הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏שדות)
(←‏פתרון)
שורה 85: שורה 85:
 
====פתרון====
 
====פתרון====
  
−
לפי הנתונים קיימים <math>k,m<n</math> כך ש <math>mk=n</math>. לפיכך, לפי ההגדרה, <math>\overline{m}\overline{k}=n mod n =\overline{0}</math>.
+
לפי הנתונים קיימים <math>k,m<n</math> כך ש <math>mk=n</math>. לפיכך, לפי ההגדרה, <math>\overline{m}\overline{k}=n\mod{n} =\overline{0}</math>.

גרסה מ־05:47, 17 ביולי 2011

שיעור ראשון

שדות

הגדרה

קבוצה \mathbb{F} עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור (\mathbb{F},\cdot,+) נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:

  1. סגירות- \forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F}. (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
  2. קומוטטיביות/חילופיות- \forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a
  3. אסוציאטיביות- \forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)
  4. קיום איברים נייטרליים- קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים \forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a = a \cdot 1 = a, a+0=0+a=a. בנוסף מתקיים ש0\neq 1
  5. קיום איבר נגדי לחיבור- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו (-a) כך שמתקיים a+(-a)=0. לצורך קיצור הכתיבה נסמן a+(-a)=a-a (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)
  6. קיום איבר הופכי לכפל- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו a^{-1} כך שמתקיים a\cdot a^{-1} = 1. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b}
  7. דיסטריביוטיביות/פילוג- \forall a,b,c\in\mathbb{F}: a\cdot (b+c)=a\cdot b +a\cdot c . שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור

תרגיל 1.3 סעיף ג'

יהי שדה \mathbb{F}. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = 0, כאשר 0 הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.

פתרון

ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שתכונות השדה מתקיימות.


לפי תכונה (4) מתקיים ש 0+0=0


לכן \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)\cdot a


לפי תכונה (7) מתקיים בנוסף ש\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))


לפי תכונה (5) לאיבר 0\cdot a \in\mathbb{F} קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a + (-(0\cdot a)) = (0\cdot a + 0\cdot a) + (-(0\cdot a))


לפי תכונה (3) ניתן להחליף את סדר הסוגריים מימין ולקבל \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a + (-(0\cdot a)) = 0\cdot a + (0\cdot a + (-(0\cdot a)))


עוד לפי תכונה (5) יחד עם תכונה (4) מתקיים ש\forall a\in\mathbb{F}:0 = 0\cdot a בדיוק כפי שנדרשנו לגזור.


תרגיל 1.3 סעיף ו'

יהי שדה \mathbb{F}. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: \forall a\in\mathbb{F}:-(-a)=a. (כלומר, הנגדי של הנגדי הוא האיבר עצמו)

פתרון

לכל איבר a בשדה:


מתכונה (5) a+(-a)=0


כמו כן, מתכונה (5) (-a)+(-(-a))=0


נשווה את שתי ההצגות השונות של אפס a+(-a)=(-a)+(-(-a))


נוסיף לשני האגפים את אותו האיבר (a+(-a))+a=((-a)+(-(-a)))+a


לפי תכונות (3), (2) ו(5) נקבל a=-(-a) כפי שרצינו.


תרגיל 1.3 סעיף ז'

יהי שדה \mathbb{F}. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: \forall a\in\mathbb{F}:(-1)\cdot a=-a. (כלומר הנגדי של האיבר הנייטרלי הכפלי כפול a הינו הנגדי של a)

פתרון

מתוך תכונות (7),(5) וסעיף ג' שהוכחנו לעיל, 0=0\cdot a = (1+(-1))\cdot a = 1\cdot a + (-1)\cdot a


לפי תכונה (4) קיבלנו 0=a+(-1)\cdot a


נוסיף לשני האגפים את הנגדי של a ונקבל -a=(-1)\cdot a כפי שרצינו.


תרגיל 2.3 סעיף א'

יש להוכיח שקבוצת הטבעיים \mathbb{N}=\{1,2,3,....\} אינה שדה.

פתרון

אין איבר נייטרלי לחיבור: \forall n,k\in\mathbb{N}:n+k>n ואילו האיבר הנייטרלי היה צריך לקיים n+0=n.


תרגיל 2.3 סעיף ג'

יש להוכיח ש\mathbb{Z}_n אינו שדה כאשר n מספר פריק (כלומר קיימים טבעיים כך ש n=mk)

דעו ש\mathbb{Z}_n הינו קבוצה מהצורה \mathbb{Z}_n=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{n-1}\} יחד עם פעולות החיבור והכפל הרגילות מודולו n.

פתרון

לפי הנתונים קיימים k,m<n כך ש mk=n. לפיכך, לפי ההגדרה, \overline{m}\overline{k}=n\mod{n} =\overline{0}.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-112_לינארית_1_תיכוניסטים_קיץ_תשעא/מערך_תרגול/1&oldid=11111