הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/11"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(תרגיל)
(תרגיל)
שורה 154: שורה 154:
  
 
<math>|A|=^{C_3-C_2} \begin{vmatrix}i-4c&f&2i\\g-4a&d&2g\\h-4b&e&2h\end{vmatrix}=^{\frac{1}{2}C_3}2\begin{vmatrix}i-4c&f&i\\g-4a&d&g\\h-4b&e&h\end{vmatrix}=^{C_1-C_2}2\begin{vmatrix}-4c&f&i\\-4a&d&g\\-4b&e&h\end{vmatrix}=^{\frac{1}{-4}C_1}2(-4)\begin{vmatrix}c&f&i\\a&d&g\\b&e&h\end{vmatrix}=\dots =-16</math>
 
<math>|A|=^{C_3-C_2} \begin{vmatrix}i-4c&f&2i\\g-4a&d&2g\\h-4b&e&2h\end{vmatrix}=^{\frac{1}{2}C_3}2\begin{vmatrix}i-4c&f&i\\g-4a&d&g\\h-4b&e&h\end{vmatrix}=^{C_1-C_2}2\begin{vmatrix}-4c&f&i\\-4a&d&g\\-4b&e&h\end{vmatrix}=^{\frac{1}{-4}C_1}2(-4)\begin{vmatrix}c&f&i\\a&d&g\\b&e&h\end{vmatrix}=\dots =-16</math>
 +
 +
==== תרגיל מטריצת ונדרמונד====
 +
הגדרה: יהיו <math>a_1,\dots a_n\in \mathbb{F}</math> סקלארים. מטריצת ונדרמונד <math>V=V(a_1,\dots,a_n)\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> מוגדרת להיות
 +
<math>V=\begin{vmatrix} 1&a_1&a_{1}^{2}& \cdots& a_{1}^{n-1}\\
 +
1&a_2&a_{2}^{2}& \cdots& a_{2}^{n-1}\\
 +
\vdots & & &  &  \\
 +
1&a_n&a_{n}^{2}& \cdots& a_{n}^{n-1}
 +
\end{vmatrix}</math>
 +
 +
הוכיחו כי <math>|V(a_1,\dots ,a_n)|=\prod{1\leq i<j\leq n}(a_j-a_i)</math>
 +
 +
פתרון:
 +
באינדקוציה על <math>n</math>. בסיס: מוזמנים לבדוק עבור <math>n=2</math>
 +
 +
צעד:
 +
 +
נבצע
 +
* $C_n\leftarrow C_n-a_1C_{n-1}$
 +
* $C_{n-1}\leftarrow C_{n-1}-a_1C_{n-2}$
 +
וכו' עד
 +
* $C_{2}\leftarrow C_2-a_1C_{1}$
 +
 +
לאחר מכן נוכל
 +
*להוציא גורם משותף <math>a_2-a_1</math> מהשורה השניה
 +
*להוציא גורם משותף <math>a_3-a_1</math> מהשורה השלישית
 +
וכו עד
 +
*להוציא גורם משותף <math>a_n-a_1</math> מהשורה האחרונה
 +
 +
נמשיך לפתח  לפי שורה ראשונה ונקבל כי
 +
<math>|V(a_1,\dots,a_n)|=\prod_{j=2}^n(a_j-a_1)\cdot |V(a_2,\dots ,a_n)|=\prod_{j=2}^n(a_j-a_1)\cdot \prod_{2\leq i<j\leq n}^n(a_j-a_i)=\prod_{1\leq i<j\leq n}^n(a_j-a_i)</math>
  
 
=המטריצה הנילוות (המצורפת)=
 
=המטריצה הנילוות (המצורפת)=

גרסה מ־15:00, 16 באוגוסט 2019

חזרה למערכי התרגול

דטרמיננטות

הגדרה הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית A\in F^{n\times n} היא סקלר det(A)=|A|\in F המחושב מסכומים של מכפלות של אברי המטריצה.

חישוב דטרמיננטה של מטריצות קטנות

  • הדטרמיננטה של מטריצה מסדר 1 A=(\alpha)\in F^{1\times 1} היא הערך היחיד במטריצה det(A)=\alpha.
  • הדטרמיננטה של מטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{a&b\\ c&d} \in F^{2\times 2}
היא det(A)=ad-bc.

למשל: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): det\pmatrix{1&2\\ 3&4} = 1\cdot 4-2\cdot 3=-2 .

חישוב לפי נוסחת לפלס (מינורים)

סימון עבור מטריצה A\in F^{n\times n} נסמן ב M_{ij} את המטריצה מגודל n-1 \times n-1 המתקבלת מA ע"י מחיקת השורה הi והעמודה הj. זה נקרא המינור הij של המטריצה.

דוגמא: עבור עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} למשל עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{12}=\pmatrix{4&6\\ 7&9}

עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{23}=\pmatrix{1&2\\ 7&8}


אפשר למצוא את הדטרמיננטה בעזרת הדטרמיננטות של המינורים (לפי שורה או לפי עמודה), וכך באינדוקציה למצוא דטורמיננטה של כל מטריצה.

מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי השורה הi:

|A|=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}|

מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי העמודה הj:

|A|=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}|

לדוגמא: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} נפתח לפי השורה הראשונה: |A|=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix}5&6\\ 8&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix} 4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+3}\cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} 4&5\\ 7&8 \end{vmatrix}=0

נפתח גם לפי העמודה השנייה: |A|=(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix}4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+2}\cdot 5\cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+3}\cdot 8 \cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 4&6 \end{vmatrix}=0

תכונות של הדטרמיננטה

1. כפליות |AB|=|A||B|.

2. בפרט |A^k|=|A|^k.

3. |A^t|=|A|.

4. אם המטריצה משולשית אז הדטרמיננטה= מכפלת אברי האלכסון (להדגים?).

5. אם A הפיכה אז |A^{-1}|=|A|^{-1}.

6. A הפיכה אם"ם |A|\neq 0.


למשל המטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} איננה הפיכה כי חישבנו שהדטרמיננטה היא אפס.

שימו לב שאין בהכרח קשר בין |A+B| לבין |A|+|B|. (דוגמא?)

תרגיל

נתונות מטריצות A,B\in F^{n \times n} כך ש |A|=2, |B|=-1. חשבו את |(AB^{-1})^t(BA)^{-2}|.

פתרון

|(AB^{-1})^t(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})^t|\cdot |(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})|\cdot |(BA)|^{-2}|=|A||B|^{-1}|B|^{-2}|A|^{-2}=-\frac{1}{2}

תרגיל

תהי B\in F^{3\times 3}עם דטרמיננטה |B|=-1. מצא את |2B|.

פתרון

עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): |2B|=|2I\cdot B|=|\pmatrix{2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2}|\cdot |B|=2^3 \cdot (-1)


בהכללה: |\alpha A|=\alpha^n |A|.

תרגיל

1. תהי Aמטריצה ממשית והפיכה מסדר nהמקיימת A^4+2A=0. חשבו את |A|.

2. נניח Aמקיימת A^n+a_{n-1}A^{n-1}+\dots +a_1A+I=0, הוכיחו כי היא הפיכה.

3.תהיינה A,B ריבועיות מסדר n אי-זוגי מעל שדה ממאפיין שונה מ2. נתון שAB+BA=0, הוכיחו כי אחת מהמטריצות איננה הפיכה.

פתרון:

1. נעביר אגפים ונקבל A^4=-2A, נקח דטרמיננטה |A|^4 =(-2)^n|A| ולכן |A|=(-2)^{\frac{n}{3}}.

2. נעביר אגפים ונסדר A \left( A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\dots +a_2A+a_1I \right) =-I, נקח דטרמיננטה |A||something|=|-I|=(-1)^n. בפרט, |A|\neq 0ולכן Aהפיכה.

3. נעביר אגפים AB=-BA ונקח דטרמיננטה |A||B|=(-1)^n|B||A|. נתון שn אי-זוגי ולכן |A||B|=-|A||B|. זה מכריח ש|A||B|=0 ולכן או ש |A|=0ואז Aלא הפיכה, או ש|B|=0 ואז Bלא הפיכה.


תרגיל

תהי Aמטריצה ממשית אנטי-סימטרית מסדר אי-זוגי. הוכיחו כי היא איננה הפיכה.

פתרון לפי הנתון A^t=-A ולכן |A|=|A^t|=|-A|=(-1)^n|A| מה שגורר |A|=0.

שיטת הדירוג

כזכור, לבצע פעולות שורה על מטריצה זה כמו לכפול במטריצה אלמנטרית מתאימה. מכיוון ודטרמיננטה היא כפלית, והחישוב הדטרמיננטה של מטריצות אלמנטריות הוא פשוט, נקבל את הכללים הבאים:

טענה תהי Bמטריצה המתקבלת ממטריצה A ע" פעולת שורה, אזי:

1. אם B התקבלה ע"י כפל של אחת השורות ב\alpha אזי |A|=\frac{1}{\alpha}|B|.

2. אם B התקבלה ע"י החלפת שתי שורות אזי |A|=-|B|.

3. אם B התקבלה ע"י הוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת אזי |A|=|B|.

אם כן, נוכל לחשב דטרמיננטה ע"י דירוג המטריצה עד לצורה משולשית עליונה (צורה שבה קל מאוד לחשב דטרמיננטה), ולעקוב אחר השינויים בדטרמיננטה.

דוגמא \begin{vmatrix}2&6&16\\ -3&-6&18\\ 5&12&35\end{vmatrix}=2\cdot (-3)\begin{vmatrix}1&3&8\\ 1&2&-6\\ 5&12&35 \end{vmatrix}=-6\cdot \begin{vmatrix}1&3&8\\0&-1&-14\\0&-3&-5\end{vmatrix}=-6\cdot \begin{vmatrix}1&3&8\\0&-1&-14\\0&0&37\end{vmatrix}=-6\cdot 1\cdot (-1)\cdot 37=222

דוגמא

חשב את |A|=\begin{vmatrix}a&1&1&\dots&1\\1&a&1&\dots &1 \\ 1&1&a&\dots &1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ 1&1&1& \dots & a\end{vmatrix}

פתרון ראשית נסכום את כל השורות לשורה הראשונה ונקבל |A|== \begin{vmatrix}a+n-1&a+n-1& \dots &a+n-1\\ 1&a&\dots &1\\1&1&\dots &1\\ \vdots &\vdots & \dots & \vdots \\ 1&1& \dots & a \end{vmatrix} נחלק את השורה הראשונה בa+n-1 ונקבל: |A|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\1&a&\dots &1\\1&1&\ddots&1\\ \vdots &\vdots &{}& \vdots\\ 1&1&\dots & a\end{vmatrix}

כעת נחסר מכל שורה את השורה הראשונה ונקבל |A|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\0&a-1&\dots &0\\0&0&\ddots &0\\0&0&\dots &a-1\end{vmatrix}=(a+n-1)1(a-1)^{n-1}


תרגיל

נתונה מטריצה ריבועית A\in F^{5\times 5}, משנים את סדר השורות של Aבאופן הבא:

את השורה הראשונה שמים במקום השנייה את השורה השנייה שמים במקום החמישית את השורה החמישית שמים במקום הרביעית את השורה הרביעית שמים במקום הראשונה

כלומר עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{--R_1--\\ --R_2--\\ --R_3--\\ --R_4--\\ --R_5--} \rightarrow \pmatrix{--R_4--\\ --R_1--\\ --R_3--\\--R_5--\\--R_2--}=B


חשבו את הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת,B, בעזרת |A|.

פתרון: את המטריצה החדשה אפשר לקבל ע"י רצף החלפות שורה: R_1\leftrightarrow R_2, R_1\leftrightarrow R_4,R_4\leftrightarrow R_5.

ולכן |B|=(-1)(-1)(-1)|A|=-|A|.

הערה מכיוון ו|A|=|A^t| מותר בחישוב הדטרמיננטה לעשות גם פעולות עמודה אלמנטריות, השינוי בדטרמיננטה הוא דומה.

תרגיל

נתון ש\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=2. חשבו את \begin{vmatrix} i-4c&f&2i+f\\g-4a&d&2g+d\\h-4b&e&2h+e \end{vmatrix}.

פתרון: נשתמש בפעולות שורה ועמודה ונעקוב אחר השינויים בדטרמיננטה:

|A|=^{C_3-C_2} \begin{vmatrix}i-4c&f&2i\\g-4a&d&2g\\h-4b&e&2h\end{vmatrix}=^{\frac{1}{2}C_3}2\begin{vmatrix}i-4c&f&i\\g-4a&d&g\\h-4b&e&h\end{vmatrix}=^{C_1-C_2}2\begin{vmatrix}-4c&f&i\\-4a&d&g\\-4b&e&h\end{vmatrix}=^{\frac{1}{-4}C_1}2(-4)\begin{vmatrix}c&f&i\\a&d&g\\b&e&h\end{vmatrix}=\dots =-16

תרגיל מטריצת ונדרמונד

הגדרה: יהיו a_1,\dots a_n\in \mathbb{F} סקלארים. מטריצת ונדרמונד V=V(a_1,\dots,a_n)\in \mathbb{F}^{n\times n} מוגדרת להיות V=\begin{vmatrix} 1&a_1&a_{1}^{2}& \cdots& a_{1}^{n-1}\\
1&a_2&a_{2}^{2}& \cdots& a_{2}^{n-1}\\
\vdots & & &  &  \\
1&a_n&a_{n}^{2}& \cdots& a_{n}^{n-1}
 \end{vmatrix}

הוכיחו כי |V(a_1,\dots ,a_n)|=\prod{1\leq i<j\leq n}(a_j-a_i)

פתרון: באינדקוציה על n. בסיס: מוזמנים לבדוק עבור n=2

צעד:

נבצע

  • $C_n\leftarrow C_n-a_1C_{n-1}$
  • $C_{n-1}\leftarrow C_{n-1}-a_1C_{n-2}$

וכו' עד

  • $C_{2}\leftarrow C_2-a_1C_{1}$

לאחר מכן נוכל

  • להוציא גורם משותף a_2-a_1 מהשורה השניה
  • להוציא גורם משותף a_3-a_1 מהשורה השלישית

וכו עד

  • להוציא גורם משותף a_n-a_1 מהשורה האחרונה

נמשיך לפתח לפי שורה ראשונה ונקבל כי |V(a_1,\dots,a_n)|=\prod_{j=2}^n(a_j-a_1)\cdot |V(a_2,\dots ,a_n)|=\prod_{j=2}^n(a_j-a_1)\cdot \prod_{2\leq i<j\leq n}^n(a_j-a_i)=\prod_{1\leq i<j\leq n}^n(a_j-a_i)

המטריצה הנילוות (המצורפת)

הגדרה תהי A\in F^{n\times n}, המטריצה נילווית שלה היא המטריצה adj(A)_{i,j}=\left( (-1)^{i+j}|M_{ji}| \right)_{ij}.

(שימו לב להחלפה בין i וj!)


דוגמא?

המשפט המרכזי

A(adjA)=(adjA)A=|A|I

תוצאה: אם A הפיכה אז A^{-1}=\frac{adjA}{|A|}.

תרגיל

תהי A\in F^{n\times n} מטריצה.

1. הוכח כי |adjA|=|A|^{n-1}.

2. נניח כי המטריצה הפיכה, חשבו את adj \left( adjA \right).

פתרון

1. ראשית נניח כי |A|\neq 0, אזי נפעיל דטרמיננטה על שני האגפים: |AadjA|=||A|I| ונקבל |A||adjA|=|A|^n נחלק בדטרמיננטה ואז |adjA|=|A|^{n-1} כדרוש.

כעת נניח |A|=0 וצריך להוכיח כי |adjA|=0. לפי המשפט (adjA)A=|A|I=0

אם A=0 אז ברור ש adjA=0 לפי ההגדרה. אחרת, יש איזשהי עמודה של Aשהיא לא אפס, C_k(A). ואז adjA\cdot C_k(A)=0 מה שאומר שadjA לא הפיכה ואז |adjA|=0.

2. נשתמש במשפט עבור המטריצה B=adjA, אזי (adjA)\cdot (adj(adjA)=|adjA|I. ולפי הסעיף הקודם נקבל שadj(adjA)=adjA^{-1}|A|^{n-1}. ומכיוון וadjA^{-1}=\frac{A}{|A|} אז adj(adjA)=A|A|^{n-2}.

תרגיל

תהי A\in \mathbb{R}^{n\times n}המקיימת (A+I)^2=0.

א. הוכיחו כי Aהפיכה.

ב. הביעו את adjAבאמצעות A,I,|A| בלבד.

פתרון:

א. נפתח ונקבל (A+I)^2 =A^2+AI+IA+I^2=A^2+2A+I נעביר אגפים ונקבל A(-1)(A+2I)=I ולכן Aהפיכה.

ב.לפי המשפט adjA=|A| A^{-1} ולכן בעצם נשאר למצוא ביטוי לA^{-1}. לפי הסעיף הקודם A^{-1}=-A-2I ולכן adjA=(-A-2I)|A|.

תרגיל

יהיו A,B ריבועיות (מגודל n\times nׂ. הוכיחו כי adj(AB)=adj(B)adj(A)

פתרון:

מקרה 1: גם A וגם B הפיכות: מקרה פשוט - מוזמנים להוכיח בעזרת המשפט A\cdot adj(A)=det(A)\cdot I

מקרה 2: A או B מדרגה קטנה שווה ל n-2: גם מקרה פשוט לאור העובדה שעבור מטריצה A שדרגתה קטנה שווה ל n-2 מתקיים כי adj(A)=0 ובנוסף rank(AB)\leq rank(A),rank(B)

מקרה 3 - אחרת: יהיו i,j נתונים. השתכנעו כי ניתן להגדיר מטריצה A' כך שהיא זהה ל A פרט אולי לשורה i ומטריצה B' שזהה למטריצה B פרט אולי לעמודה j המקיימות כי: או ש A' וגם B' הפיכות או ש A' אוB' מדרגה קטנה שווה ל n-2.

בכל מקרה לפי מקרה1 ומקרה 2 נסיק כי adj(A'B')=adj(B')adj(A'). סיום ההוכחה נובע מכך ש:

  • M_{i,j}(A'B')=M_{i,j}(AB)
  • R_{j}(adj(B'))C_i(adj(A'))=R_{j}(adj(B))C_i(adj(A))

ולכן המיקום j,i שווה בשני האגפים.

תרגיל

תהי A\in \mathbb{Q}^{n\times n} ונתון שהיא הפיכה ב\mathbb{R}^{n\times n} (כלומר שיש מטריצה ממשית B כך ש AB=BA=I). הוכיחו כי היא הפיכה ב\mathbb{Q}^{n\times n}.

פתרון: מכיוון שמטריצה הפיכה היא יחידה, לא יתכן שב\mathbb{Q}^{n\times n} יש מטריצה הופכית אחרת. כך שבעצם יש להראות שA^{-1} הממשית היא בעצם עם איברים ב\mathbb{Q}.

לפי המשפט A^{-1}=\frac{adjA}{|A|}. |A|\in \mathbb{Q} כי הדטרמיננטה זה סכומים של מכפלות של איברי A שהם רציונליים. adjA\in \mathbb{Q}^{n\times n} כי האיברים הם (-1)^{i+j}|M_{ji}| שהם גם רציונלים (כמו קודם). סה"כ קיבלנו A^{-1}\in \mathbb{Q}^{n\times n}.

פתרון בלי לערב adj סתם: נתון ש- |A|\neq 0 וכיון ש- |A|\in \mathbb{Q} (דטרמיננטה מתקבלת ממכפלות של איברי המטריצה (עד כדי מינוס אחד) שהינם רציונאליים) אז היא הפיכה גם מעל הרציונאליים.

דטרמיננטות של העתקות לינאריות

צריך???

טענה אם Aמטריצה ריבועית וPמטריצה הפיכה, אזי |A|=|PAP^{-1}|.

(הוכחה: |PAP^{-1}|=|P||A||P|^{-1}=|A||P||P|^{-1}=|A|).

ראינו בעבר שאם A,B הן מטריצות מייצגות של אותה העתקה לינארית T \colon V \rightarrow Vאזי יש מטריצה הפיכה P(למעשה מטריצת מעבר בסיסים) כך שB=PAP^{-1}. לאור הטענה הקודמת רואים שלא משנה איך נחשב את המטריצה המייצגת, הדטרמיננטה תישאר אותו דבר. ולכן אפשר להגדיר...

הגדרה הדטרמיננטה של העתקה לינארית T\colon V\rightarrow Vהיא הדטרמיננטה של מטריצה מייצגת (כלשהי).

טענה שימושית העתקה T\colon V\rightarrow Vהיא הפיכה אם"ם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס.

עוד טענה שימושית תהיינה T,S \colon V \rightarrow V הע"ל. אזי |T\circ S|=|T||S|.