גרסה מ־11:45, 19 ביוני 2013

חזרה לדף המשתמש

תאריך עדכון אחרון: 19 ביוני 2013

תוכן עניינים

1 תוכנה 1: MATLAB
- 1.1 עבודה בסיסית ב־MATLAB

תוכנה 1: MATLAB

הערה: ב־MATLAB בסוף כך שורת הוראה יש להוסיף ; על מנת שלא תתבצע הדפסה, אך אם רוצים הדפסה אין להוסיף ; בסוף השורה.

עבודה בסיסית ב־MATLAB

משתנים

משתנה הוא סמל המסמן כמות, איבר של קבוצה, או ערך לוגי, העשויים להשתנות (מתוך ויקיפדיה).

השמה למשתנה - הכנסת ערך אליו. ב־MATLAB (דוגמות):
x=3
z=pi
w=4+5*i

פעולות בסיסיות עם משתנים (a,b מציינים מספרים):

הפעולה	הסימן ב־MATLAB
חיבור	a+b
חיסור	a-b
כפל	a*b
חילוק	/
חזקה	a^b
לוגריתם טבעי (ln)	(log(a
שורש ריבועי	(sqrt(a
ערך שלם / רצפה	(floor(a
שארית חלוקה (רק עבור שלמים)	(mod(a,b

להוספת הערה בסוף שורה כותבים את הסימן % ולאחריו את ההערה.

בחילוק שני מספרים שלמים, המנה היא (floor(x,y והשארית היא (mod(x,y.

משתנים קבועים: i,j - ה־i המרוכב, $\sqrt{-1}$ , pi - פאי.

הדפסת ערך משתנה:
(disp(value

מטריצות

פעולות בסיסיות עם משתנים (A,B מציינים מטריצות):

הפעולה	ההוראה ב־MATLAB
הגדרת מטריצת אפסים בגודל $m\times n$	(A=zeros(m,n
איבר בשורה x ובעמודה y	(A(x,y
חיבור מטריצות	A+B
חיסור מטריצות	A-B
כפל במובן מטריצות	A*B
כפל איבר־איבר	A.*B
חילוק (כפל בהופכית)	A/B
חילוק איבר־איבר	A./B
מימדי מטריצה (וקטור)	(size(A
שחלוף (transpose)	'A

ועוד...

הערה 1: האינדקסים במטריצה מתחילים מ־1.

הערה 2: אם נעשתה פנייה לאיבר שאינו במערך והושם בו ערך, MATLAB ירחיב באופן אוטומטי את המערך, ובמקומות שנוספו יושמו אפסים.

מערכים: מטריצה מגודל nx1

פעולות בסיסיות עם מערכים (v מייצג וקטור, m,n,p מייצגים מספר כלשהו):

הפעולה	ההוראה ב־MATLAB
אתחול (הצבת אפסים)	(v=zeros(n,1
האיבר ה־n-י	(v(n
אורך הוקטור	(length(v
וקטור המכיל את המספרים הטבעיים עד n	v=1:n
וקטור המכיל את כל המספרים מ־m עד n בקפיצות p	v=m:p:n

דוגמה: בכתיבה 1:5 יווצר הווקטור [5 4 3 2 1]. בכתיבה 1:2:5 יווצר הוקטור [5 3 1].

ניתן להגדיר וקטור גם באופן הבא: [w=[3 9 10 11 4 (במקום רווחים ניתן להשתמש בפסיקים). על מנת להגדיר מטריצה באופן דומה מוסיפים ; כדי לרדת שורה.

ניתן לקבל וקטור מאינדקסים מסוימים. למשל, עבור w שהוגדר,
[w(1:2:5)=w([1 3 5])=[3 10 4

פעולות בוליאניות

פעולות בוליאניות מחזירות 0 (שקר) או 1 (אמת). דוגמות (a,b מספרים):

הפעולה	הסימון ב־MATLAB
האם שני ערכים שווים	a==b
קטן	ab
קטן שווה	a<=b
גדול שווה	a>=b
אינו שווה	=~

&& - וגם, || - או

תנאים

תנאי פשוט:

(תנאי) if 

הוראות לביצוע

end

תנאי מורכב:

(תנאי) if

(הוראות לביצוע)

else

(הוראות לביצוע)

end

תנאי יותר מורכב:

(תנאי) if

(הוראות לביצוע)

elseif

(הוראות לביצוע)

else

(הוראות לביצוע)

end

לולאת for

לולאת for - ביצוע אותו רצף הוראות מספר ידוע מראש של פעמים.

תכנות:

(וקטור המכיל את ערכי i הדרושים)=for i

(הוראות לביצוע)

end

הערה: אמנם i הוא קבוע, אך ניתן להציב בו ערך. על מנת להחזירו להיות ה־i המרוכב, נכתוב את ההוראה clear i.

לולאת while

לולאת while - ביצוע אותו רצף הוראות מספר שאינו ידוע מראש של פעמים אך עם תנאי לעצירה.

תכנות:

(תנאי לעצירה, תנאי בוליאני) while

(הוראות לביצוע)

end

תרגילים

תרגיל 1 - עצרת

חשבו את $1000!$ .

פתרון 1 - לולאת for:

;n=1
for i=2:1000
;n=n*i
end
;(disp(n

פתרון 2 - לולאת while:

;n=1
;i=1
while i<=1000
;n=n*i
;i=i+1
end
;(disp(n

תרגיל 2 - מספרים ראשוניים

צרו וקטור המכיל את כל המספרים הראשוניים מ־1 עד 1000

;כמה ראשוניים מצאנו % found=0
;וקטור עם המספרים הראשוניים % []=primes
for p=1:1000
   ;yesno=1
   ;k=2
   while k<=sqrt(p) && yesno==1
      if mod(p,k)==0
         ;yesno=0
      end
      ;k=k+1
   end
   if yesno==1
      ;found=found+1
      ;primes(found)=p
   end
end

תרגיל 3 - פירוק מספר שלם לגורמים ראשוניים

פרקו מספר שלם $k\leq 1000$ לגורמים ראשוניים (אפשר להשתמש בוקטור primes מהתרגיל הקודם).

;k=252
while k>1
    ;i=2
   while mod(k,primes(i))!~=0
      ;i=i+1
   end
   ;((disp(primes(i
   ;(k=k/primes(i
end

יישומים מתמטיים

מחלק משותף גדול ביותר gcd

עבור $m,n$ שלמים, המספר השלם הגדול ביותר המחלק גם את $m$ וגם את $n$ ייקרא המחלק המשותף הגדול ביותר ויסומן $gcd(m,n)$ .

;m=12
;n=30
if n<m
   ;t=m
   ;m=n
   ;n=t
end
for i=1:m
   if mod(m,i)==0 && mod(n,i)=0
      ;gcd=i
   end
end
;(disp(gcd

קבלת מינימום

ישנן שלוש דרכים לקבל את המספר המינימלי מבין $m,n$ .

דרך ראשונה - ([min([m,n

דרך שנייה - תנאי

דרך שלישית - $min=\frac{m+n}{2}-\frac{m-n}{2}$

אלגוריתם אוקלידס

אלגוריתם אוקלידס נועד למציאת מחלק משותף מקסימלי בין שני מספרים שלמים $m,n$ .

האלגוריתם

נניח $m<n$ . נגדיר: $r_0=n$
$r_1=m$
$r_0=q_1 r_1+r_2$ כאשר $1\leq q_1 \leq r_0$ , $0\leq r_2 <r_1$
ובאינדוקציה $r_k=q_{k+1} r_{k+1}+r_{k+2}$
עד שנגיע ל־ $r_N=0$ .
בהכרח נעצור כי $r_{k+1}<r_k$ .

לפי אלגוריתם זה, ה־gcd הינו $r_{N-1}$ .

דוגמה

נבחר $r_0=30, r_1=12$ .
$30=2\cdot 12+\underset{r_2}{\underbrace{6}}$
$12=2\cdot 6+\underset{r_3}{\underbrace{0}}$
ולכן $gcd(30,12)=6$

הוכחת האלגוריתם

$r_{N-2}=q_{N-1} r_{N-1}+r_N=q_{N-1} r_{N-1}$ $\Leftarrow$ $r_{N-1}|r_{N-2}$ .

$r_{N-3}=q_{N-2} r_{N-2}+r_{N-1}$ .
$r_{N-1}|r_{N-2}$ וגם $r_{N-1}|r_{N-1}$ $\Leftarrow$ $r_{N-1}|r_{N-3}$

$r_{N-4}=q_{N-3} r_{N-3}+r_{N-2}$ .
$r_{N-1}|r_{N-2}$ וגם $r_{N-1}|r_{N-3}$ $\Leftarrow$ $r_{N-1}|r_{N-4}$
<BR

באינדוקציה, נקבל $r_{N-1}|r_1$ וגם $r_{N-1}|r_0$ .

מדוע $r_{N-1}$ הוא המחלק המשותף הגדול ביותר? נניח $r_k=gcd(m,n)$ , אזי $r_{k-1}=q_{k} r_{k}+0$ .

בהכרח נגיע למחלק המשותף המקסימלי מפני שבשלב ה־k־י, $r_{k-1}|gcd(m,n)$ וגם $r_k|gcd(m,n)$ , לכן $r_{k+1}|gcd(m,n)$ .

תכנות

;m=12
;n=30
if n<m
   ;r1=n
   ;r0=m
else
   ;r1=m
   ;r0=n
end
while r1>0
   ;(r2=mod(r0,r1
   ;r0=r1
   ;r1=r2
end
;gcd=r0

דוגמה

עבור $m=169, n=1482$

$r_2$	$r_1$	$r_0$
	169	1482
130	130	169
39	39	130
13	13	39
0	0	13

gcd(169,1482)=13

עבור $m=441, n=42$

$r_2$	$r_1$	$r_0$
	42	441
21	21	42
0	0	21

gcd(42,441)=21

פתרון מערכת משוואות - ניוטון-רפסון

תהי

f(x)

פונקציה, צריך למצוא

x

כך ש־

f(x)=0

.

@@ שורה 318: / שורה 318: @@
 ====אלגוריתם אוקלידס====
+אלגוריתם אוקלידס נועד למציאת מחלק משותף מקסימלי בין שני מספרים שלמים <math>m,n</math>.
+'''האלגוריתם'''
+נניח <math>m<n</math>. נגדיר:
+<math>r_0=n</math> <BR>
+<math>r_1=m</math><BR>
+<math>r_0=q_1 r_1+r_2</math> כאשר <math>1\leq q_1 \leq r_0</math>, <math>0\leq r_2 <r_1</math><BR>
+ובאינדוקציה <math>r_k=q_{k+1} r_{k+1}+r_{k+2}</math> <BR>
+עד שנגיע ל־<math>r_N=0</math>. <BR>
+בהכרח נעצור כי <math>r_{k+1}<r_k</math>.
+לפי אלגוריתם זה, ה־gcd הינו <math>r_{N-1}</math>.
+'''דוגמה'''
+נבחר <math>r_0=30, r_1=12</math>. <BR>
+<math>30=2\cdot 12+\underset{r_2}{\underbrace{6}}</math> <BR>
+<math>12=2\cdot 6+\underset{r_3}{\underbrace{0}}</math><BR>
+ולכן <math>gcd(30,12)=6</math>
+'''הוכחת האלגוריתם'''
+<math>r_{N-2}=q_{N-1} r_{N-1}+r_N=q_{N-1} r_{N-1}</math> <math>\Leftarrow</math> <math>r_{N-1}|r_{N-2}</math>. <BR> <BR>
+<math>r_{N-3}=q_{N-2} r_{N-2}+r_{N-1}</math>. <BR>
+<math>r_{N-1}|r_{N-2}</math> וגם <math>r_{N-1}|r_{N-1}</math> <math>\Leftarrow</math><math>r_{N-1}|r_{N-3}</math> <BR><BR>
+<math>r_{N-4}=q_{N-3} r_{N-3}+r_{N-2}</math>. <BR>
+<math>r_{N-1}|r_{N-2}</math> וגם <math>r_{N-1}|r_{N-3}</math> <math>\Leftarrow</math><math>r_{N-1}|r_{N-4}</math> <BR><BR <BR><BR>
+באינדוקציה, נקבל <math>r_{N-1}|r_1</math> וגם <math>r_{N-1}|r_0</math>.
+מדוע <math>r_{N-1}</math> הוא המחלק המשותף הגדול ביותר? נניח <math>r_k=gcd(m,n)</math>, אזי <math>r_{k-1}=q_{k} r_{k}+0</math>.
+בהכרח נגיע למחלק המשותף המקסימלי מפני שבשלב ה־k־י, <math>r_{k-1}|gcd(m,n)</math> וגם <math>r_k|gcd(m,n)</math>, לכן <math>r_{k+1}|gcd(m,n)</math>.
+'''תכנות'''
+<div align="left">
+ ;m=12
+ ;n=30
+ if n<m
+    ;r1=n
+    ;r0=m
+ else
+    ;r1=m
+    ;r0=n
+ end
+ while r1>0
+    ;(r2=mod(r0,r1
+    ;r0=r1
+    ;r1=r2
+ end
+ ;gcd=r0
+<div align="right">
+'''דוגמה'''
+עבור <math>m=169, n=1482</math>
+{| border="1" align="center"
+! <math>r_2</math>
+! <math>r_1</math>
+! <math>r_0</math>
+|-
+|
+| 169
+| 1482
+|-
+| 130
+| 130
+| 169
+|-
+| 39
+| 39
+| 130
+|-
+| 13
+| 13
+| 39
+|-
+| 0
+| 0
+| 13
+|}
+gcd(169,1482)=13
+עבור <math>m=441, n=42</math>
+{| border="1" align="center"
+! <math>r_2</math>
+! <math>r_1</math>
+! <math>r_0</math>
+|-
+|
+| 42
+| 441
+|-
+| 21
+| 21
+| 42
+|-
+| 0
+| 0
+| 21
+|}
+gcd(42,441)=21
 ====פתרון מערכת משוואות - ניוטון-רפסון====
 תהי <math>f(x)</math> פונקציה, צריך למצוא <math>x</math> כך ש־<math>f(x)=0</math>.

הבדלים בין גרסאות בדף "תקציר שימושי מחשב, סמסטר ב תשעג, גיא בלשר"