הבדלים בין גרסאות בדף "83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(הרצאה 7)
(הרצאה 7)
שורה 86: שורה 86:
 
**<math>[a_n]\leq a_n \leq [a_n]+1</math>, כאשר <math>[a_n]</math> הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל<math>a_n</math>.
 
**<math>[a_n]\leq a_n \leq [a_n]+1</math>, כאשר <math>[a_n]</math> הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל<math>a_n</math>.
 
**<math>\left(1+\frac{1}{[a_n]+1}\right)^{[a_n]}\leq\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\leq \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1}</math>
 
**<math>\left(1+\frac{1}{[a_n]+1}\right)^{[a_n]}\leq\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\leq \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1}</math>
**שני הצדדים הינם תתי סדרות של סדרה השואפת לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe.
+
**שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe.
 
*אם <math>a_n\to -\infty</math> אזי <math>\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e</math>
 
*אם <math>a_n\to -\infty</math> אזי <math>\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e</math>
 
**ראשית <math>\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\to \frac{1}{e}</math> (הוכחה בקישור לערך על המספר e).
 
**ראשית <math>\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\to \frac{1}{e}</math> (הוכחה בקישור לערך על המספר e).

גרסה מ־05:31, 6 בנובמבר 2018

מבחנים מהעבר

נושאי ההרצאות

שימו לב: נושאי ההרצאות יעודכנו במהלך הסמסטר לפי קצב ההתקדמות בפועל.

הרצאה 1

  • מבוא למספרים - טבעיים, שלמים, רציונאליים, ממשיים.
  • שורש 2, 0.999.
  • חזקות.
  • לוגריתמים.
  • מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית).
    • \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}
    • \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100}
    • \lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x+1}-x,\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+1}-x
    • \lim_{x\to\infty}x^2-x

הרצאה 2

  • כמתים, שלילת כמתים.
  • חסמים.

הרצאה 3

  • ברציונאליים אין לכל קבוצה חסומה מלעיל חסם עליון.
  • הגדרת הגבול של סדרה במובן הצר.

הרצאה 4

  • גבול הוא יחיד.
    • נניח בשלילה שיש שני גבולות שונים. החל משלב מסויים כל איברי הסדרה גדולים מאמצע הקטע בין שני הגבולות וגם קטנים ממנו, בסתירה.
  • הסדרה הקבועה.
  • כל סדרה המתכנסת במובן הצר חסומה.
  • אריתמטיקה (חשבון) גבולות.
    • (אי שיוויון המשולש.)
    • סכום.
    • מכפלה.
    • חלוקה (תרגיל לבית).

הרצאה 5

  • התכנסות במובן הרחב.
  • אחד חלקי 'שואפת לאינסוף' היא אפיסה, ההפך לא נכון.
  • סנדביץ' וחצי סדנביץ'.
  • a_n\to 0 \iff |a_n|\to 0
  • חסומה כפול אפיסה היא אפיסה.

הרצאה 6

  • אינדוקציה.
  • ברנולי - אקספוננט חיובי שואף לאפס, אחד או אינסוף.
  • אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
    • חסומה כפול אפיסה = אפיסה
    • חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
    • \infty+\infty=\infty
    • \infty\cdot\infty=\infty
    • \infty^\infty=\infty
    • \frac{1}{0}\neq\infty
    • \frac{1}{0^+}=\infty
    • 0^\infty = 0
    • אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
    • אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
    • יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
    • אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
    • אם a>1 אזי a^\infty=\infty
  • המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
    • \frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty
  • מבחן המנה (ללא הוכחה).
  • הגבול של השורש הn של n.

הרצאה 7

  • סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת.
  • המספר e.
  • 2<e<4.
  • אם a_n\to\infty אזי \left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e
    • [a_n]\leq a_n \leq [a_n]+1, כאשר [a_n] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה לa_n.
    • \left(1+\frac{1}{[a_n]+1}\right)^{[a_n]}\leq\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\leq \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1}
    • שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe.
  • אם a_n\to -\infty אזי \left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e
    • ראשית \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\to \frac{1}{e} (הוכחה בקישור לערך על המספר e).
    • כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודם.


  • אם a_n\to 1 אזי a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)}
    • a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)}.
    • \left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e בין אם a_n-1 שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
    • שימו לב שאם a_n=1, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק בa_n-1 ששווה אפס.


  • דוגמא:
    • \lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3

הרצאה 8

  • פונקציות וגבולות של פונקציות, לפי קושי ולפי היינה.

הרצאה 9

  • טריגו.
  • הגבול של סינוס איקס חלקי איקס באפס (הערה לגבי הגבול באינסוף).

הרצאה 10

  • גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
  • רציפות.
  • הרכבת רציפות.
  • מיון אי רציפות.

הרצאה 11

  • גזירות.
  • הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות.

הרצאה 12

  • נוסחאות הגזירה.

הרצאה 13

  • פונקציה הופכית, נגזרת של פונקציה הופכית.

הרצאה 14

  • משפט ערך הביניים.
  • תתי סדרות, גבול חלקי עליון ותחתון (כנראה ללא הוכחה).
  • משפטי ויירשטראס.

הרצאה 15

  • משפט פרמה.
  • משפט רול.
  • משפט לגראנז'.
  • משפט לגראנז' המוכלל.

הרצאה 16

  • כלל לופיטל (הוכחה לחלק מהמקרים).
  • כיצד להעזר בלופיטל בכל אחד מהמקרים הבעייתיים.

הרצאה 17

  • פולינום טיילור.
  • שארית לגראנז' בפולינום טיילור.

הרצאה 18

  • אינטגרל - מסויים ולא מסוים.
  • הצגת נוסחאת ניוטון לייבניץ - הוכחה עם הערך הממוצע האינטגרלי.

הרצאה 19

  • אינטגרציה בחלקים.
  • שיטת ההצבה.

הרצאה 20

  • אינטגרל על פונקציה רציונאלית.

הרצאה 21

  • סכומי רימן.
  • אורך עקומה, נפח גוף סיבוב.

הרצאה 22

  • אינטגרלים לא אמיתיים.
  • מבחני התכנסות.