88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות סמסטר א תשעב

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות

קישורים

\ \Longleftarrowשאלות ותשובות\ \Longrightarrow

תרגילים באתר המרצה

מערכי התרגול

שיטת גרין עבור בעיית שפה

קובץ הסבר על שיטת המשמיד (באנגלית)

טבלה של התמרות לפלס - יש גם דברים שלא למדנו

פתרון תרגיל 11

ציוני תרגיל

הודעות

חשוב: תאריך ההגשה של תרגיל 8 הוא עד יום ראשון הקרוב בשעה 12:00 לתא של פרופ' שיף (113) --Michael 18:02, 4 בינואר 2012 (IST)

העלתי קובץ ובו פתרון של בעיית שפה לפי שיטת גרין. שימו לב שמדובר כאן על תנאי שפה מסויימים, נא לא להתבלבל. --Michael 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST)

העלתי את פתרון תרגיל 11 ואת ציוני התרגילים. מי שמוצא טעות נא להודיע לי --Michael 20:28, 22 בפברואר 2012 (IST)


לגבי התרגול היום (6.12.2011): הגענו לפתרון y=c_1\cos{\omega_0t}+c_2\sin{\omega_0t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2}

ומשם בלי ממש להסביר איך, שינינו קצת את c_1 כדי שהגבול יתכנס. הדרך המלאה היא כך:

y(0)=c_1+\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}

y'(0)=\omega_0 c_2

(לא קשה לראות שזה נכון). אפשר לבודד את הקבועים:

c_1=y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}

c_2=\frac{y'(0)}{\omega_0}

ולכן הפתרון הוא:

y=(y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2})\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2}

=y(0)\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t}}{\omega_0^2-\omega^2}

עכשיו נוכל להשאיף \omega \rightarrow \omega_0 ולקבל (תוך כדי שימוש בכלל לופיטל):

y=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0}\frac{\frac{d}{d \omega} (\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t})}{\frac{d}{d \omega} (\omega_0^2-\omega^2)}=

=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\lim_{\omega \rightarrow \omega_0} \frac{-t \sin{\omega t}}{-2\omega}=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\frac{t \sin{\omega_0 t}}{2\omega_0}

כאשר:

A_1=y(0) ו- A_2=\frac{y'(0)}{\omega_0} הם קבועים חופשיים.

רצוי מאוד שתשתמשו בדרך המלאה הזו, ולא בדרך הקצרה יותר שלמדנו היום. --Michael 22:53, 6 בדצמבר 2011 (IST)




בתרגול היום דיברנו על מערכות הומוגניות עם מקדמים קבועים: הדבר הראשון שצריכים לעשות הוא למצוא ע"ע.

למקרה שתתקלו במד"ר בספרות, כדאי שתדעו את השמות של המקרים שנתקלנו בהם.

המקרה הראשון היה ע"ע פשוט ממשי - simple real eigenvalue

המקרה השני היה זוג ע"ע מרוכבים פשוטים - simple complex conjugate pair eigenvalues

המקרה השלישי היה ע"ע מריבוי אלגברי גבוה m שבכל זאת (למזלנו) ניתן למצוא לו m וקטורים עצמיים. לע"ע שכזה קוראים ע"ע שלם - complete eigenvalue

והמקרה הכי פחות קל, ע"ע מריבוי גבוה m שיש לו פחות מ-m ו"ע. ע"ע כזה נקרא ע"ע דפקטיבי - defective eigenvalue

פתרון יותר מפורט של המקרה האחרון:

רצינו לפתור את המד"ר \vec{y}=A \vec{y}, כאשר A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}

ל-A יש רק ע"ע אחד \lambda=2. נחפש ו"ע \vec{v}=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}:

A \vec{v}=\lambda \vec{v}

A \vec{v}=2 \vec{v}

(2I-A)\vec{v}=0

\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \vec{v}=0

מקבלים את התנאי b=0 וניתן לקחת a=0 ולקבל ו"ע \vec{v}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} ולכן את הפתרון הקלאסי :

\vec{v} e^{\lambda t}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} e^{2t}

נראה שאין תקווה כי אי אפשר לבנות עוד פתרון כזה. אבל צריכים לחפש פתרון מהצורה \vec{y}=e^{2t} \left( \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}t+ \begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix} \right).

מצד אחד:

\vec{y}'=\left[e^{2t} \begin{pmatrix} at+c\\bt+d \end{pmatrix}\right] '=2e^{2t}\begin{pmatrix} at+c\\bt+d \end{pmatrix}+e^{2t}\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=e^{2t}\begin{pmatrix} 2at+2c+a\\2bt+2d+b \end{pmatrix}

ומצד שני:

A \vec{y}=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0&2 \end{pmatrix}\left[ e^{2t} \begin{pmatrix} at+c\\bt+d \end{pmatrix}\right]=e^{2t} \begin{pmatrix} 2at+2c+bt+d\\ 2bt+2d\end{pmatrix}

כדי לקבל שוויון ביניהם, נצטרך:

a=d

b=0

(c נשאר חופשי)

נציב זאת בניחוש ונקבל:

\vec{y}=e^{2t} \left( \begin{pmatrix} a\\0 \end{pmatrix}t+\begin{pmatrix} c\\a \end{pmatrix}\right)=e^{2t} \begin{pmatrix} at+c\\a \end{pmatrix}=a \begin{pmatrix} t\\1 \end{pmatrix} e^{2t}+c \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} e^{2t}=c_1 \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} e^{2t}+c_2 \begin{pmatrix} t\\1 \end{pmatrix} e^{2t}

בתרגול לקחתי c=0 ו-a=1 ובניתי פתרון נוסף שבכל מקרה הצטרף לפתרון הראשוני. סליחה על הבלבול.

--Michael 21:50, 22 בדצמבר 2011 (IST)

למרות שראיתם בהרצאה דוגמה לפתרון מערכת לא הומוגנית אני חושב שכדאי שאפתור עוד אחת כאן. נניח שרוצים לפתור את:

\vec{y}'=\underbrace{\begin{pmatrix} 4 & -3\\8 & -6 \end{pmatrix}}_{A(t)} \vec{y}+\underbrace{\begin{pmatrix} t\\ e^t \end{pmatrix}}_{\vec{b}(t)}

הדבר הראשון שצריכים לעשות הוא למצוא מטריצה יסודית כלשהי, בתרגול ראינו למשל את המטריצה:

Y(t)=\begin{pmatrix} 3 & e^{-2t}\\4 & 2e^{-2t} \end{pmatrix}

השלב הבא הוא לחשב את המטריצה ההופכית, המחשב נתן לי:

Y^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2}\\ -2e^{2t} & \frac{3e^{2t}}{2} \end{pmatrix}

נחשב עכשיו את Y^{-1}(t) \vec{b}(t):

Y^{-1}(t) \vec{b}(t)=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2}\\ -2e^{2t} & \frac{3e^{2t}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t\\ e^t \end{pmatrix}=\left(
\begin{array}{c}
 t-\frac{e^t}{2} \\
 \frac{3 e^{3 t}}{2}-2 e^{2 t} t
\end{array}
\right)

ניקח אינטגרל (אינטגרל של וקטור עושים רכיב-רכיב):

\int{Y^{-1}(t) \vec{b}(t) dt}=\left(
\begin{array}{c}
 \frac{t^2}{2}-\frac{e^t}{2}+k_1 \\
 -e^{2 t} t+\frac{e^{2 t}}{2}+\frac{e^{3 t}}{2}+k_2
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
 \frac{t^2}{2}-\frac{e^t}{2} \\
 -e^{2 t} t+\frac{e^{2 t}}{2}+\frac{e^{3 t}}{2}
\end{array}
\right)+\begin{pmatrix} k_1\\k_2 \end{pmatrix}

כל מה שנותר לעשות הוא להכפיל במטריצה יסודית:

Y(t)( \int{Y^{-1}(t) \vec{b}(t) dt}+\vec{k})=
\left(
\begin{array}{c}
 \frac{3 t^2}{2}-t-e^t+\frac{1}{2} \\
 2 t^2-2 t-e^t+1
\end{array}
\right)+k_1 \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}+k_2 \begin{pmatrix} e^{-2t}\\2e^{-2t} \end{pmatrix}

זהו בדיוק הפתרון הכללי של המערכת (\vec{y}). אם היה נתון תנאי התחלה היינו צריכים למצוא את הקבועים החופשיים. --Michael 01:49, 27 בדצמבר 2011 (IST)



לגבי סוף התרגול היום: עסקנו במשוואה 4xy''+2y'+y=0. המשוואה האינדנציאלית נתנה לנו שני ערכים מותרים עבור \alpha: \alpha_{1,2}=0,\frac{1}{2} הגענו לפתרון אחד כאשר לקחנו \alpha=0:

y_1=a_0 \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n}{2n!} x^n} אמרנו שאם מדובר בתחום שבו x>0 ניתן לרשום אותו בצורה:

y_1=a_0 \cos{\sqrt{x}} נגיע עכשי לפתרון השני, ניקח הפעם את \alpha=\frac{1}{2}. הרקורסיה שלנו היא

a_{n+1}=\frac{-a_n}{2(n+\frac{3}{2})(2n+2)}=\frac{-a_n}{(2n+2)(2n+3)}

נמצא קצת מהמקדמים:

a_1=\frac{-a_0}{2*3}

a_2=\frac{-a_1}{4*3}=\frac{a_0}{5*4*3*2}

a_3=\frac{-a_2}{7*6}=\frac{-a_0}{7!}

כבר ניתן לנחש:

a_n=\frac{a_0 (-1)^n}{(2n+1)!}

אם כך, נקבל פתרון שני:

y_2=x^\alpha \sum_{n=0}^\infty {a_n x^n}=x^\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty {\frac{a_0 (-1)^n}{(2n+1)!} x^n}=\sum_{n=0}^\infty {\frac{a_0 (-1)^n}{(2n+1)!} x^{n+\frac{1}{2}}}

אם x חיובי נוכל לרשום אותו בצורה:

y_2=\sum_{n=0}^\infty {\frac{a_0 (-1)^n}{(2n+1)!} \sqrt{x}^{2n+1}}=a_0 \sin{\sqrt{x}}

הפתרון הכללי יהיה צירוף לינארי שלהם:

y=c_1 y_1+c_2 y_2=C_1 \sum_{n=0}^\infty {\frac{(-1)^n}{(2n)!} x^n}+C_2 \sum_{n=0}^\infty {\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{n+\frac{1}{2}}}

כאשר הקבועים הגדולים בלעו את a_0

הערה חשובה: שימו לב שלא תמיד ניתן לפתור את הרקורסיות (אפילו לא במונחים של פונקציית גמא). במקרה כזה רצוי שלפחות תפתחו את הטור לכמה איברים ראשונים.

--Michael 01:37, 3 בינואר 2012 (IST)



הנה דוגמא של מד"ר, כאשר אגף ימין הוא מוגדר למקוטעין:

y''=\begin{cases} 2t & 0 \le t \le \frac{1}{2} \\ 2-2t & \frac{1}{2} \le t \le 1 \end{cases}=f(t), y(0)=y'(0)=0

"כזכור", ניתן לרשום פונקצייה מוגדרת למקוטעין בעזרת פונקציית הביסייד עם שני פרמטרים כך:

f(t)=2t H_{0,\frac{1}{2}}(t)+(2-2t) H_{\frac{1}{2},1}(t)

(האמת שיש כאן קצת בלוף: יש בעיה בנקודות ה"תפירה" t=\frac{1}{2}. לא אמרנו מה קורה לפונקציית הביסייד באפס. אבל בכל מקרה, להתמרת לפלס לא ממש אכפת מה קורה בנקודה בודדת)

נפשט קצת את f(t):

f(t)=2t (H(t-0)-H(t-\frac{1}{2})+(2-2t) (H(t-\frac{1}{2})-H(t-1))=2t H(t)+(2-2t-2t) H(t-\frac{1}{2})-(2-2t) H(t-1)=

=2tH(t)-4 (t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2 (t-1)H(t-1)

נגדיר פונקצייה נוספת לנוחיותנו:

g(t)=t

ואז ניתן לרשום:

f(t)=2g(t)H(t)-4g(t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2g(t-1)H(t-1)

את התמרת הלפלס של g קל לחשב:

\mathcal{L} \{g(t)\}=\mathcal{L} \{t \}=\mathcal{L} \{t \cdot 1 \}=-\frac{d}{ds} \mathcal{L} \{ 1 \}=-\frac{d}{ds} \frac{1}{s}=- \left(-\frac{1}{s^2} \right)=\frac{1}{s^2}=G(s)

(השתמשתי בתכונה מהשיעור: \mathcal{L} \{ t \cdot (t) \}=-\frac{d}{ds} \mathcal{L} \{ f(t) \})

נפעיל כעת התמרת לפלס על המד"ר שלנו:

\mathcal{L} \{y''\}=\mathcal{L} \{f \}

s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=\mathcal{L} \{ 2g(t)H(t)-4g(t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2g(t-1)H(t-1) \}

ע"פ תנאי ההתחלה אגף שמאל הוא בדיוק s^2Y(s). כדי לחשב את אגף ימין נשתמש בלינאריות של התמרת לפלס, וניזכר בתכונה:

\mathcal{L} \{g(t-c) \cdot H(t-c)\}=e^{-cs} G(s)

המשוואה היא:

s^2Y(s)=2\mathcal{L} \{g(t) H(t) \}-4\mathcal{L} \{g(t-\frac{1}{2}) H(t-\frac{1}{2}) \}+2 \mathcal{L} \{g(t-1) H(t-1) \}

s^2 Y(s)=2 e^{-0 s}G(s)-4 e^{-\frac{1}{2} s} G(s)+2 e^{-1 s} G(s)

s^2 Y(s)=(2-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) G(s)

s^2 Y(s)=(2-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) \frac{1}{s^2}

Y(s)=(2-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) \frac{1}{s^4}

Y(s)=2\frac{1}{s^4}-4 e^{-\frac{1}{2} s}\frac{1}{s^4}+2 e^{-s}\frac{1}{s^4}

נפעיל התמרת לפלס הפוכה כדי לקבל את הפתרון:

y(t)=\mathcal{L}^{-1} \left\{  2\frac{1}{s^4}-4 e^{-\frac{1}{2} s}\frac{1}{s^4}+2 e^{-s}\frac{1}{s^4} \right\}

ע"פ לינאריות ההתמרה ההפוכה:

y(t)=2\mathcal{L}^{-1} \left\{  \frac{1}{s^4} \right\}-4\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-\frac{1}{2} s} \frac{1}{s^4}  \right\}+2\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-s} \frac{1}{s^4}  \right\}

לפי טבלת התמרת לפלס:

\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^4} \right\}=\frac{t^3}{3!}=\frac{t^3}{6}

אם כן:

y(t)=2\frac{t^3}{6}-4 \frac{(t-\frac{1}{2})^3}{6}H \left(t-\frac{1}{2} \right)+2 \frac{(t-1)^3}{6} H(t-1)

וזהו הפתרון. ניתן לבדוק שהוא רציף וגזיר אפילו בנקודה הבעייתית t=\frac{1}{2}

--Michael 23:27, 31 בינואר 2012 (IST)