הבדלים בין גרסאות בדף "83-110 לינארית להנדסה תשעד סמסטר א/מערכי תרגול"

גרסה מ־07:28, 20 בדצמבר 2013

הנה הטענה שהבטחתי להוכיח: יהיו $V$ ממ"פ מימד סופי מעל $\mathbb{F}$ , $W$ ת"מ שלו. אזי $(W^{\perp})^{\perp}=W$

הוכחה: נוכיח רק את הכיוון $(\subseteq)$ (הכיוון השני פשוט ועשינו בכיתה): יהא $x\in (W^{\perp})^{\perp}$ צ"ל $x\in W$ . כיוון ש $V$ ממימד סופי אזי ניתן למצוא בסיס או"ג ל $W$ ולמצוא הטלה $u=\pi_W(x)$ של $x$ על $W$ . מתקיים $x=u+(x-u)$ ומהגדרת היטל מתקיים $u\in W, (x-u)\in W^{\perp}$ .

כלומר $x=x_1+x_2$ כאשר $x_1\in W, x_2\in W^{\perp}$ ובפרט $<x_1,x_2>=0$ .

כעת רוצים להוכיח כי $x_2=0$ .

כיוון ש $x\in (W^{\perp})^{\perp}$ אזי $\forall v\in W^{\perp}:<x,v>=0$ בפרט עבור $x_2$ מתקיים $<x,x_2>=0$ . ולכן

$||x_2||^2=<x_2,x_2>=<x_2,x_2>+<x_1,x_2>=<x_2+x_1,x_2>=<x,x_2>=0$

שזה גורר $x_2=0$ כנדרש

@@ שורה 12: / שורה 12: @@
 *[[מדיה:14LinearEng9.pdf|תירגול 9]]
 *[[מדיה:14LinearEng10.pdf|תירגול 10]]
+הנה הטענה שהבטחתי להוכיח: יהיו <math>V</math> ממ"פ מימד סופי מעל <math>\mathbb{F}</math>,
+<math>W</math> ת"מ שלו. אזי <math>(W^{\perp})^{\perp}=W</math>
+הוכחה: נוכיח רק את הכיוון <math>(\subseteq)</math> (הכיוון השני פשוט ועשינו בכיתה):
+יהא <math>x\in (W^{\perp})^{\perp} </math> צ"ל <math>x\in W</math>. כיוון ש <math>V</math> ממימד סופי אזי ניתן למצוא בסיס או"ג ל <math>W</math> ולמצוא הטלה <math>u=\pi_W(x)</math> של <math>x</math> על <math>W</math>. מתקיים <math>x=u+(x-u)</math>ומהגדרת היטל מתקיים <math>u\in W, (x-u)\in W^{\perp}</math>.
+כלומר <math>x=x_1+x_2</math> כאשר <math>x_1\in W, x_2\in W^{\perp}</math>
+ובפרט <math><x_1,x_2>=0</math>.
+כעת רוצים להוכיח כי <math>x_2=0</math>.
+כיוון ש <math>x\in (W^{\perp})^{\perp} </math> אזי <math>\forall v\in W^{\perp}:<x,v>=0</math> בפרט עבור <math>x_2</math> מתקיים <math> <x,x_2>=0</math>.
+ולכן
+<math>||x_2||^2=<x_2,x_2>=<x_2,x_2>+<x_1,x_2>=<x_2+x_1,x_2>=<x,x_2>=0</math>
+שזה גורר <math>x_2=0</math> כנדרש
 *[[מדיה:13LinearEng10.pdf|תירגול 11]]
 *[[מדיה:13LinearEng11.pdf|תירגול 12]]
 *[[מדיה:13LinearEng12.pdf|תירגול 13]]
 *[[מדיה:13LinearEng13.pdf|תירגול 14]]

הבדלים בין גרסאות בדף "83-110 לינארית להנדסה תשעד סמסטר א/מערכי תרגול"

גרסה מ־07:28, 20 בדצמבר 2013

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים