גרסה מ־11:50, 17 ביולי 2014

תוכן עניינים

1 רעיון בסיסי - אינדוקציה על הטבעיים

רעיון בסיסי - אינדוקציה על הטבעיים

בשביל להוכיח שטענה מסוימת $P(n)$ נכונה עבור כל מספר טבעי (למשל $(1+2+\cdots +n)^2 =1^3 +2^3 + \cdots +n^3$ ) מספיק להוכיח את הבאים:

(בסיס האינדוקציה) הטענה מתקיימת עבור $n=1$ כלומר $P(1)$ מתקיים
(צעד האינדוקציה)אם הטענה נכונה עבור מספר טבעי מסוים אזי היא נכונה גם עבור המספר הבא אחריו. כלומר $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ .

למה זה מספיק? בוא נחשוב.. הוכחנו באופן ישיר כי הטענה נכונה עבור $n=1$ כלומר $P(1)$ מתקיים. לכן לפי הטענה השניה, אם הטענה נכונה עבור $n=1$ (שזה אכן כך) אז הטענה נכונה גם עבור $n=2$ כלומר $P(2)$ . אה! אז עכשיו זה נכון עבור $n=2$ אז לפי אותה טענה זה נכון גם עבור $n=3$ ! ומה עכשיו? אם זה נכון עבור $n=3$ זה נכון עבור $n=4$ . וכן על זה הדרך. אפשר להשתכנע שבסופו של דבר $P(n)$ נכון לכל $n$

דוגמא: נוכיח באינדוקציה כי הטענה $(1+2+\cdots +n)^2 =1^3 +2^3 + \cdots +n^3$ נכונה לכל $n\in \mathbb{N}$ טבעי

הוכחה:

עבור $n=1$ אכן מתקיים כי $1^2=1^3$

כעת נניח כי הטענה עבור $n$ כלשהוא, כלומר מתקיים $(1+2+\cdots +n)^2 =1^3 +2^3 + \cdots +n^3$ ונוכיח כי הטענה נכונה עבור $n+1$ , כלומר $(1+2+\cdots +n+n+1)^2 =1^3 +2^3 + \cdots +n^3 + (n+1)^3$

דוגמא נוספת:

עיקרון הסדר הטוב

הכללות

הכללה פשוטה 1

הכללה ישירה מתבצעת כך (החלפה רק של הטענה הראשונה): אם נוכיח עבור טענה $P(n)$ ש:

הטענה מתקיימת עבור $n=k$ מסוים כלומר $P(k)$ מתקיים
אם הטענה נכונה עבור מספר טבעי מסוים אזי היא נכונה גם עבור המספר הבא אחריו. כלומר $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ .

אז באופן דומה הטענה נכונה $P(n)$ נכונה עבור $n\geq k$

כלומר - במקום להוכיח עבור $n=1$ ואז הטענה מתקיים החל מ-1 ניתן להוכיח עבור $n=k$ ואז הטענה מתקיים החל מ-k

דוגמא:

הוכח כי לכל $x>0$ מתקיים $(1+x)^n > 1+nx$ לכל $n\geq 2$

פתרון:

עבור $n=2$ נקבל $(1+x)^2 = 1+2x+x^2>1+2x$ כי $x>0$

כעת נניח כי הטענה נכונה עבור $n$ כלשהוא, כלומר מתקיים $(1+x)^n > 1+nx$

נוכיח עבור $n+1$ מהנחת האינדוקציה נקבל כי $(1+x)^{n+1}=(1+x)^n\cdot (1+x)>(1+nx) +1+x > 1+x+nx =1+ (n+1)x$

וסיימנו

הכללה פשוטה 2

אם נוכיח עבור טענה $P(n)$ ש:

הטענה מתקיימת עבור $n=1$ מסוים כלומר $P(1)$ מתקיים
אם הטענה נכונה עבור כל המספרים עד מספר טבעי מסוים $n$ (כלומר מתקיים $P(m)$ עבור $m\leq n$ ) אזי היא נכונה גם עבור המספר הבא אחריו (כלומר $P(n+1)$ מתקיים).

אז באופן דומה הטענה נכונה $P(n)$ נכונה עבור $n\geq k$

כלומר - אפשר להחליף את ההנחה שמתקיים עבור $n$ ולהוכיח עבור $n+1$ בהנחה שמתקיים עבור כל מי שקטן שווה $n$ ולהוכיח עבור $n+1$

הכללה מעמיקה

תהא $A$ קבוצה סדורה היטב בת מניה אז אפשר לעשות שם אינדוקציה

הערה: אפשר לעשות אינדוקציה טרנספניטית על קבוצות כלשהן (לאו דווקא בנות מניה) הערה: קיום סדר טוב על הטבעיים שקול לקיומה של אינדוקציה על הטבעיים.

תרגילים יותר מעניינים

כפל n מטריצות הפרש סימטרי של n קבוצות

@@ שורה 5: / שורה 5: @@
 בשביל להוכיח שטענה מסוימת  <math>P(n)</math> נכונה עבור כל מספר טבעי
 (למשל <math>(1+2+\cdots +n)^2 =1^3 +2^3 + \cdots +n^3</math>) מספיק להוכיח את הבאים:
-* הטענה מתקיימת עבור <math>n=1</math> כלומר <math>P(1)</math> מתקיים
+* (בסיס האינדוקציה) הטענה מתקיימת עבור <math>n=1</math> כלומר <math>P(1)</math> מתקיים
-* '''אם''' הטענה נכונה עבור מספר טבעי מסוים אזי היא נכונה גם עבור המספר הבא אחריו. כלומר <math>P(n)\Rightarrow P(n+1)</math>.
+* (צעד האינדוקציה)'''אם''' הטענה נכונה עבור מספר טבעי מסוים אזי היא נכונה גם עבור המספר הבא אחריו. כלומר <math>P(n)\Rightarrow P(n+1)</math>.
 למה זה מספיק?
@@ שורה 47: / שורה 47: @@
 נוכיח עבור <math>n+1</math> מהנחת האינדוקציה נקבל כי
- <math> (1+x)^{n+1}=(1+x)^n\cdot (1+x)>(1+nx) +1+x > 1+x+nx =1+ (n+1)x </math>
+<math> (1+x)^{n+1}=(1+x)^n\cdot (1+x)>(1+nx) +1+x > 1+x+nx =1+ (n+1)x </math>
 וסיימנו

הבדלים בין גרסאות בדף "88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 1.5"

גרסה מ־11:50, 17 ביולי 2014

תוכן עניינים

רעיון בסיסי - אינדוקציה על הטבעיים

עיקרון הסדר הטוב

הכללות

הכללה פשוטה 1

הכללה פשוטה 2

הכללה מעמיקה

תרגילים יותר מעניינים

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים