88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/פתרון מועד א

1

שאלת הוכחה מההרצאה

2

חשבו את האינטגרלים הבאים:

א

$\int\frac{dx}{sin(x)}$

פתרון:

נבצע הצבה אוניברסאלית $t=tan(\frac{x}{2})$ לקבל

$\int\frac{1+t^2}{2t}\frac{2}{1+t^2}dt=ln|t|+c$

ב

$\int\frac{xdx}{cos^2(x)}$

נבצע אינטגרציה בחלקים לקבל

$\int\frac{xdx}{cos^2(x)}=xtan(x)-\int tan(x) = xtan(x)-ln|cos(x)|+c$

ג

$\int\frac{t^7}{1+2t^4+t^8}dt$

ניתן לבצע את האלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

או ההצבה $x=t^4$ באופן הבא:

$\int \frac{t^7}{1+2t^4+t^8}dt=\int\frac{x}{4(1+2x+x^2)}dx=\frac{1}{8}\int\frac{2x+2-2}{(1+x)^2}dx=\frac{1}{8}ln[(1+x)^2]+\frac{1}{4}\frac{1}{1+x}+c$

3

א

קבעו האם האינטגרל הבא מתכנס או מתבדר:

$\int_0^\infty\frac{arctan(x)}{x}dx$

פתרון: כיוון ש$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{arctanx}{x}}{\frac{1}{x}}=\frac{\pi}{2}$

וכיוון ש$\int_1^\infty\frac{1}{x}dx$ מתבדר

שני האינטגרלים חברים ומתבדרים יחדיו.