88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9

מטריצות מייצגות

הגדרה. תהי $T:V\rightarrow W$ העתקה לינארית, ויהיו $E,F$ בסיסים ל$V,W$ בהתאמה. נסמן $E=\{v_1,...,v_n\}$. אזי המטריצה המייצגת את T מבסיס E לבסיס F הינה המטריצה שעמודותיה הן הקואורדינטות לפי הבסיס F של התמונות של איברי הבסיס E מסמנים

$[T]^E_F =\begin{pmatrix} | & | & & | \\ \big[Tv_1]_F & [Tv_2]_F &\cdots &[Tv_n]_F \\ | & | & & | \\ \end{pmatrix}$

לכל וקטור $v\in V$ מתקיים ש $[T]^E_F[v]_E=[Tv]_F$

הערה: שימו לב שאם ניקח את הוקטורים $Tv_1,...,Tv_n$ ונשים אותם באופן נאיבי בעמודות מטריצה נקבל $[T]^E_S$.

אלגוריתם למציאת מטריצה המייצגת את העתקה בין בסיסים כלשהם

יהיו מ"ו V,W והעתקה T בינהם ובסיסים E,F בדיוק כמו בהגדרה לעיל. אזי:

1. מצא את מטריצה המעבר $[I]^F_S$ (קל, לשים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של איברי F בעמודות)
2. הפוך אותה על מנת לקבל את $[I]^S_F$
3. הפעל את ההעתקה T על איברי הבסיס E לקבל $Tv_1,...,Tv_n$
4. שים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של התמונות משלב שלוש בעמודות מטריצה $[T]^E_S$
5. כפול מטריצות על מנת לקבל $[T]^E_F=[I]^S_F[T]^E_S$

אלגוריתם למציאת העתקה מפורשת לפי תמונות איברי הבסיס בלבד

תהי T העתקה לינארית הנתונה על ידי התמונות של איברי בסיס $B=\{v_1,...,v_n\}$. רוצים למצוא את $Tv$ עבור $v\in V$ וקטור כלשהו.

1. נבצע את האלגוריתם לעיל על מנת למצוא את $[T]^E_S$.
2. נכפול במטריצת המעבר על מנת לקבל $[T]=[T]^S_S=[T]^E_S[I]^S_E$
3. $[T][v]=[Tv]$ מכיוון שכל אלא בבסיס הסטנדרטי, נכפול בוקטור כללי מהמרחב על מנת למצוא לאן הוא נשלח במפורש.

דוגמאות

תרגיל. יהיו $V=span\{v_1=(1,0,-1,1),v_2=(-2,1,2,0),v_3=(0,-1,0,1)\}$ ו $W=\mathbb{R}_3[x]$ מ"ו. תהי העתקה T מV לE המקיימת $\forall i:Tv_i=w_i$ כאשר

$w_1=1+x$

$w_2=x^3+x^2+x+1$

$w_3=0$

מצא את ההעתקה T במפורש.

פתרון. דבר ראשון נמצא את המטריצה המייצגת מB לבסיס הסטדנרטי של הפולינומים S. נשים את התמונות בעמודות

$[T]^B_S =\begin{pmatrix} | & | & | \\ \big[Tv_1]_S & [Tv_2]_S &[Tv_3]_S \\ | & | & | \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} | & | & | \\ \big[w_1]_S & [w_2]_S &[w_3]_S \\ | & | & | \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$

כעת נמצא את מטריצת המעבר. שימו לב שאנו עוסקים במקרה מיוחד. המרחב שלנו אינו מרחב מוכר, ואנו צריכים למצוא לו בסיס סטנרטי על מנת לקחת את הקואורדינטות של איברי הבסיס הנתון לפי אותו בסיס סטנדרטי שנמציא.

כל הוקטורים בV הינם צירופים לינאריים של הבסיס הנתון. ניקח צירוף לינארי כללי ונראה בקלות שהוא מהצורה $(-s,t,s,r))$ ולכן בסיס סטנדרטי שקל להוציא את הקואורדינטות לפיו יהיה $S_V=\{(-1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)\}$. מדוע הוא סטנדרטי? קל מאד לראות שלכל וקטור במרחב $[(-x,y,x,z)]_{S_V}=(x,y,z)$.

כעת נמצא מטריצת מעבר $[I]^B_{S_V}= \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

נהפוכו על מנת לקבל:

$[I]^{S_V}_B=([I]^B_{S_V})^{-1}=\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix}$

ביחד אנו מקבלים

$[T]^{S_V}_S=[T]^{B}_S\cdot [I]^{S_V}_B= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$

לכן, $[T(-x,y,x,z)]_S=[T]^{S_V}_S[(-x,y,x,z)]_{S_V}= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y+z \\ y+z \\ \frac{1}{3}(x+y+z) \\ \frac{1}{3}(x+y+z) \\ \end{pmatrix}$

ולכן בסופו של דבר:

$T(-a,b,a,d)=b+d +(b+d)x + \frac{1}{3}(a+b+d)x^2+ \frac{1}{3}(a+b+d)x^3$