sqrt{ax^2+bx+c} .

אוילר 1 - הפולינום פריק

נניח כי הפולינום ax^2+bx+c פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta) .

הצבת אוילר: נציב \sqrt{ax^2+bx+c}=u(x-\alpha) (אפשר גם את השורש השני). נביע את x באמצעות u , ונוכל למצוא גם את x וגם את \sqrt{ax^2+bx+c} .

דוגמא

\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}


נעזר בהצבת אוילר: נציב \sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1) .


לכן (x-1)(x-6)=u^2(x-1)^2 , כלומר x-6=u^2(x-1) , ומכאן x=\frac{u^2-6}{u^2-1} .


לכן dx=\frac{2u(u^2-1)-2u(u^2-6)}{(u^2-1)^2}du=\frac{10u}{(1-u^2)^2}du .


בנוסף, \sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)=u\left(\frac{u^2-6}{u^2-1}-1\right)=-\frac{5u}{u^2-1}

מקבלים:

\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot\frac{5u}{u^2-1}}\cdot\frac{10u}{(1-u^2)^2}du=-2\int\frac{du}{u^2-6} כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.

אוילר 2 - פולינום יותר כללי

ישנן שתי אפשרויות:

  1. בהינתן a>0 , נציב \sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+u .
  2. בהינתן c>0 , נציב \sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt c .

נביע את x באמצעות u , ונוכל למצוא את dx ואת \sqrt{ax^2+bx+c} .

דוגמא

\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}

ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב \sqrt{x^2-7x+6}=x+u .


נעלה בריבוע ונקבל x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2 , כלומר x=\frac{6-u^2}{2u+7} .


לכן dx=\frac{-2u(2u+7)-2(6-u^2)}{(2u+7)^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du ,


וכן \sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7} .

מקבלים:

\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2+7u+6}{2u+7}}\cdot2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du=-\int\frac{2}{2u+7}du=-\ln(|2u+7|)+C=-\ln\left(\left|\sqrt{x^2-7x+6}-x\right|\right)+C


הרחבה

סיכום

דף מסכם

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=שיטות_אינטגרציה&oldid=80438