88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1

שיעור ראשון

שדות

הגדרה

קבוצה $\mathbb{F}$ עם זוג פעולות בינאריות $(\mathbb{F},\cdot,+)$ נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:

1. סגירות- $\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F}$. (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
2. קומוטטיביות/חילופיות- $\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a$
3. אסוציאטיביות- $\forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)$
4. קיום איברים נייטרליים- קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים $\forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a = a \cdot 1 = a, a+0=0+a=a$. בנוסף מתקיים ש$0\neq 1$
5. קיום איבר נגדי לחיבור- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו $(-a)$ כך שמתקיים $a+(-a)=0$. לצורך קיצור הכתיבה נסמן $a+(-a)=a-a$ (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי
6. קיום איבר הופכי לכפל- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו $a^{-1}$ כך שמתקיים $a\cdot a^{-1} = 1$. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה $ab^{-1}=\frac{a}{b}$