88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/פתרון מועד א

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־12:39, 5 ביולי 2013 מאת Hanan (שיחה | תרומות) (6 במבחן של שיין והורוביץ)

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

1

שאלת הוכחה מההרצאה

2

חשבו את האינטגרלים הבאים:

א

\int\frac{dx}{sin(x)}

פתרון:

נבצע הצבה אוניברסאלית t=tan(\frac{x}{2}) לקבל

\int\frac{1+t^2}{2t}\frac{2}{1+t^2}dt=ln|t|+c


ב

\int\frac{xdx}{cos^2(x)}


נבצע אינטגרציה בחלקים לקבל

\int\frac{xdx}{cos^2(x)}=xtan(x)-\int tan(x) = xtan(x)+ln|cos(x)|+c

ג

\int\frac{t^7}{1+2t^4+t^8}dt

ניתן לבצע את האלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

או ההצבה x=t^4 באופן הבא:

\int \frac{t^7}{1+2t^4+t^8}dt=\int\frac{x}{4(1+2x+x^2)}dx=\frac{1}{8}\int\frac{2x+2-2}{(1+x)^2}dx=\frac{1}{4}ln[(1+x)]+\frac{1}{4}\frac{1}{1+x}+c

3

א

קבעו האם האינטגרל הבא מתכנס או מתבדר:

\int_0^\infty\frac{arctan(x)}{x}dx


פתרון: כיוון ש\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{arctanx}{x}}{\frac{1}{x}}=\frac{\pi}{2}

וכיוון ש\int_1^\infty\frac{1}{x}dx מתבדר

שני האינטגרלים חברים ומתבדרים יחדיו.


ב

הוכיחו שאם p(x) פולינום שאינו שווה זהותית לאפס, אזי האינטגרל \int_1^\infty p(x)dx מתבדר.


פתרון:

אם הפולינום אינו זהותית אפס, האינטגרל הלא מסויים שלו q(x)=\int p(x)dx בעל מעלה גדולה או שווה לאחד. ולכן

\int_1^\infty p(x)dx=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_1^b p(x)dx=\lim_{b\rightarrow\infty}[q(b)-q(1)]=\pm\infty


האחרון מתבדר כיוון שהמעלה של q גדולה או שווה לאחד.

4

מצאו את טור מקלורין של הפונקציה f(x)=cos^2(x) וקבעו את רדיוס ההתכנסות של הטור.


פתרון:

ראשית, נשים לב כי cos^2(x)= \frac{cos(2x)+1}{2}.

שנית, נזכר או נפתח את הטור \cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}

וביחד נקבל

cos^2(x)=\frac{1}{2}[\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} (2x)^{2n} + 1]=
\frac{1}{2}[1+\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n 4^n}{(2n)!} x^{2n}]

קל לחשב רדיוס התכנסות של טור זה ולהראות שהוא אינסוף.

5

נגדיר סדרת פונקציות f_n(x)=\frac{x^n}{1+x^n}

א

קבעו אם הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע [0,\frac{1}{2}]


פתרון:

קל לראות שבקטע זה גבול הסדרה הוא הפונקציה ששווה זהותית אפס, ולכן יש לחשב את הגבול:


\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\sup_{x\in [0,\frac{1}{2}]}|\frac{x^n}{1+x^n}|\Big]


נגזור על מנת למצוא את המקסימום:


\Big(\frac{x^n}{1+x^n}\Big)' = \frac{nx^{n-1}(1+x^n) - nx^{n-1}\cdot x^n}{(1+x^n)^2}=\frac{nx^{n-1}}{(1+x^n)^2}


הנגזרת מתאפסת באפס, לכן המקסימום הוא בקצוות


f_n(0)=0,


f_n(\frac{1}{2})=\frac{1}{2^n+1}


ולכן


\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\sup_{x\in [0,\frac{1}{2}]}|\frac{x^n}{1+x^n}|\Big]= \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2^n+1}=0


ולכן הסדרה מתכנסת במ"ש.

ב

קבעו אם הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע [\frac{1}{2},\frac{3}{2}]


פתרון:

קל לראות כי פונקצית הגבול בנקודה 1 היא חצי, לכל נקודה גדולה מ1 היא 1 ולכל נקודה קטנה מאחד היא אפס. לכן פונקצית הגבול אינה רציפה, ולכן ההתכנסות אינה במ"ש (שכן התכנסות במ"ש של פונקציות רציפות היא רציפה).


6 במבחן של אגרונובסקי

הוכח כי הפונקציה F(\alpha)=\int_1^\infty x^\alpha e^{-x}dx רציפה בכל הממשיים


פתרון:

  • לפי מבחן השוואה גבולי, קל לראות שכיוון שהאינטגרל \int_1^\infty e^{-\frac{x}{2}}dx מתכנס, כך גם האינטגרל F(\alpha) לכל אלפא.
  • כמו כן קל לוודא כי הפונקציה F(\alpha) מונוטונית. (זה לבד מוכיח רציפות פרט למספר בן מנייה של נקודות...)
  • תהי a נקודה מסויימת. נבחר M כך ש \int_M^\infty x^{a+1}e^{-x}dx < \frac{\epsilon}{2}
  • כעת עבור \Delta a קטן מספיק, F(a+\Delta a)\leq\int_1^Mx^{a+\Delta a}e^{-x}dx + \frac{\epsilon}{2}\leq M^{\Delta a}F(a) + \frac{\epsilon}{2}\leq F(a) + \epsilon


כפי שרצינו...

6 במבחן של שיין והורוביץ

(לקוח ממערכי התרגול של אור שחף) נתונה f פונקציה בעלת השתנות חסומה בקטע, ונתון שקיים \varepsilon>0 כך ש-f(x)\ge\varepsilon לכל x\in[a,b]. הוכיחו \frac1f בעלת השתנות חסומה בקטע.

פתרון

  1. מתקיים \forall x\in[a,b]:\ \frac1{f(x)}\le\frac1\varepsilon ולכן
    \begin{align}v(1/f,P)&=\sum_{k=1}^n\left|\frac1{f(x_k)}-\frac1{f(x_{k-1})}\right|\\&=\sum_{k=1}^n\left|\frac{f(x_{k-1})-f(x_k)}{f(x_k)f(x_{k-1})}\right|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\sum_{k=1}^n|f(x_k)-f(x_{k-1})|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\overset b\underset aV f\\&<\infty\end{align}
    \blacksquare