88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9

מטריצות מייצגות

הגדרה. תהי $T:V\rightarrow W$ העתקה לינארית, ויהיו $E,F$ בסיסים ל$V,W$ בהתאמה. נסמן $E=\{v_1,...,v_n\}$. אזי המטריצה המייצגת את T מבסיס E לבסיס F הינה המטריצה שעמודותיה הן הקואורדינטות לפי הבסיס F של התמונות של איברי הבסיס E מסמנים

$[T]^E_F =\begin{pmatrix} | & | & & | \\ \big[Tv_1]_F & [Tv_2]_F &\cdots &[Tv_n]_F \\ | & | & & | \\ \end{pmatrix}$

לכל וקטור $v\in V$ מתקיים ש $[T]^E_F[v]_E=[Tv]_F$

הערה: שימו לב שאם ניקח את הוקטורים $Tv_1,...,Tv_n$ ונשים אותם באופן נאיבי בעמודות מטריצה נקבל $[T]^E_S$.

אלגוריתם למציאת מטריצה המייצגת את העתקה בין בסיסים כלשהם

יהיו מ"ו V,W והעתקה T בינהם ובסיסים E,F בדיוק כמו בהגדרה לעיל. אזי:

1. מצא את מטריצה המעבר $[I]^F_S$ (קל, לשים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של איברי F בעמודות)
2. הפוך אותה על מנת לקבל את $[I]^S_F$
3. הפעל את ההעתקה T על איברי הבסיס E לקבל $Tv_1,...,Tv_n$
4. שים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של התמונות משלב שלוש בעמודות מטריצה $[T]^E_S$
5. כפול מטריצות על מנת לקבל $[T]^E_F=[I]^S_F[T]^E_S$

אלגוריתם למציאת העתקה מפורשת לפי תמונות איברי הבסיס בלבד

תהי T העתקה לינארית הנתונה על ידי התמונות של איברי בסיס $B=\{v_1,...,v_n\}$. רוצים למצוא את $Tv$ עבור $v\in V$ וקטור כלשהו.

1. נבצע את האלגוריתם לעיל על מנת למצוא את $[T]^E_S$.
2. נכפול במטריצת המעבר על מנת לקבל $[T]=[T]^S_S=[T]^E_S[I]^S_E$
3. $[T][v]=[Tv]$ מכיוון שכל אלא בבסיס הסטנדרטי, נכפול בוקטור כללי מהמרחב על מנת למצוא לאן הוא נשלח במפורש.

דוגמא

תרגיל. יהיו $V=span\{v_1=(1,0,-1,1),v_2=(-2,1,2,0),v_3=(0,-1,0,1)\}$ ו $W=\mathbb{R}_3[x]$ מ"ו. תהי העתקה T מV לE המקיימת $\forall i:Tv_i=w_i$ כאשר

$w_1=1+x$

$w_2=x^3+x^2+x+1$

$w_3=0$

מצא את ההעתקה T במפורש.

פתרון. דבר ראשון נמצא את המטריצה המייצגת מB לבסיס הסטדנרטי של הפולינומים S. נשים את התמונות בעמודות

$[T]^B_S =\begin{pmatrix} | & | & | \\ \big[Tv_1]_S & [Tv_2]_S &[Tv_3]_S \\ | & | & | \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} | & | & | \\ \big[w_1]_S & [w_2]_S &[w_3]_S \\ | & | & | \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$

כעת נמצא את מטריצת המעבר. שימו לב שאנו עוסקים במקרה מיוחד. המרחב שלנו אינו מרחב מוכר, ואנו צריכים למצוא לו בסיס סטנרטי על מנת לקחת את הקואורדינטות של איברי הבסיס הנתון לפי אותו בסיס סטנדרטי שנמציא.

כל הוקטורים בV הינם צירופים לינאריים של הבסיס הנתון. ניקח צירוף לינארי כללי ונראה בקלות שהוא מהצורה $(-s,t,s,r))$ ולכן בסיס סטנדרטי שקל להוציא את הקואורדינטות לפיו יהיה $S_V=\{(-1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)\}$. מדוע הוא סטנדרטי? קל מאד לראות שלכל וקטור במרחב $[(-x,y,x,z)]_{S_V}=(x,y,z)$.

כעת נמצא מטריצת מעבר $[I]^B_{S_V}= \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

נהפוכו על מנת לקבל:

$[I]^{S_V}_B=([I]^B_{S_V})^{-1}=\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix}$

ביחד אנו מקבלים

$[T]^{S_V}_S=[T]^{B}_S\cdot [I]^{S_V}_B= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$

לכן, $[T(-x,y,x,z)]_S=[T]^{S_V}_S[(-x,y,x,z)]_{S_V}= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y+z \\ y+z \\ \frac{1}{3}(x+y+z) \\ \frac{1}{3}(x+y+z) \\ \end{pmatrix}$

ולכן בסופו של דבר:

$T(-a,b,a,d)=b+d +(b+d)x + \frac{1}{3}(a+b+d)x^2+ \frac{1}{3}(a+b+d)x^3$

תרגיל. (6.12) תהי $T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$ העתקה של שיקוף ביחס לציר x. מצא בסיס סדור B ל $\mathbb{R}^2$ עבורו $[T]_B=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

פתרון.

בסיס סדור יכיל שני וקטורים $v_1=(a,b),v_2=(c,d)$. לפי הנתונים $T(a,b)=(a,-b)$ וגם $T(c,d)=(c,-d)$.

עמודות המטריצה המייצגת הינן הקואורדינטות של התמונות של איברי הבסיס, לפי הבסיס. לכן

$(a,-b)=T(a,b)=(-1)\cdot (a,b) + 0 \cdot (c,d)$

$(c,-d)=T(c,d)=2\cdot (a,b) + 1 \cdot (c,d)$

ביחד קיבלנו 4 משוואות:

$a=-a \Rightarrow a=0$

$-b=-b$

$c=2a+c=c$

$-d = 2b+d \Rightarrow d=-b$

לכן, עלינו לבחור $b,c,d$ שיקיימו את המשוואות לעיל וגם יתקיים שהוקטורים $(a,b),(c,d)$ בת"ל.

לכן b אינו אפס, וגם c אינו אפס. d חייב להיות -b.

ניקח $(0,1),(1,-1)$ ואכן תנאי השאלה מתקיימים.

מציאת גרעין ותמונה בעזרת מטריצה מייצגת

הגדרה. יהי V מ"ו ויהי U תת מרחב שלו. יהי B בסיס לV. אזי מרחב הקואורדינטות של U לפי B הינו $[U]_B:=\{[u]_B|u\in U\}$. כפי שלמדנו העתקת הקואורדינטות הינה איזומורפיזם ולכן בהנתן מרחב קואורדינטות קל למצוא את המרחב המקורי.

תרגיל. תהי A מטריצה ו-f פונקציה המוגדרת על ידי כפל במטריצה f(v)=Av. מצא את הגרעין ואת התמונה של f.

פתרון. קל לראות שהגרעין הינו $N(A)$ והתמונה הינה $C(A)$ (שכן Av הינו צירוף לינארי של עמודות A עם הסקלרים מv).

מסקנה. תהי T העתקה לינארית מV לW, עם E וF בסיסים בהתאמה. אזי מרחב הקואורדינטות של הגרעין הינו $[kerT]_E=\{[v]_E:Tv=0\}=\{[v]_E:[Tv]_F=[T]^E_F[v]_E=0\}=N([T]^E_F)$. מרחב הקואורדינטות של התמונה הינו $[ImT]_F=\{[Tv]_F:v\in V\}=\{[Tv]_F=[T]^E_F[v]_E:[v]_E\in\mathbb{F}^n\}=C([T]^E_F)$

אלגוריתם למציאת גרעין ותמונה של העתקה לפי המטריצה המייצגת

1. מצא מטריצה מייצגת $A=[T]^E_F$
2. מצא את מרחבי הקואורדינטות של הגרעין והתמונה $N(A)=[kerT]_E,C(A)=[ImT]_F$
3. העבר חזרה את מרחבי הקואורדינטות לצורה המקורית (ע"י כפל הסקלרים מהקואורדינטות באיברי הבסיס)

תרגיל. (6.14)

א. מצא בצורה מפורשת העתקה לינארית $T:\mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^4$ כך שמתקיים $Im(T)=span\{(2,4,5,7),(1,2,1,1)\}$

ב. מצא בצורה מפורשת העתקה לינארית $T:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3$ כך ש $ker(T)=span\{(1,3,7),(2,5,6)\}$ וגם $Im(T)=span\{(1,2,3)\}$

פתרון.

א. פה אין דרישות רבות לתרגיל, רק דורשים תמונה מסוימת. אם כן, נשלח כל וקטור במרחב לצירוף לינארי של הוקטורים הנתונים, ונדאג לעבור על כל הצירופים האפשריים. $T(x,y,z,w)=x(2,4,5,7)+y(1,2,1,1)$. קל לראות שהתמונה היא בדיוק כפי שנדרש ע"י הכלה דו כיוונית.

ב. נשלים את הוקטורים הנתונים לבסיס ע"י הוקטור $(0,0,1)$. נסמן $w_1=w_2=0$ ונסמן $w_3=(1,2,3)$. נמצא את העתקה במפורש לפי האלגוריתם. ברור שהקבוצה הדרושה מוכלת בגרעין, משיקולי מימד היא שווה לו (כי התמונה ממימד אחד לפחות).

תרגיל. (6.16) תהי $T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$ העתקה לינארית המוגדרת על ידי $T(x,y,z)=(x+y,y+z,2x-2z)$

א. מצא בסיס לגרעין ולתמונה של T

ב. מצא בסיס סדור E ל$\mathbb{R}^3$ כך ש $[T]^E_E=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & * & * \\ 0 & * & * \end{pmatrix}$

פתרון.

א. נמצא מטריצה מייצגת לפי הבסיס הסטנדרטי. נראה מה התמונה של איברי הבסיס:

$T(1,0,0)=(1,0,2)$

$T(0,1,0)=(1,1,0)$

$T(0,0,1)=(0,1,-2)$

ולכן

$[T]=[T]^S_S=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -2\end{pmatrix}$

מעל הבסיס הסטנדרטי, מרחב הקואורדינטות של תת מרחב U הוא U בעצמו. ולכן גרעין ההעתקה הינו $N([T])$ ותמונת ההעתקה הינה $C([A])$.

יוצא ש $kerT=span\{(1,-1,1)\}$ ויוצא $ImT=span\{(1,0,2),(1,1,0)\}$

ב. במקרה שלנו, יצא ש $kerT \oplus ImT = \mathbb{R}^3$. נגדיר את E להיות בסיס המורכב מאיחוד הבסיסים של הגרעין והתמונה, ונביט המטריצה המייצגת את ההעתקה לפי בסיס זה. מכיוון שהוקטור הראשון הוא בסיס לגרעין, התמונה שלו היא אפס וכך גם הקואורדינטות.

כמו כן, נביט בקואורדינטות של כל וקטור התמונה. מכיוון שזהו סכום ישר, יש הצגה יחידה של וקטור בתמונה לפי הבסיס שלנו E. אבל, גם יש לו הצגה יחידה לפי הבסיס לתמונה (שהוא מוכל בE) ולכן הקואורדינטות לפי וקטור הגרעין חייבות להיות אפס, כלומר השורה הראשונה הינה שורת אפסים.

תרגיל. יהיו $V=\mathbb{Z}_2^3$ ו$W=P(\{1,2,3,4\}$ מ"ו מעל השדה $\mathbb{Z}_2$. (זכרו כי החיבור הוקטורי בקבוצת החזקה הינו הפרש סימטרי). תהי העתקה לינארית המוגדרת לפי משפט ההגדרה על ידי

$T(1,1,0)=\{2,3\}$

$T(0,1,1)=\{1,3\}$

$T(0,0,1)=\{1,2\}$

מצא את הגרעין ואת התמונה של ההעתקה.