88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 4

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־16:35, 22 בנובמבר 2012 מאת Michael (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "== שאלה 1 == הוכיחו את ההכללה הבאה של התוצאה שהבאנו בתרגול. נדרש רק שינוי קל של ההוכחה שניתנה: ...")

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שאלה 1

הוכיחו את ההכללה הבאה של התוצאה שהבאנו בתרגול. נדרש רק שינוי קל של ההוכחה שניתנה:

יהיו (X,d),(Y,\rho) מרחבים מטריים, U \subseteq X קבוצה פתוחה, ו- f:U \to Y פונקציה כלשהי. הראו כי קבוצת הנקודות בהן f רציפה היא מטיפוס G_\delta

שאלה 2

א. תזכורת: למת פאטו אומרת שאם לכל n הפונקציה f_n:X \to [0,\infty] מדידה, אזי \liminf f_n \ge 0 מדידה, ומתקיים \int_X \liminf f_n \, d\mu \leq \liminf \int_X f_n \, d\mu

תנו דוגמא לסדרת פונקציות בממ"ח ([0,1],L(\mathbb{R}) \cap [0,1],m) שבה האי שוויון בלמת פאטו הוא 0 \leq 1.

רמז: בנו סדרה של פונקציות חסומות ורציפות למקוטעין \{ f_n \} המקיימות f_n \to 0 אבל \int_{[0,1]} f_n \, d\mu=1 לכל n.

ב. האם משפט ההתכנסות המונוטונית של לבג נכון גם לגבי סדרת יורדת של פונקציות מדידות ואי שליליות? (כלומר \infty \ge f_1 \ge f_2 \ge \dots \ge 0). אם כן הוכיחו ואם לא תנו דוגמא נגדית.

שאלה 3

א. חשבו את הגבול הבא: (אתם רשאים להניח שהשיטות לחישוב אינטגרלים מאינפי', כמו המשפט היסודי, עובדות גם עבור אינטגרלי לבג)

\lim_{n \to \infty} \int_0^n \frac{n \sin \frac{x}{n}}{x(1+x^2)} \, dm(x)

רמז: כדי להראות עליה ב-n, התייחסו ל-n כמשתנה רציף והראו כי הנגזרת של הביטוי לפיו אי-שלילית, כל עוד x \in (0,n). הסתמכו על כך שאם t \in [0,1] אזי \tan(t) \ge t.

ב. הוכיחו כי לכל p>0 מתקיים \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(p+k)^2}=\int_0^1 \frac{x^p}{x-1} \log x \, dm(x).

רמז: משפט ההתכנסות המונוטונית של לבג.

בהצלחה!