שיטות אינטגרציה

בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.

אינטגרציה "רגילה"

הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמא,

$\int\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^x+\ln(|x|)+C$

דף אינטגרלים

ראה כאן

השלמה לריבוע

כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שניה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהעזר ב- $\arctan$ .

דוגמא

$\int\frac{dx}{x^2+x+\frac{5}{4}}$

נעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל:

$\int\frac{dx}{x^2+x+\frac{5}{4}}=\int\frac{dx}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+1}=\arctan\left(x+\frac{1}{2}\right)+C$

אינטגרציה בחלקים

לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:

$\int f'g=f\cdot g-\int fg'$ (ניתן לוודא על ידי גזירה).

דוגמא

$\int\ln(x)dx$

לפי השיטה, נסמן $f'(x)=1\ ,\ g(x)=\ln(x)$ .

לכן נקבל $f(x)=x\ ,\ g'(x)=\frac{1}{x}$ .

לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:

$\int\ln(x)dx=x\ln(x)-\int x\cdot\frac{1}{x}dx=x\ln(x)-\int 1\,dx=x\ln(x)-x+C$

הרחבה

אינטגרציה בהצבה

לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:

$\int f(g(x))\cdot g'(x)dx=F(g(x))+C$ (ניתן לוודא על-ידי גזירה).

דוגמא

$\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx$ כאשר $a>0$ .

נבצע הצבה: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): u=\sin^2(x)\ \Rightarrow\ du=2\sin(x)\cos(x)dx=\sin(2x)dx\

מקבלים:

$\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx=\int\frac{du}{a+u}=\ln(a+u)+C=\ln\big(a+\sin^2(x)\big)+C$ (נזכור כי $a+u>0$ , לכן אין צורך בערך מוחלט).

הרחבה

ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית

בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב $u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ .

נזכור כי $1+\tan^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}$ , ונקבל $\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{1+u^2}$ .

נקבל בנוסף $\cos(x)=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1=\frac{2}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}$ .

לכן:

$\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}=\sqrt{1-\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=$

$\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-(1-2u^2+u^4)}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{(2u)^2}{(1+u^2)^2}}=\frac{2u}{1+u^2}$

כמו כן, $x=2\arctan(u)\ \Rightarrow\ dx=\frac{2}{1+u^2}du$ .

לסיכום,

$u=\tan\left(\frac{x}{2}\right);\ \cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\ \sin(x)=\frac{2u}{1+u^2};\ x=2\arctan(u);\ dx=\frac{2}{1+u^2}du$

דוגמא

$\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}$

נעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב $u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ . נקבל:

$\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\frac{1}{2}\int\frac{1+u^2}{u^2+2u+1}\cdot\frac{2}{1+u^2}du$

$=\int\frac{du}{(u+1)^2}=-\frac{1}{u+1}+C=-\frac{1}{1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)}+C$

הרחבה

הצבות אוילר

הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם $x$ ו- $\sqrt{ax^2+bx+c}$ .

אוילר 1 - הפולינום פריק

נניח כי הפולינום $ax^2+bx+c$ פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן $ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$ .

הצבת אוילר: נציב $\sqrt{ax^2+bx+c}=u(x-\alpha)$ (אפשר גם את השורש השני). נביע את $x$ באמצעות $u$ , ונוכל למצוא גם את $x$ וגם את $\sqrt{ax^2+bx+c}$ .

דוגמא

$\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}$

נעזר בהצבת אוילר: נציב $\sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)$ .

לכן $(x-1)(x-6)=u^2(x-1)^2$ , כלומר $x-6=u^2(x-1)$ , ומכאן $x=\frac{u^2-6}{u^2-1}$ .

לכן $dx=\frac{2u(u^2-1)-2u(u^2-6)}{(u^2-1)^2}du=\frac{10u}{(1-u^2)^2}du$ .

בנוסף, $\sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)=u\left(\frac{u^2-6}{u^2-1}-1\right)=-\frac{5u}{u^2-1}$

מקבלים:

$\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot\frac{5u}{u^2-1}}\cdot\frac{10u}{(1-u^2)^2}du=-2\int\frac{du}{u^2-6}$ כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.

אוילר 2 - פולינום יותר כללי

ישנן שתי אפשרויות:

1. בהינתן $a>0$ , נציב $\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+u$ .
2. בהינתן $c>0$ , נציב $\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt c$ .

נביע את $x$ באמצעות $u$ , ונוכל למצוא את $dx$ ואת $\sqrt{ax^2+bx+c}$ .

דוגמא

$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}$

ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב $\sqrt{x^2-7x+6}=x+u$ .

נעלה בריבוע ונקבל $x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2$ , כלומר $x=\frac{6-u^2}{2u+7}$ .

לכן $dx=\frac{-2u(2u+7)-2(6-u^2)}{(2u+7)^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du$ ,

וכן $\sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7}$ .

מקבלים:

$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2+7u+6}{2u+7}}\cdot2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du=-\int\frac{2}{2u+7}du=-\ln(|2u+7|)+C=-\ln\left(\left|\sqrt{x^2-7x+6}-x\right|\right)+C$

הרחבה

פונקציה רציונאלית

על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ (כאשר $p(x),q(x)$ פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:

• אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.
• נבצע פירוק לשברים חלקיים.
• נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

ניתן לקרוא כאן את האלגוריתם המלא.

סיכום

דף מסכם