שיטות אינטגרציה

בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.

אינטגרציה מיידית

אינטגרל מיידי הוא אינטגרל על פונקציה שאנחנו יודעים מי הקדומה שלה.

לדוגמא: $\int\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^x+\ln(|x|)+C$

דף אינטגרליים מיידיים

אינטגרציה בחלקים

לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:

$\int f'g=f\cdot g-\int fg'$ (ניתן לוודא על ידי גזירה).

דוגמא

$\int\ln(x)dx$

לפי השיטה, נסמן $f'(x)=1\ ,\ g(x)=\ln(x)$ .

לכן נקבל $f(x)=x\ ,\ g'(x)=\frac{1}{x}$ .

לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:

$\int\ln(x)dx=x\ln(x)-\int x\cdot\frac{1}{x}dx=x\ln(x)-\int 1\,dx=x\ln(x)-x+C$

הרחבה

אינטגרציה בהצבה

לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:

$\int f(g(x))\cdot g'(x)dx=F(g(x))+C$ (ניתן לוודא על-ידי גזירה).

דוגמא

$\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx$ כאשר $a>0$ .

נבצע הצבה: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): u=\sin^2(x)\ \Rightarrow\ du=2\sin(x)\cos(x)dx=\sin(2x)dx\

מקבלים:

$\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx=\int\frac{du}{a+u}=\ln(a+u)+C=\ln\big(a+\sin^2(x)\big)+C$ (נזכור כי $a+u>0$ , לכן אין צורך בערך מוחלט).

הרחבה

ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית

בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב $u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ .

נזכור כי $1+\tan^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}$ , ונקבל $\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{1+u^2}$ .

נקבל בנוסף $\cos(x)=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1=\frac{2}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}$ .

לכן:

$\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}=\sqrt{1-\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=$

$\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-(1-2u^2+u^4)}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{(2u)^2}{(1+u^2)^2}}=\frac{2u}{1+u^2}$

כמו כן, $x=2\arctan(u)\ \Rightarrow\ dx=\frac{2}{1+u^2}du$ .

לסיכום,

$u=\tan\left(\frac{x}{2}\right);\ \cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\ \sin(x)=\frac{2u}{1+u^2};\ x=2\arctan(u);\ dx=\frac{2}{1+u^2}du$

דוגמא

$\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}$

נעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב $u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ . נקבל:

$\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\frac{1}{2}\int\frac{1+u^2}{u^2+2u+1}\cdot\frac{2}{1+u^2}du$

$=\int\frac{du}{(u+1)^2}=-\frac{1}{u+1}+C=-\frac{1}{1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)}+C$

הרחבה

הצבות אוילר

הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם $x$ ו- $\sqrt{ax^2+bx+c}$ .

אוילר 1 - הפולינום פריק

נניח כי הפולינום $ax^2+bx+c$ פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן $ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$ .

הצבת אוילר: נציב $\sqrt{ax^2+bx+c}=u(x-\alpha)$ (אפשר גם את השורש השני). נביע את $x$ באמצעות $u$ , ונוכל למצוא גם את $x$ וגם את $\sqrt{ax^2+bx+c}$ .

דוגמא

$\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}$

נעזר בהצבת אוילר: נציב $\sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)$ .

לכן $(x-1)(x-6)=u^2(x-1)^2$ , כלומר $x-6=u^2(x-1)$ , ומכאן $x=\frac{u^2-6}{u^2-1}$ .

לכן $dx=\frac{2u(u^2-1)-2u(u^2-6)}{(u^2-1)^2}du=\frac{10u}{(1-u^2)^2}du$ .

בנוסף, $\sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)=u\left(\frac{u^2-6}{u^2-1}-1\right)=-\frac{5u}{u^2-1}$

מקבלים:

$\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot\frac{5u}{u^2-1}}\cdot\frac{10u}{(1-u^2)^2}du=-2\int\frac{du}{u^2-6}$ כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.

אוילר 2 - פולינום יותר כללי

ישנן שתי אפשרויות:

1. בהינתן $a>0$ , נציב $\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+u$ .
2. בהינתן $c>0$ , נציב $\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt c$ .

נביע את $x$ באמצעות $u$ , ונוכל למצוא את $dx$ ואת $\sqrt{ax^2+bx+c}$ .

דוגמא

$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}$

ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב $\sqrt{x^2-7x+6}=x+u$ .

נעלה בריבוע ונקבל $x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2$ , כלומר $x=\frac{6-u^2}{2u+7}$ .

לכן $dx=\frac{-2u(2u+7)-2(6-u^2)}{(2u+7)^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du$ ,

וכן $\sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7}$ .

מקבלים:

$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2+7u+6}{2u+7}}\cdot2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du=-\int\frac{2}{2u+7}du=-\ln(|2u+7|)+C=-\ln\left(\left|\sqrt{x^2-7x+6}-x\right|\right)+C$

הרחבה

פונקציה רציונאלית

על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ (כאשר $p(x),q(x)$ פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:

• אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.
• נבצע פירוק לשברים חלקיים.
• נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

ניתן לקרוא כאן את האלגוריתם המלא.

סיכום

דף מסכם