הבדלים בין גרסאות בדף "83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏הרצאה 9)
(←‏הרצאה 10)
שורה 130: שורה 130:
  
 
==הרצאה 10==
 
==הרצאה 10==
 +
*תתי סדרות וגבולות חלקיים (ללא הוכחה)
 +
**סדרה מתכנסת לגבול אם"ם הגבול החלקי העליון והתחתון שווים לו.
 +
**אם ניתן לחלק סדרה לתתי סדרות שכולן מתכנסות לאותו גבול, אזי זה גבול הסדרה.
 +
*מסקנה: גבול של פונקציה קיים בנקודה אם"ם הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים לו.
 +
 +
 
*גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
 
*גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
 +
**<math>f(x)=\frac{x}{x}, g(x)=0</math> מתקיים כי <math>\lim_{x\to 0}f(x)=1,\lim_{x\to 2}g(x)=0</math> אבל <math>\lim_{x\to 2}f(g(x))\neq 1</math>.
 
*רציפות.
 
*רציפות.
−
*הרכבת רציפות.
+
*טענה: אם f רציפה ב<math>x_0</math> אזי לכל סדרה <math>x_n\to x_0</math> (גם אם אינה שונה מ<math>x_0</math>) מתקיים כי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>.
 +
*הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב<math>x_0</math> ותהי g רציפה ב<math>f(x_0)</math>. אזי <math>g\circ f</math> רציפה ב<math>x_0</math>.
 +
**הוכחה:
 +
**תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> אזי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>
 +
**לפי הטענה הקודמת, <math>g(f(x_n))\to g(f(x_0))</math>.
 +
 
 +
 
 
*מיון אי רציפות.
 
*מיון אי רציפות.
 +
**רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.
 +
**סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.
 +
**קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.
 +
**עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.
 +
 
==הרצאה 11==
 
==הרצאה 11==
 
*גזירות.
 
*גזירות.

גרסה מ־08:44, 18 בנובמבר 2018

מבחנים מהעבר

נושאי ההרצאות

שימו לב: נושאי ההרצאות יעודכנו במהלך הסמסטר לפי קצב ההתקדמות בפועל.

הרצאה 1

  • מבוא למספרים - טבעיים, שלמים, רציונאליים, ממשיים.
  • שורש 2, 0.999.
  • חזקות.
  • לוגריתמים.
  • מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית).
    • \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}
    • \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100}
    • \lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x+1}-x,\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+1}-x
    • \lim_{x\to\infty}x^2-x

הרצאה 2

  • כמתים, שלילת כמתים.
  • חסמים.

הרצאה 3

  • ברציונאליים אין לכל קבוצה חסומה מלעיל חסם עליון.
  • הגדרת הגבול של סדרה במובן הצר.

הרצאה 4

  • גבול הוא יחיד.
    • נניח בשלילה שיש שני גבולות שונים. החל משלב מסויים כל איברי הסדרה גדולים מאמצע הקטע בין שני הגבולות וגם קטנים ממנו, בסתירה.
  • הסדרה הקבועה.
  • כל סדרה המתכנסת במובן הצר חסומה.
  • אריתמטיקה (חשבון) גבולות.
    • (אי שיוויון המשולש.)
    • סכום.
    • מכפלה.
    • חלוקה (תרגיל לבית).

הרצאה 5

  • התכנסות במובן הרחב.
  • אחד חלקי 'שואפת לאינסוף' היא אפיסה, ההפך לא נכון.
  • סנדביץ' וחצי סדנביץ'.
  • a_n\to 0 \iff |a_n|\to 0
  • חסומה כפול אפיסה היא אפיסה.

הרצאה 6

  • אינדוקציה.
  • ברנולי - אקספוננט חיובי שואף לאפס, אחד או אינסוף.
  • אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
    • חסומה כפול אפיסה = אפיסה
    • חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
    • \infty+\infty=\infty
    • \infty\cdot\infty=\infty
    • \infty^\infty=\infty
    • \frac{1}{0}\neq\infty
    • \frac{1}{0^+}=\infty
    • 0^\infty = 0
    • אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
    • אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
    • יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
    • אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
    • אם a>1 אזי a^\infty=\infty
  • המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
    • \frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty
  • מבחן המנה (ללא הוכחה).
  • הגבול של השורש הn של n.

הרצאה 7

  • סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת.
  • המספר e.
  • 2<e<4.
  • אם a_n\to\infty אזי \left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e
    • [a_n]\leq a_n \leq [a_n]+1, כאשר [a_n] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה לa_n.
    • \left(1+\frac{1}{[a_n]+1}\right)^{[a_n]}\leq\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\leq \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1}
    • שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe.
  • אם a_n\to -\infty אזי \left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e
    • ראשית \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\to \frac{1}{e} (הוכחה בקישור לערך על המספר e).
    • כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודם.


  • אם a_n\to 1 אזי a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)}
    • a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)}.
    • \left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e בין אם a_n-1 שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
    • שימו לב שאם a_n=1, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק בa_n-1 ששווה אפס.


  • דוגמא:
    • \lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3

הרצאה 8

  • פונקציות וגבולות של פונקציות, לפי קושי ולפי היינה.

הרצאה 9

  • הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
    • sin^2(x)+cos^2(x)=1
    • sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x)
    • sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
    • sin(2x)=2sin(x)cos(x),cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)



  • Sin(x) over x.png
    • עבור זוית 0<x<\frac{\pi}{2} שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:
    • S_{\triangle AOB}<S_{\bigcirc AOB}<S_{\triangle AOD}
    • \frac{sin(x)}{2}<\frac{x}{2}<\frac{tan(x)}{2}
      • כיוון ש0<sin(x)<x בתחום (0,\frac{\pi}{2}), נובע לפי סנדוויץ' ש\lim_{x\to 0^+}sin(x)=0.
      • כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.
      • כעת בתחום (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) הקוסינוס חיובית ולכן cos(x)=\sqrt{1-sin^2(x)} ונובע כי \lim_{x\to 0}cos(x)=1.
    • נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:
    • 1<\frac{x}{sin(x)}<\frac{1}{cos(x)}
    • לפי כלל הסנדביץ \lim_{x\to 0^+}\frac{sin(x)}{x}=1
    • כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.


  • ראינו ש\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1.
  • שימו לב ש\lim_{x\to\infty}\frac{sin(x)}{x}=0, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.

הרצאה 10

  • תתי סדרות וגבולות חלקיים (ללא הוכחה)
    • סדרה מתכנסת לגבול אם"ם הגבול החלקי העליון והתחתון שווים לו.
    • אם ניתן לחלק סדרה לתתי סדרות שכולן מתכנסות לאותו גבול, אזי זה גבול הסדרה.
  • מסקנה: גבול של פונקציה קיים בנקודה אם"ם הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים לו.


  • גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
    • f(x)=\frac{x}{x}, g(x)=0 מתקיים כי \lim_{x\to 0}f(x)=1,\lim_{x\to 2}g(x)=0 אבל \lim_{x\to 2}f(g(x))\neq 1.
  • רציפות.
  • טענה: אם f רציפה בx_0 אזי לכל סדרה x_n\to x_0 (גם אם אינה שונה מx_0) מתקיים כי f(x_n)\to f(x_0).
  • הרכבת רציפות: תהי f רציפה בx_0 ותהי g רציפה בf(x_0). אזי g\circ f רציפה בx_0.
    • הוכחה:
    • תהי סדרה x_0\neq x_n\to x_0 אזי f(x_n)\to f(x_0)
    • לפי הטענה הקודמת, g(f(x_n))\to g(f(x_0)).


  • מיון אי רציפות.
    • רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.
    • סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.
    • קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.
    • עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.

הרצאה 11

  • גזירות.
  • הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות.

הרצאה 12

  • נוסחאות הגזירה.

הרצאה 13

  • פונקציה הופכית, נגזרת של פונקציה הופכית.

הרצאה 14

  • משפט ערך הביניים.
  • תתי סדרות, גבול חלקי עליון ותחתון (כנראה ללא הוכחה).
  • משפטי ויירשטראס.

הרצאה 15

  • משפט פרמה.
  • משפט רול.
  • משפט לגראנז'.
  • משפט לגראנז' המוכלל.

הרצאה 16

  • כלל לופיטל (הוכחה לחלק מהמקרים).
  • כיצד להעזר בלופיטל בכל אחד מהמקרים הבעייתיים.

הרצאה 17

  • פולינום טיילור.
  • שארית לגראנז' בפולינום טיילור.

הרצאה 18

  • אינטגרל - מסויים ולא מסוים.
  • הצגת נוסחאת ניוטון לייבניץ - הוכחה עם הערך הממוצע האינטגרלי.

הרצאה 19

  • אינטגרציה בחלקים.
  • שיטת ההצבה.

הרצאה 20

  • אינטגרל על פונקציה רציונאלית.

הרצאה 21

  • סכומי רימן.
  • אורך עקומה, נפח גוף סיבוב.

הרצאה 22

  • אינטגרלים לא אמיתיים.
  • מבחני התכנסות.
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=83-112_חדו%22א_1_להנדסה/נושאי_הקורס&oldid=78498