תרגיל על קבוצה פורשת

תרגיל

יהי $V$ מרחב וקטורי, ונניח $S=\{v,u,w\}$ קבוצה פורשת. הוכיחו או הפריכו: $S'=\{v+u,v+w,u+w\}$ פורשת.

פתרון

כפי שראינו בכיתה, לוקחים $v\in V$ כללי ובודקים האם יש $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ כך ש- $\alpha_1(v+u)+\alpha_2(v+w)+\alpha_3(u+w)=v$. לפי הנתון ש-$S$ פורשת ידוע שיש $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ כך ש- $\beta_1v+\beta_2u+\beta_3w=v$, לכן אם מתקיים $\alpha_1+\alpha_2=\beta_1\land \alpha_1+\alpha_3=\beta_2\land \alpha_2+\alpha_3=\beta_3$ אז הקבוצה אכן פורשת. זה שקול למערכת המשוואות הבאה:

$\begin{bmatrix} 1&1&0&|\beta_1 \\ 1&0&1&|\beta_2 \\ 0&1&1&|\beta_3 \end{bmatrix}$.

כפי שראינו בתרגול, הדירוג מוביל ליחידה ולכן יש פתרון למערכת, כלומר הקבוצה אכן פורשת.

נשאלת השאלה (מה שגרם לבלבול בתרגול...): מה היה קורה אילו לא היה פתרון למערכת? האם זה אומר שהקבוצה בהכרח לא פורשת? לצורך העניין, אם היינו לוקחים $S'=\{v+u,u+w\}$ מה התשובה צריכה להיות? יש הפרכה, אך יש מצבים בהם גם הקבוצה הזו פורשת. מוזמנים למצוא דוגמאות.