83-110 לינארית להנדסה תשעד סמסטר א/מערכי תרגול

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

83-110 לינארית להנדסה תשעד סמסטר א


הנה הטענה שהבטחתי להוכיח: יהיו V ממ"פ מימד סופי מעל \mathbb{F}, W ת"מ שלו. אזי (W^{\perp})^{\perp}=W

הוכחה: נוכיח רק את הכיוון (\subseteq) (הכיוון השני פשוט ועשינו בכיתה): יהא x\in (W^{\perp})^{\perp} צ"ל x\in W. כיוון ש V ממימד סופי אזי ניתן למצוא בסיס או"ג ל W ולמצוא הטלה u=\pi_W(x) של x על W. מתקיים x=u+(x-u)ומהגדרת היטל מתקיים u\in W, (x-u)\in W^{\perp}.

כלומר x=x_1+x_2 כאשר x_1\in W, x_2\in W^{\perp} ובפרט <x_1,x_2>=0.

כעת רוצים להוכיח כי x_2=0.

כיוון ש x\in (W^{\perp})^{\perp} אזי \forall v\in W^{\perp}:<x,v>=0 בפרט עבור x_2 מתקיים  <x,x_2>=0. ולכן

||x_2||^2=<x_2,x_2>=<x_2,x_2>+<x_1,x_2>=<x_2+x_1,x_2>=<x,x_2>=0

שזה גורר x_2=0 כנדרש

הוכחה של כלל קרמר ניתן למצוא פה כלל קרמר בויקיפדיה