https://math-wiki.com/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=%D7%92%D7%9C%D7%A2%D7%93997Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]2026-05-12T23:21:09Zתרומות המשתמשMediaWiki 1.39.4https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A1%D7%A8%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99_%D7%94%D7%A8%D7%A6%D7%90%D7%94_%D7%95%D7%AA%D7%99%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C_%D7%A7%D7%99%D7%A5_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90&diff=87965סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא2021-07-26T13:34:41Z<p>גלעד997: /* תרגול גלעד */</p>
<hr />
<div>[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשפא]]<br />
<br />
<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=XOdbTkmIGAg&list=PLo-ioax5d2lAZwQxnZDvye-ZrfI5CZRWH&ab_channel=%D7%92%D7%99%D7%90%D7%91%D7%9C%D7%A9%D7%A8 הקלטות ההרצאות של גיא]<br />
**[[מדיה:linalg1_summer2021_lecture6_Guy.pdf|רשימות הרצאה 6 - סכום ישר, המרחב הנפרש, ותלות לינארית]]<br />
**[[מדיה:linalg1_summer2021_lecture7_Guy.pdf|רשימות הרצאה 7 - המשך פרישה ותלות לינארית, בסיסים ומימדים]]<br />
<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hmFeTDkHJeuj-E9ylhJWhmU הקלטות ההרצאות של ארז]<br />
<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLLfVMHTYT7tjLZO_jp7N_uyCJAFreQvT7 הקלטות התרגולים של נעם]<br />
<br />
<br />
<br />
*[https://youtube.com/playlist?list=PLKtmT6p9xoPqyTTFAZuzCVbnG6Ro9hxu1 הקלטות התרגולים של עוזי]<br />
**[[מדיה:LinearAlgebra12021summerUziTirgul5.pdf | קובץ התירגול 5 עוזי- מטריצות הפיכות -תתי מרחבים]]<br />
**[[מדיה:LinearAlgebra12021summerUziTirgul6.pdf | קובץ התירגול 6 עוזי- חיתוך, סכום וסכום ישר של תתי מרחבים, במרחב הנפרש וצירופים לינאריים.]]<br />
<br />
===הרצאות אלעד===<br />
<br />
*[https://youtu.be/1joy0LURXCw הרצאה 5] ו[[מדיה:לינארית_1_הרצאה_5_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]<br />
*[https://youtu.be/oYHG2gsApqE הרצאה 6] ו[[מדיה:לינארית_1_הרצאה_6_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]<br />
*[https://youtu.be/-DGV-3yHkOQ הרצאה 7] ו[[מדיה:לינארית_1_הרצאה_7_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]<br />
<br />
=== תירגול אריאל===<br />
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLo4jRVJIvg5dAjB_-Jjoh3_tpKcVdJlY2 סרטוני תרגולי זום], [[סיכומי תרגולי זום]]<br />
=== תירגול אחיה===<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLqfJtHXYh0MD3wi0uVMYhFlbjs4WsV-7J הקלטות התרגולים של אחיה]<br />
**[[מדיה:LinearAlgebra12021summerAchiyaTirgul5.pdf | קובץ התירגול 5 אחיה]]<br />
**[[מדיה:LinearAlgebra12021summerAchiyaTirgul6.pdf | קובץ התירגול 6 אחיה]]<br />
**[[מדיה:LinearAlgebra12021summerAchiyaTirgul7.pdf | קובץ התירגול 7 אחיה]]<br />
<br />
=== תרגולים גלעד===<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4mmq2ZN5TJv6rzJE3I5O7yD סרטוני התרגולים]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A1%D7%A8%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99_%D7%94%D7%A8%D7%A6%D7%90%D7%94_%D7%95%D7%AA%D7%99%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C_%D7%A7%D7%99%D7%A5_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94&diff=87964סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא בדידה2021-07-26T13:30:28Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div>[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשפא]]<br />
<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hnvwcX4bKYmuqgEq3tzpK4g הרצאות של ארז]<br />
*[https://youtube.com/playlist?list=PLo4jRVJIvg5fpJuulDvbH0RH456q62f8J הרצאות של אריאל]<br />
** [https://youtu.be/pQ6L-l6GBrQ הרצאה 6, חלק 1 (החלפה של גיא)]<br />
** [https://youtu.be/qmG8eYTxg3U הרצאה 6, חלק 2 (החלפה של גיא)]<br />
<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLLfVMHTYT7tihN1lMVHgk24VulmM3WbP6 תרגולים של נעם]<br />
<br />
===הרצאות אלעד===<br />
*[https://youtu.be/EQVn4JyWK70 הרצאה 5] ו[[מדיה:בדידה_הרצאה_5_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]<br />
<br />
*[https://youtu.be/VPpVWAL9VvQ הרצאה 6 חלק 1], [https://youtu.be/MYDuU6OSRNU הרצאה 6 חלק 2] ו[[מדיה:בדידה_הרצאה_6_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]<br />
<br />
==הרצאות עדי==<br />
* ההרצאה של עדי ב 19.7 הייתה בזום. נזכרנו להקליט רק החל מיחסי סדר. מצורף סיכום ההרצאה עד יחסי סדר וההקלטה החל מיחסי סדר:<br />
*[[מדיה:notes.pdf|סיכום החלק הראשון של ההרצאה (עד יחסי סדר)]]<br />
** [https://us02web.zoom.us/rec/share/U6Gbn3sbho37w6dLUjbkq2_qVayNJht0vV68_n0X3dxmM5uJKzqZYCWs-rWtV5Zc.O4233DUtvU4JKkmD קישור לחלק השני של ההרצאה]<br />
<br />
**[https://us02web.zoom.us/rec/share/83bAe8BcUSgl8VA-R3ReSz89EL-k7roMFy3WhUAveZRZOwqqyu9ZesEG8w47h0Jn.MIRDeYVM7DZHiq5N?startTime=1626847366000 קישור להרצאה של עדי מתאריך 21.7 ]<br />
<br />
=== תירגולים אחיה ===<br />
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLqfJtHXYh0MBF6npFkF2VIJuA5eF0a405 תירגולים אחיה]<br />
*[[מדיה:badida2021summerTirgul6.pdf|תירגול 6]]<br />
*[[מדיה:badida2021summerTirgul7.pdf|תירגול 7]]<br />
<br />
=== תירגולים גיא ברגר ===<br />
* [https://us02web.zoom.us/rec/play/2dNPgT47axwIzkLXCPm32NBmztXJaVp40l4-PauVlOoTgcOrztLL2eBZ2xMlQ8tnReypJ0-W2Sn4ZcBd.hdJnLOmHYVMxR0-M?continueMode=true&_x_zm_rtaid=iAfAIW6VSoy0ra9xbplCVw.1625578766378.0a3e226548b864747216283f91153a28&_x_zm_rhtaid=944 תירגול 1 (החלפה של שירה)]<br />
* [https://us02web.zoom.us/rec/play/M8XL8Y7gEGmzRPUeQiqPO61nYFxRTERkwnpZgNpPQqrEfuaHT3L8KH9HXjWoiILNLbqph0o8A53st1nk.GvISL6SMgTOazDLh?continueMode=true&_x_zm_rtaid=c0uDkZs8TSaKDOizknCQbw.1625982890940.564356124d747adb3627644bd9194553&_x_zm_rhtaid=877 תירגול 2 (החלפה של שירה)]<br />
<br />
=== תרגולים גלעד ===<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4n8uQ3ksVtuJUWZfKAvt6JM סרטוני התרגולים]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A1%D7%A8%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99_%D7%94%D7%A8%D7%A6%D7%90%D7%94_%D7%95%D7%AA%D7%99%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C_%D7%A7%D7%99%D7%A5_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90&diff=87959סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא2021-07-25T18:28:45Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div>[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשפא]]<br />
<br />
<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=XOdbTkmIGAg&list=PLo-ioax5d2lAZwQxnZDvye-ZrfI5CZRWH&ab_channel=%D7%92%D7%99%D7%90%D7%91%D7%9C%D7%A9%D7%A8 הקלטות ההרצאות של גיא]<br />
**[[מדיה:linalg1_summer2021_lecture6_Guy.pdf|רשימות הרצאה 6 - סכום ישר, המרחב הנפרש, ותלות לינארית]]<br />
**[[מדיה:linalg1_summer2021_lecture7_Guy.pdf|רשימות הרצאה 7 - המשך פרישה ותלות לינארית, בסיסים ומימדים]]<br />
<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hmFeTDkHJeuj-E9ylhJWhmU הקלטות ההרצאות של ארז]<br />
<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLLfVMHTYT7tjLZO_jp7N_uyCJAFreQvT7 הקלטות התרגולים של נעם]<br />
<br />
<br />
<br />
*[https://youtube.com/playlist?list=PLKtmT6p9xoPqyTTFAZuzCVbnG6Ro9hxu1 הקלטות התרגולים של עוזי]<br />
**[[מדיה:LinearAlgebra12021summerUziTirgul5.pdf | קובץ התירגול 5 עוזי- מטריצות הפיכות -תתי מרחבים]]<br />
**[[מדיה:LinearAlgebra12021summerUziTirgul6.pdf | קובץ התירגול 6 עוזי- חיתוך, סכום וסכום ישר של תתי מרחבים, במרחב הנפרש וצירופים לינאריים.]]<br />
<br />
===הרצאות אלעד===<br />
<br />
*[https://youtu.be/1joy0LURXCw הרצאה 5] ו[[מדיה:לינארית_1_הרצאה_5_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]<br />
*[https://youtu.be/oYHG2gsApqE הרצאה 6] ו[[מדיה:לינארית_1_הרצאה_6_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]<br />
*[https://youtu.be/-DGV-3yHkOQ הרצאה 7] ו[[מדיה:לינארית_1_הרצאה_7_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]<br />
<br />
=== תירגול אריאל===<br />
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLo4jRVJIvg5dAjB_-Jjoh3_tpKcVdJlY2 סרטוני תרגולי זום], [[סיכומי תרגולי זום]]<br />
=== תירגול אחיה===<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLqfJtHXYh0MD3wi0uVMYhFlbjs4WsV-7J הקלטות התרגולים של אחיה]<br />
**[[מדיה:LinearAlgebra12021summerAchiyaTirgul5.pdf | קובץ התירגול 5 אחיה]]<br />
**[[מדיה:LinearAlgebra12021summerAchiyaTirgul6.pdf | קובץ התירגול 6 אחיה]]<br />
**[[מדיה:LinearAlgebra12021summerAchiyaTirgul7.pdf | קובץ התירגול 7 אחיה]]<br />
<br />
=== תרגול גלעד===<br />
*[https://www.youtube.com/watch?v=gaYkar8EP5U תרגול 6 - גלעד]<br />
*[https://www.youtube.com/watch?v=14Qn7Y6yQUY תרגול 7 - גלעד]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A1%D7%A8%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99_%D7%94%D7%A8%D7%A6%D7%90%D7%94_%D7%95%D7%AA%D7%99%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C_%D7%A7%D7%99%D7%A5_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90&diff=87958סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא2021-07-25T18:25:27Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div>[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשפא]]<br />
<br />
<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=XOdbTkmIGAg&list=PLo-ioax5d2lAZwQxnZDvye-ZrfI5CZRWH&ab_channel=%D7%92%D7%99%D7%90%D7%91%D7%9C%D7%A9%D7%A8 הקלטות ההרצאות של גיא]<br />
**[[מדיה:linalg1_summer2021_lecture6_Guy.pdf|רשימות הרצאה 6 - סכום ישר, המרחב הנפרש, ותלות לינארית]]<br />
**[[מדיה:linalg1_summer2021_lecture7_Guy.pdf|רשימות הרצאה 7 - המשך פרישה ותלות לינארית, בסיסים ומימדים]]<br />
<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hmFeTDkHJeuj-E9ylhJWhmU הקלטות ההרצאות של ארז]<br />
<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLLfVMHTYT7tjLZO_jp7N_uyCJAFreQvT7 הקלטות התרגולים של נעם]<br />
<br />
<br />
<br />
*[https://youtube.com/playlist?list=PLKtmT6p9xoPqyTTFAZuzCVbnG6Ro9hxu1 הקלטות התרגולים של עוזי]<br />
**[[מדיה:LinearAlgebra12021summerUziTirgul5.pdf | קובץ התירגול 5 עוזי- מטריצות הפיכות -תתי מרחבים]]<br />
**[[מדיה:LinearAlgebra12021summerUziTirgul6.pdf | קובץ התירגול 6 עוזי- חיתוך, סכום וסכום ישר של תתי מרחבים, במרחב הנפרש וצירופים לינאריים.]]<br />
<br />
===הרצאות אלעד===<br />
<br />
*[https://youtu.be/1joy0LURXCw הרצאה 5] ו[[מדיה:לינארית_1_הרצאה_5_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]<br />
*[https://youtu.be/oYHG2gsApqE הרצאה 6] ו[[מדיה:לינארית_1_הרצאה_6_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]<br />
*[https://youtu.be/-DGV-3yHkOQ הרצאה 7] ו[[מדיה:לינארית_1_הרצאה_7_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]<br />
<br />
=== תירגול אריאל===<br />
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLo4jRVJIvg5dAjB_-Jjoh3_tpKcVdJlY2 סרטוני תרגולי זום], [[סיכומי תרגולי זום]]<br />
=== תירגול אחיה===<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLqfJtHXYh0MD3wi0uVMYhFlbjs4WsV-7J הקלטות התרגולים של אחיה]<br />
**[[מדיה:LinearAlgebra12021summerAchiyaTirgul5.pdf | קובץ התירגול 5 אחיה]]<br />
**[[מדיה:LinearAlgebra12021summerAchiyaTirgul6.pdf | קובץ התירגול 6 אחיה]]<br />
**[[מדיה:LinearAlgebra12021summerAchiyaTirgul7.pdf | קובץ התירגול 7 אחיה]]<br />
<br />
=== תרגול גלעד===<br />
*[https://www.youtube.com/watch?v=gaYkar8EP5U תרגול 6 - גלעד<br />
*[https://www.youtube.com/watch?v=14Qn7Y6yQUY תרגול 7 - גלעד</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A1%D7%A8%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99_%D7%94%D7%A8%D7%A6%D7%90%D7%94_%D7%95%D7%AA%D7%99%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C_%D7%A7%D7%99%D7%A5_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94&diff=87914סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא בדידה2021-07-21T13:44:51Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div>[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשפא]]<br />
<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hnvwcX4bKYmuqgEq3tzpK4g הרצאות של ארז]<br />
*[https://youtube.com/playlist?list=PLo4jRVJIvg5fpJuulDvbH0RH456q62f8J הרצאות של אריאל]<br />
* תירגולים של גיא ברגר<br />
** [https://us02web.zoom.us/rec/play/2dNPgT47axwIzkLXCPm32NBmztXJaVp40l4-PauVlOoTgcOrztLL2eBZ2xMlQ8tnReypJ0-W2Sn4ZcBd.hdJnLOmHYVMxR0-M?continueMode=true&_x_zm_rtaid=iAfAIW6VSoy0ra9xbplCVw.1625578766378.0a3e226548b864747216283f91153a28&_x_zm_rhtaid=944 תירגול 1 (החלפה של שירה)]<br />
** [https://us02web.zoom.us/rec/play/M8XL8Y7gEGmzRPUeQiqPO61nYFxRTERkwnpZgNpPQqrEfuaHT3L8KH9HXjWoiILNLbqph0o8A53st1nk.GvISL6SMgTOazDLh?continueMode=true&_x_zm_rtaid=c0uDkZs8TSaKDOizknCQbw.1625982890940.564356124d747adb3627644bd9194553&_x_zm_rhtaid=877 תירגול 2 (החלפה של שירה)]<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLLfVMHTYT7tihN1lMVHgk24VulmM3WbP6 תרגולים של נעם]<br />
*[https://www.youtube.com/watch?v=P_lo7LrS64w תרגול 5 - גלעד (19.7.21)]<br />
*[https://www.youtube.com/watch?v=9WxQX4Sq6l8 תרגול 6 - גלעד (21.7.21)]<br />
<br />
===הרצאות אלעד===<br />
*[https://youtu.be/EQVn4JyWK70 הרצאה 5] ו[[מדיה:בדידה_הרצאה_5_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]<br />
<br />
*[https://youtu.be/VPpVWAL9VvQ הרצאה 6 חלק 1], [https://youtu.be/MYDuU6OSRNU הרצאה 6 חלק 2] ו[[מדיה:בדידה_הרצאה_6_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A1%D7%A8%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99_%D7%94%D7%A8%D7%A6%D7%90%D7%94_%D7%95%D7%AA%D7%99%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C_%D7%A7%D7%99%D7%A5_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94&diff=87897סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא בדידה2021-07-20T00:32:01Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div>[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשפא]]<br />
<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hnvwcX4bKYmuqgEq3tzpK4g הרצאות של ארז]<br />
*[https://youtube.com/playlist?list=PLo4jRVJIvg5fpJuulDvbH0RH456q62f8J הרצאות של אריאל]<br />
* תירגולים של גיא ברגר<br />
** [https://us02web.zoom.us/rec/play/2dNPgT47axwIzkLXCPm32NBmztXJaVp40l4-PauVlOoTgcOrztLL2eBZ2xMlQ8tnReypJ0-W2Sn4ZcBd.hdJnLOmHYVMxR0-M?continueMode=true&_x_zm_rtaid=iAfAIW6VSoy0ra9xbplCVw.1625578766378.0a3e226548b864747216283f91153a28&_x_zm_rhtaid=944 תירגול 1 (החלפה של שירה)]<br />
** [https://us02web.zoom.us/rec/play/M8XL8Y7gEGmzRPUeQiqPO61nYFxRTERkwnpZgNpPQqrEfuaHT3L8KH9HXjWoiILNLbqph0o8A53st1nk.GvISL6SMgTOazDLh?continueMode=true&_x_zm_rtaid=c0uDkZs8TSaKDOizknCQbw.1625982890940.564356124d747adb3627644bd9194553&_x_zm_rhtaid=877 תירגול 2 (החלפה של שירה)]<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLLfVMHTYT7tihN1lMVHgk24VulmM3WbP6 תרגולים של נעם]<br />
<br />
[https://youtu.be/EQVn4JyWK70 הרצאה 5 - אלעד] ו[[מדיה:בדידה_הרצאה_5_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]<br />
*[https://www.youtube.com/watch?v=P_lo7LrS64w תרגול 5 - גלעד (19.7.21)]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A1%D7%A8%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99_%D7%94%D7%A8%D7%A6%D7%90%D7%94_%D7%95%D7%AA%D7%99%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C_%D7%A7%D7%99%D7%A5_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94&diff=87896סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא בדידה2021-07-20T00:30:35Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div>[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשפא]]<br />
<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hnvwcX4bKYmuqgEq3tzpK4g הרצאות של ארז]<br />
*[https://youtube.com/playlist?list=PLo4jRVJIvg5fpJuulDvbH0RH456q62f8J הרצאות של אריאל]<br />
* תירגולים של גיא ברגר<br />
** [https://us02web.zoom.us/rec/play/2dNPgT47axwIzkLXCPm32NBmztXJaVp40l4-PauVlOoTgcOrztLL2eBZ2xMlQ8tnReypJ0-W2Sn4ZcBd.hdJnLOmHYVMxR0-M?continueMode=true&_x_zm_rtaid=iAfAIW6VSoy0ra9xbplCVw.1625578766378.0a3e226548b864747216283f91153a28&_x_zm_rhtaid=944 תירגול 1 (החלפה של שירה)]<br />
** [https://us02web.zoom.us/rec/play/M8XL8Y7gEGmzRPUeQiqPO61nYFxRTERkwnpZgNpPQqrEfuaHT3L8KH9HXjWoiILNLbqph0o8A53st1nk.GvISL6SMgTOazDLh?continueMode=true&_x_zm_rtaid=c0uDkZs8TSaKDOizknCQbw.1625982890940.564356124d747adb3627644bd9194553&_x_zm_rhtaid=877 תירגול 2 (החלפה של שירה)]<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLLfVMHTYT7tihN1lMVHgk24VulmM3WbP6 תרגולים של נעם]<br />
<br />
[https://youtu.be/EQVn4JyWK70 הרצאה 5 - אלעד] ו[[מדיה:בדידה_הרצאה_5_אלעד_קיץ_תשפא.pdf|מה שכתבנו]]<br />
** [https://www.youtube.com/watch?v=P_lo7LrS64w תרגול 5 גלעד, 19.7.21]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-195_%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%A7%D7%99%D7%A5_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90&diff=8789588-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשפא2021-07-20T00:28:51Z<p>גלעד997: /* הודעות */</p>
<hr />
<div>[[88-195 מתמטיקה בדידה]]<br />
<br />
==קישורים==<br />
*[[מתמטיקה בדידה - ארז שיינר|סרטוני ותקצירי ההרצאות והתרגולים]]<br />
* [[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|מערכי תרגול]]<br />
*[[סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא בדידה| סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא]]<br />
* [http://xi.math-wiki.com מערכת הגשת התרגילים XI]<br />
<br />
==מבחנים==<br />
<br />
* [[מבחנים בבדידה|מבחנים משנים קודמות]]<br />
<br />
=<br />
<br />
==הודעות==<br />
<br />
<br />
<br />
* ההרצאה של עדי ב 19.7 הייתה בזום. נזכרנו להקליט רק החל מיחסי סדר. מצורף סיכום ההרצאה עד יחסי סדר וההקלטה החל מיחסי סדר:<br />
*[[מדיה:notes.pdf|סיכום החלק הראשון של ההרצאה (עד יחסי סדר)]]<br />
** [https://us02web.zoom.us/rec/share/U6Gbn3sbho37w6dLUjbkq2_qVayNJht0vV68_n0X3dxmM5uJKzqZYCWs-rWtV5Zc.O4233DUtvU4JKkmD קישור לחלק השני של ההרצאה]<br />
<br />
== בוחן ==<br />
* [[בחנים בבדידה|בחנים משנים קודמות]]<br />
בוחן בבדידה יתקיים בתאריך 26/7/21 בשעה 9-11 (משך הבוחן: שעה ורבע למי שאין תוספות זמן).<br />
<br />
חומר: עד יחסי סדר (לא כולל). באופן שקול: עד יחסי שקילות כולל הכל (מחלקות שקילות, קבוצת מנה, חלוקות).<br />
<br />
מבנה הבוחן: 2 שאלות עם 3-4 סעיפים כל שאלה. אין בחירה. הניקוד מסתכם ל 120. ללא חומר עזר.</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-195_%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%A7%D7%99%D7%A5_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90&diff=8789488-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשפא2021-07-20T00:25:59Z<p>גלעד997: /* הודעות */</p>
<hr />
<div>[[88-195 מתמטיקה בדידה]]<br />
<br />
==קישורים==<br />
*[[מתמטיקה בדידה - ארז שיינר|סרטוני ותקצירי ההרצאות והתרגולים]]<br />
* [[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|מערכי תרגול]]<br />
*[[סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא בדידה| סרטוני הרצאה ותירגול קיץ תשפא]]<br />
* [http://xi.math-wiki.com מערכת הגשת התרגילים XI]<br />
<br />
==מבחנים==<br />
<br />
* [[מבחנים בבדידה|מבחנים משנים קודמות]]<br />
<br />
=<br />
<br />
==הודעות==<br />
<br />
<br />
<br />
* ההרצאה של עדי ב 19.7 הייתה בזום. נזכרנו להקליט רק החל מיחסי סדר. מצורף סיכום ההרצאה עד יחסי סדר וההקלטה החל מיחסי סדר:<br />
*[[מדיה:notes.pdf|סיכום החלק הראשון של ההרצאה (עד יחסי סדר)]]<br />
** [https://us02web.zoom.us/rec/share/U6Gbn3sbho37w6dLUjbkq2_qVayNJht0vV68_n0X3dxmM5uJKzqZYCWs-rWtV5Zc.O4233DUtvU4JKkmD קישור לחלק השני של ההרצאה]<br />
** [https://www.youtube.com/watch?v=P_lo7LrS64w תרגול 5 גלעד, 19.7.21]<br />
<br />
== בוחן ==<br />
* [[בחנים בבדידה|בחנים משנים קודמות]]<br />
בוחן בבדידה יתקיים בתאריך 26/7/21 בשעה 9-11 (משך הבוחן: שעה ורבע למי שאין תוספות זמן).<br />
<br />
חומר: עד יחסי סדר (לא כולל). באופן שקול: עד יחסי שקילות כולל הכל (מחלקות שקילות, קבוצת מנה, חלוקות).<br />
<br />
מבנה הבוחן: 2 שאלות עם 3-4 סעיפים כל שאלה. אין בחירה. הניקוד מסתכם ל 120. ללא חומר עזר.</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:%D7%98%D7%95%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%99%D7%94_21_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%99%D7%9C_9.pdf&diff=87623קובץ:טופולוגיה 21 תיכוניסטים תרגיל 9.pdf2021-06-14T22:19:40Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div></div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D&diff=8762288-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים2021-06-14T22:04:32Z<p>גלעד997: /* שיעורי בית */</p>
<hr />
<div>[[88-222 טופולוגיה]]<br />
<br />
מרצים: פרופ' מיכאל מגרל, ד"ר אייל סובג <br />
<br />
מתרגלים: מתן קומיסרצ'יק, גלעד פורת קורן, תמר בר-און. <br />
<br />
== הרצאות מיכאל מגרל משנת 2021 ==<br />
*[[מדיה:Top1Lect21.pdf| הרצאה 1]] (עודכן ב 14.03)<br />
*[[מדיה:Top2Lect21.pdf| הרצאה 2]] (עודכן ב 14.03)<br />
*[[מדיה:Top3Lect21.pdf| הרצאה 3]] (עודכן ב 21.03)<br />
*[[מדיה:Top4Lect21.pdf| הרצאה 4]] (עודכן ב 11.04)<br />
*[[מדיה:Top5Lect21.pdf| הרצאה 5]] (עודכן ב 18.04)<br />
*[[מדיה:Top6Lect21.pdf| הרצאה 6]] (עודכן ב 25.04)<br />
*[[מדיה:Top7Lect21.pdf| הרצאה 7]] (עודכן ב 03.05)<br />
*[[מדיה:Top8Lect21.pdf| הרצאה 8]] (עודכן ב 09.05)<br />
*[[מדיה:Top9Lect21.pdf| הרצאה 9]] (עודכן ב 25.05)<br />
*[[מדיה:Top10Lect21.pdf| הרצאה 10]] (עודכן ב 31.05)<br />
*[[מדיה:Top11Lect21.pdf| הרצאה 11]] (עודכן ב 13.06)<br />
*[[מדיה:Top12Lect21.pdf| הרצאה 12]] (עודכן ב 13.06)<br />
<br />
==תירגולים==<br />
*[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/תמר|תירגול תמר]]<br />
*[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/גלעד|תירגול גלעד]]<br />
*[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/מתן|תירגול מתן]]<br />
<br />
==הבוחן==<br />
<br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_בוחן.pdf|הבוחן]] [[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_בוחן_פתרון.pdf|ופתרונו]]<br />
<br />
==שיעורי בית==<br />
<br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_1.pdf|תרגיל 1]] [[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_1_פתרון.pdf|פתרון]]<br />
<br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_2.pdf|תרגיל 2]] [[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_2_פתרון.pdf|פתרון]]<br />
<br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_3.pdf|תרגיל 3]] [[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_3_פתרון.pdf|פתרון]]<br />
<br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_4.pdf|תרגיל 4]] [[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_4_פתרון.pdf|פתרון]]<br />
<br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_5.pdf|תרגיל 5]] <br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_5_פתרון.pdf|פתרון]]<br />
<br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_6.pdf|תרגיל 6]] [[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_6_פתרון.pdf|פתרון]]<br />
<br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_7.pdf|תרגיל 7]] [[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_7_פתרון.pdf|פתרון]]<br />
<br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_8.pdf|תרגיל 8]] [[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_8_פתרון.pdf|פתרון]]<br />
<br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_9.pdf|תרגיל 9]] [[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_9_פתרון.pdf|פתרון]]<br />
<br />
== חומר נוסף == <br />
<br />
*[http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TOP.html האתר של מיכאל מגרל] האתר כולל [http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TopEx21.pdf תרגילים מומלצים] (עודכן ב 07/05/2021)<br />
*[[מדיה:AllTopLecNotes2020.pdf| הרצאות משנת 2020 (מיכאל מגרל)]]<br />
<br />
==העשרה==<br />
<br />
*[https://en.wikibooks.org/wiki/Topology Topology in Wikipedia]<br />
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes Furstenberg's topological proof of the infinitude of primes]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:%D7%98%D7%95%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%99%D7%94_21_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%99%D7%9C_6.pdf&diff=87369קובץ:טופולוגיה 21 תיכוניסטים תרגיל 6.pdf2021-05-04T12:56:13Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div></div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D&diff=8736888-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים2021-05-04T12:55:30Z<p>גלעד997: /* שיעורי בית */</p>
<hr />
<div>[[88-222 טופולוגיה]]<br />
<br />
מרצים: פרופ' מיכאל מגרל, ד"ר אייל סובג <br />
<br />
מתרגלים: מתן קומיסרצ'יק, גלעד פורת קורן, תמר בר-און. <br />
<br />
== הרצאות מיכאל מגרל משנת 2021 ==<br />
*[[מדיה:Top1Lect21.pdf| הרצאה 1]] (עודכן ב 14.03)<br />
*[[מדיה:Top2Lect21.pdf| הרצאה 2]] (עודכן ב 14.03)<br />
*[[מדיה:Top3Lect21.pdf| הרצאה 3]] (עודכן ב 21.03)<br />
*[[מדיה:Top4Lect21.pdf| הרצאה 4]] (עודכן ב 11.04)<br />
*[[מדיה:Top5Lect21.pdf| הרצאה 5]] (עודכן ב 18.04)<br />
*[[מדיה:Top6Lect21.pdf| הרצאה 6]] (עודכן ב 25.04)<br />
*[[מדיה:Top7Lect21.pdf| הרצאה 7]] (עודכן ב 03.05)<br />
<br />
==תירגולים==<br />
*[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/תמר|תירגול תמר]]<br />
*[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/גלעד|תירגול גלעד]]<br />
*[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/מתן|תירגול מתן]]<br />
<br />
==שיעורי בית==<br />
<br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_1.pdf|תרגיל 1]] [[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_1_פתרון.pdf|פתרון]]<br />
<br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_2.pdf|תרגיל 2]] [[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_2_פתרון.pdf|פתרון]]<br />
<br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_3.pdf|תרגיל 3]] [[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_3_פתרון.pdf|פתרון]]<br />
<br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_4.pdf|תרגיל 4]] [[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_4_פתרון.pdf|פתרון]]<br />
<br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_5.pdf|תרגיל 5]] <br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_5_פתרון.pdf|פתרון]]<br />
<br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_6.pdf|תרגיל 6]] [[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_6_פתרון.pdf|פתרון]]<br />
<br />
== חומר נוסף == <br />
<br />
*[http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TOP.html האתר של מיכאל מגרל] האתר כולל [http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TopEx20.pdf תרגילים מומלצים] (עודכן ב 14.08.2020)<br />
*[[מדיה:AllTopLecNotes2020.pdf| הרצאות משנת 2020 (מיכאל מגרל)]]<br />
<br />
==העשרה==<br />
<br />
*[https://en.wikibooks.org/wiki/Topology Topology in Wikipedia]<br />
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes Furstenberg's topological proof of the infinitude of primes]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:%D7%98%D7%95%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%99%D7%94_21_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%99%D7%9C_3_%D7%A4%D7%AA%D7%A8%D7%95%D7%9F.pdf&diff=87232קובץ:טופולוגיה 21 תיכוניסטים תרגיל 3 פתרון.pdf2021-04-17T19:27:17Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div></div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:%D7%98%D7%95%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%99%D7%94_21_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%99%D7%9C_3.pdf&diff=87231קובץ:טופולוגיה 21 תיכוניסטים תרגיל 3.pdf2021-04-17T19:26:59Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div></div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D&diff=8722388-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים2021-04-15T18:32:42Z<p>גלעד997: /* שיעורי בית */</p>
<hr />
<div>[http://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%98%D7%95%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%99%D7%94 88-222 טופולוגיה]<br />
<br />
מרצים: פרופ' מיכאל מגרל, ד"ר אייל סובג <br />
<br />
מתרגלים: מתן קומיסרצ'יק, גלעד פורת קורן, תמר בר-און. <br />
<br />
== הרצאות מיכאל מגרל משנת 2021 ==<br />
*[[מדיה:Top1Lect21.pdf| הרצאה 1]] (עודכן ב 14.03)<br />
*[[מדיה:Top2Lect21.pdf| הרצאה 2]] (עודכן ב 14.03)<br />
*[[מדיה:Top3Lect21.pdf| הרצאה 3]] (עודכן ב 21.03)<br />
*[[מדיה:Top4Lect21.pdf| הרצאה 4]] (עודכן ב 11.04)<br />
<br />
==תירגולים==<br />
*[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/תמר|תירגול תמר]]<br />
*[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/גלעד|תירגול גלעד]]<br />
*[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/מתן|תירגול מתן]]<br />
<br />
==שיעורי בית==<br />
<br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_1.pdf|תרגיל 1]] [[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_1_פתרון.pdf|פתרון]]<br />
<br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_2.pdf|תרגיל 2]] [[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_2_פתרון.pdf|פתרון]]<br />
<br />
[[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_3.pdf|תרגיל 3]] [[מדיה:טופולוגיה_21_תיכוניסטים_תרגיל_3_פתרון.pdf|פתרון]]<br />
<br />
== חומר נוסף == <br />
<br />
*[http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TOP.html האתר של מיכאל מגרל] האתר כולל [http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TopEx20.pdf תרגילים מומלצים] (עודכן ב 14.08.2020)<br />
*[[מדיה:AllTopLecNotes2020.pdf| הרצאות משנת 2020 (מיכאל מגרל)]]<br />
<br />
==העשרה==<br />
<br />
*[https://en.wikibooks.org/wiki/Topology Topology in Wikipedia]<br />
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes Furstenberg's topological proof of the infinitude of primes]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Tir2_2020.pdf&diff=87070קובץ:Tir2 2020.pdf2021-03-15T16:26:35Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div></div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D/%D7%92%D7%9C%D7%A2%D7%93&diff=8706988-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/גלעד2021-03-15T16:26:16Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div>[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים]]<br />
<br />
[https://us02web.zoom.us/j/95388740016 קישור לזום של התרגולים]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4k6HwqgY-0SQo6eD2b69KWJ קישור לסרטוני התרגולים]<br />
<br />
[[מדיה:Tir1_2020.pdf| תרגול 1 - קובץ א']],[[מדיה:Tir1b_2020.pdf| תרגול 1 - קובץ ב']]<br />
<br />
[[מדיה:Tir2_2020.pdf| תרגול 2]]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Tir1b_2020.pdf&diff=87068קובץ:Tir1b 2020.pdf2021-03-15T16:24:39Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div></div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D/%D7%92%D7%9C%D7%A2%D7%93&diff=8706788-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/גלעד2021-03-15T16:24:17Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div>[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים]]<br />
<br />
[https://us02web.zoom.us/j/95388740016 קישור לזום של התרגולים]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4k6HwqgY-0SQo6eD2b69KWJ קישור לסרטוני התרגולים]<br />
<br />
[[מדיה:Tir1_2020.pdf| תרגול 1 - קובץ א']],[[מדיה:Tir1b_2020.pdf| תרגול 1 - קובץ ב']]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Tir1_2020.pdf&diff=87066קובץ:Tir1 2020.pdf2021-03-15T16:23:14Z<p>גלעד997: תרגול 1</p>
<hr />
<div>תרגול 1</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D/%D7%92%D7%9C%D7%A2%D7%93&diff=8706588-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/גלעד2021-03-15T16:22:48Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div>[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים]]<br />
<br />
[https://us02web.zoom.us/j/95388740016 קישור לזום של התרגולים]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4k6HwqgY-0SQo6eD2b69KWJ קישור לסרטוני התרגולים]<br />
<br />
*[[מדיה:Tir1_2020.pdf| תרגול 1 - קובץ א']]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C1%D7%90.pdf&diff=87064קובץ:תרגול1א.pdf2021-03-15T16:15:40Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div></div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D/%D7%92%D7%9C%D7%A2%D7%93&diff=8706388-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/גלעד2021-03-15T16:15:17Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div>[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים]]<br />
<br />
[https://us02web.zoom.us/j/95388740016 קישור לזום של התרגולים]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4k6HwqgY-0SQo6eD2b69KWJ קישור לסרטוני התרגולים]<br />
<br />
[[מדיה:תרגול1א|תרגול 1 - קובץ א']], [[מדיה:תרגול1ב|תרגול 1 - קובץ ב']]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D/%D7%92%D7%9C%D7%A2%D7%93&diff=8706288-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/גלעד2021-03-15T16:15:04Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div>[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים]]<br />
<br />
[https://us02web.zoom.us/j/95388740016 קישור לזום של התרגולים]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4k6HwqgY-0SQo6eD2b69KWJ קישור לסרטוני התרגולים]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D/%D7%92%D7%9C%D7%A2%D7%93&diff=8704488-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/גלעד2021-03-14T11:23:02Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div>[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים]]<br />
<br />
[https://us02web.zoom.us/j/95388740016 קישור לזום של התרגולים]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4k6HwqgY-0SQo6eD2b69KWJ קישור לסרטוני התרגולים]<br />
<br />
[[מדיה:תרגול1א|תרגול 1 - קובץ א']], [[מדיה:תרגול1ב|תרגול 1 - קובץ ב']]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C1.pdf&diff=87043קובץ:תרגול1.pdf2021-03-14T11:21:35Z<p>גלעד997: גלעד997 העלה גרסה חדשה של קובץ:תרגול1.pdf</p>
<hr />
<div></div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C1.pdf&diff=87042קובץ:תרגול1.pdf2021-03-14T11:20:51Z<p>גלעד997: גלעד997 העלה גרסה חדשה של קובץ:תרגול1.pdf</p>
<hr />
<div></div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D/%D7%92%D7%9C%D7%A2%D7%93&diff=8704188-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/גלעד2021-03-14T11:19:51Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div>[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים]]<br />
<br />
[https://us02web.zoom.us/j/95388740016 קישור לזום של התרגולים]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4k6HwqgY-0SQo6eD2b69KWJ קישור לסרטוני התרגולים]<br />
<br />
[[מדיה:תרגול1|קובץ א' מתרגול 1]]<br />
[[מדיה:תרגול1|קובץ ב' מתרגול 1]]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C1.pdf&diff=87040קובץ:תרגול1.pdf2021-03-14T11:18:58Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div></div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D/%D7%92%D7%9C%D7%A2%D7%93&diff=8703988-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/גלעד2021-03-14T11:18:08Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div>[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים]]<br />
<br />
[https://us02web.zoom.us/j/95388740016 קישור לזום של התרגולים]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4k6HwqgY-0SQo6eD2b69KWJ קישור לסרטוני התרגולים]<br />
<br />
[[מדיה:תרגול1|קובץ א' מתרגול 1]]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D/%D7%92%D7%9C%D7%A2%D7%93&diff=8698788-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים/גלעד2021-03-08T16:35:18Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div>[[88-222 תשפא סמסטר ב תיכוניסטים]]<br />
<br />
[https://us02web.zoom.us/j/95388740016 קישור לזום של התרגולים]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4k6HwqgY-0SQo6eD2b69KWJ קישור לסרטוני התרגולים]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91_%D7%9E%D7%92%D7%A8%D7%9C&diff=8690488-222 תשפא סמסטר ב מגרל2021-03-02T19:42:47Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div><br />
מרצה: פרופ' מיכאל מגרל [https://us02web.zoom.us/j/7122610366 קישור לזום של ההרצאות]<br />
<br />
מתרגלים: מתן קומיסרצ'יק, גלעד פורת קורן<br />
<br />
[https://us02web.zoom.us/j/95388740016 קישור לזום לתרגולים של גלעד]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4k6HwqgY-0SQo6eD2b69KWJ קישור לסרטוני התרגולים של גלעד]<br />
<br />
<br />
<br />
== חומר נוסף == <br />
<br />
*[http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TOP.html האתר של המרצה] האתר כולל [http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TopEx20.pdf תרגילים מומלצים] (עודכן ב 14.08.2020)<br />
*[[מדיה:AllTopLecNotes2020.pdf| הרצאות משנת 2020 (מיכאל מגרל)]]<br />
<br />
==העשרה==<br />
<br />
<br />
*[https://en.wikibooks.org/wiki/Topology Topology in Wikipedia]<br />
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes Furstenberg's topological proof of the infinitude of primes]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91_%D7%9E%D7%92%D7%A8%D7%9C&diff=8690388-222 תשפא סמסטר ב מגרל2021-03-02T19:42:29Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div><br />
מרצה: פרופ' מיכאל מגרל [https://us02web.zoom.us/j/7122610366 קישור לזום של ההרצאות]<br />
<br />
מתרגלים: מתן קומיסרצ'יק, גלעד פורת קורן<br />
<br />
[https://us02web.zoom.us/j/95388740016 קישור לזום לתרגולים של גלעד פורת קורן]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4k6HwqgY-0SQo6eD2b69KWJ קישור לסרטוני התרגולים של גלעד]<br />
<br />
<br />
<br />
== חומר נוסף == <br />
<br />
*[http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TOP.html האתר של המרצה] האתר כולל [http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TopEx20.pdf תרגילים מומלצים] (עודכן ב 14.08.2020)<br />
*[[מדיה:AllTopLecNotes2020.pdf| הרצאות משנת 2020 (מיכאל מגרל)]]<br />
<br />
==העשרה==<br />
<br />
<br />
*[https://en.wikibooks.org/wiki/Topology Topology in Wikipedia]<br />
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes Furstenberg's topological proof of the infinitude of primes]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91_%D7%9E%D7%92%D7%A8%D7%9C&diff=8690288-222 תשפא סמסטר ב מגרל2021-03-02T19:42:10Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div><br />
מרצה: פרופ' מיכאל מגרל [https://us02web.zoom.us/j/7122610366 קישור לזום של ההרצאות]<br />
<br />
מתרגלים: מתן קומיסרצ'יק, גלעד פורת קורן<br />
<br />
[https://us02web.zoom.us/j/95388740016 | קישור לזום לתרגולים של גלעד פורת קורן]<br />
<br />
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4k6HwqgY-0SQo6eD2b69KWJ |<br />
קישור לסרטוני התרגולים של גלעד]<br />
<br />
<br />
<br />
== חומר נוסף == <br />
<br />
*[http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TOP.html האתר של המרצה] האתר כולל [http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TopEx20.pdf תרגילים מומלצים] (עודכן ב 14.08.2020)<br />
*[[מדיה:AllTopLecNotes2020.pdf| הרצאות משנת 2020 (מיכאל מגרל)]]<br />
<br />
==העשרה==<br />
<br />
<br />
*[https://en.wikibooks.org/wiki/Topology Topology in Wikipedia]<br />
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes Furstenberg's topological proof of the infinitude of primes]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91_%D7%9E%D7%92%D7%A8%D7%9C&diff=8690188-222 תשפא סמסטר ב מגרל2021-03-02T19:41:06Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div><br />
מרצה: פרופ' מיכאל מגרל [https://us02web.zoom.us/j/7122610366 קישור לזום של ההרצאות]<br />
<br />
מתרגלים: מתן קומיסרצ'יק, גלעד פורת קורן<br />
<br />
[קישור לזום לתרגולים של גלעד פורת קורן | https://us02web.zoom.us/j/95388740016]<br />
<br />
[קישור לסרטוני התרגולים של גלעד | https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4k6HwqgY-0SQo6eD2b69KWJ]<br />
<br />
<br />
<br />
== חומר נוסף == <br />
<br />
*[http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TOP.html האתר של המרצה] האתר כולל [http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TopEx20.pdf תרגילים מומלצים] (עודכן ב 14.08.2020)<br />
*[[מדיה:AllTopLecNotes2020.pdf| הרצאות משנת 2020 (מיכאל מגרל)]]<br />
<br />
==העשרה==<br />
<br />
<br />
*[https://en.wikibooks.org/wiki/Topology Topology in Wikipedia]<br />
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes Furstenberg's topological proof of the infinitude of primes]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91_%D7%9E%D7%92%D7%A8%D7%9C&diff=8690088-222 תשפא סמסטר ב מגרל2021-03-02T19:38:44Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div><br />
מרצה: פרופ' מיכאל מגרל [https://us02web.zoom.us/j/7122610366 קישור לזום של ההרצאות]<br />
<br />
מתרגלים: מתן קומיסרצ'יק, גלעד פורת קורן<br />
<br />
קישור לזום לתרגולים של גלעד פורת קורן:<br />
[https://us02web.zoom.us/j/95388740016]<br />
<br />
קישור לסרטוני התרגולים של גלעד:<br />
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4k6HwqgY-0SQo6eD2b69KWJ]<br />
<br />
<br />
<br />
== חומר נוסף == <br />
<br />
*[http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TOP.html האתר של המרצה] האתר כולל [http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TopEx20.pdf תרגילים מומלצים] (עודכן ב 14.08.2020)<br />
*[[מדיה:AllTopLecNotes2020.pdf| הרצאות משנת 2020 (מיכאל מגרל)]]<br />
<br />
==העשרה==<br />
<br />
<br />
*[https://en.wikibooks.org/wiki/Topology Topology in Wikipedia]<br />
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes Furstenberg's topological proof of the infinitude of primes]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91_%D7%9E%D7%92%D7%A8%D7%9C&diff=8689988-222 תשפא סמסטר ב מגרל2021-03-02T19:38:01Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div><br />
מרצה: פרופ' מיכאל מגרל [https://us02web.zoom.us/j/7122610366 קישור לזום של ההרצאות]<br />
<br />
מתרגל: מתן קומיסרצ'יק<br />
<br />
קישור לזום לתרגולים של גלעד פורת קורן:<br />
[https://us02web.zoom.us/j/95388740016]<br />
<br />
קישור לסרטוני התרגולים של גלעד:<br />
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4k6HwqgY-0SQo6eD2b69KWJ]<br />
<br />
<br />
<br />
== חומר נוסף == <br />
<br />
*[http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TOP.html האתר של המרצה] האתר כולל [http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TopEx20.pdf תרגילים מומלצים] (עודכן ב 14.08.2020)<br />
*[[מדיה:AllTopLecNotes2020.pdf| הרצאות משנת 2020 (מיכאל מגרל)]]<br />
<br />
==העשרה==<br />
<br />
<br />
*[https://en.wikibooks.org/wiki/Topology Topology in Wikipedia]<br />
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes Furstenberg's topological proof of the infinitude of primes]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-222_%D7%AA%D7%A9%D7%A4%D7%90_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91_%D7%9E%D7%92%D7%A8%D7%9C&diff=8689888-222 תשפא סמסטר ב מגרל2021-03-02T19:37:22Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div><br />
מרצה: פרופ' מיכאל מגרל [https://us02web.zoom.us/j/7122610366 קישור לזום של ההרצאות]<br />
<br />
מתרגל: מתן קומיסרצ'יק<br />
<br />
קישור לזום לתרגולים של גלעד פורת קורן:<br />
https://us02web.zoom.us/j/95388740016<br />
<br />
קישור לסרטוני התרגולים של גלעד:<br />
https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4k6HwqgY-0SQo6eD2b69KWJ<br />
<br />
<br />
<br />
== חומר נוסף == <br />
<br />
*[http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TOP.html האתר של המרצה] האתר כולל [http://u.math.biu.ac.il/~megereli/TopEx20.pdf תרגילים מומלצים] (עודכן ב 14.08.2020)<br />
*[[מדיה:AllTopLecNotes2020.pdf| הרצאות משנת 2020 (מיכאל מגרל)]]<br />
<br />
==העשרה==<br />
<br />
<br />
*[https://en.wikibooks.org/wiki/Topology Topology in Wikipedia]<br />
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes Furstenberg's topological proof of the infinitude of primes]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=89-214_%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D&diff=8677889-214 מבחנים2021-01-20T23:32:39Z<p>גלעד997: /* מבחנים משנים קודמות */</p>
<hr />
<div>'''[[89-214 מבנים אלגבריים]]'''<br />
<br />
==קישורים==<br />
ב[http://u.cs.biu.ac.il/~exams/ אתר המבחנים] של המחלקה יש המון מבחנים, אבל בלי פתרונות. שימו לב שחומר הלימוד משתנה מדי פעם.<br />
<br />
==מבחנים משנים קודמות==<br />
<br />
# [[מדיה:Ascs12a.pdf|מבחן תשע"ג מועד א']]<br />
# [[מדיה:Ascs12b.pdf|מבחן תשע"ג מועד ב']]<br />
# [[מדיה:Ascs13a.pdf|מבחן תשע"ד מועד א']]<br />
# [[מדיה:Ascs13b.pdf|מבחן תשע"ד מועד ב']]<br />
# [[מדיה:Ascs14a.pdf|מבחן תשע"ה מועד א']]<br />
# [[מדיה:Ascs14brev.pdf|מבחן תשע"ה מועד ב']]<br />
# [[מדיה:Ascs15a.pdf|מבחן תשע"ו מועד א']]<br />
# [[מדיה:Ascs15b.pdf|מבחן תשע"ו מועד ב']], [[מדיה:Ascs15b-solns.pdf|פתרון]]<br />
#[[מדיה:17ASExmTest1.pdf|מבחן לדוגמה 1 תשע"ח]], [[מדיה:17ASExmTest1Sol.pdf|פתרון]]<br />
#[[מדיה:17ASExmTest2.pdf|מבחן לדוגמה 2 תשע"ח]], [[מדיה:17ASExmTest2Sol.pdf|פתרון]]<br />
#[[מדיה:17ASExmTest3.pdf|מבחן לדוגמה 3 תשע"ח]], [[מדיה:17ASExmTest3Sol.pdf|פתרון]]<br />
#[[מדיה:17ASTestA.pdf|מבחן תשע"ח מועד א']]<br />
#[[מדיה:17ASTestB.pdf|מבחן תשע"ח מועד ב']]<br />
#[[מדיה:17ASTestC.pdf|מבחן תשע"ח מועד ג']]<br />
#[[מדיה:89214quiz_2019A.pdf|בוחן תשע"ט מועד א']], [[מדיה:89214quiz_2019A-sol.pdf|פתרון]] <br />
#[[מדיה:18ASTestA.pdf|מבחן תשע"ט מועד א']], [[מדיה:18ASTestASol.pdf|פתרון]]<br />
#[[מדיה:19ASTestB.pdf|מבחן תשע"ט מועד ב']], [[מדיה:18ASTestBSol.pdf|פתרון]]<br />
#[[מדיה:20ASTestA.pdf|מבחן תש"ף מועד א']] <br />
#[[מדיה:20ASTestB.pdf|מבחן תש"ף מועד ב']]<br />
<br />
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:89214]]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=89-214_%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D&diff=8677789-214 מבחנים2021-01-20T23:31:58Z<p>גלעד997: /* מבחנים משנים קודמות */</p>
<hr />
<div>'''[[89-214 מבנים אלגבריים]]'''<br />
<br />
==קישורים==<br />
ב[http://u.cs.biu.ac.il/~exams/ אתר המבחנים] של המחלקה יש המון מבחנים, אבל בלי פתרונות. שימו לב שחומר הלימוד משתנה מדי פעם.<br />
<br />
==מבחנים משנים קודמות==<br />
<br />
# [[מדיה:Ascs12a.pdf|מבחן תשע"ג מועד א']]<br />
# [[מדיה:Ascs12b.pdf|מבחן תשע"ג מועד ב']]<br />
# [[מדיה:Ascs13a.pdf|מבחן תשע"ד מועד א']]<br />
# [[מדיה:Ascs13b.pdf|מבחן תשע"ד מועד ב']]<br />
# [[מדיה:Ascs14a.pdf|מבחן תשע"ה מועד א']]<br />
# [[מדיה:Ascs14brev.pdf|מבחן תשע"ה מועד ב']]<br />
# [[מדיה:Ascs15a.pdf|מבחן תשע"ו מועד א']]<br />
# [[מדיה:Ascs15b.pdf|מבחן תשע"ו מועד ב']], [[מדיה:Ascs15b-solns.pdf|פתרון]]<br />
#[[מדיה:17ASExmTest1.pdf|מבחן לדוגמה 1 תשע"ח]], [[מדיה:17ASExmTest1Sol.pdf|פתרון]]<br />
#[[מדיה:17ASExmTest2.pdf|מבחן לדוגמה 2 תשע"ח]], [[מדיה:17ASExmTest2Sol.pdf|פתרון]]<br />
#[[מדיה:17ASExmTest3.pdf|מבחן לדוגמה 3 תשע"ח]], [[מדיה:17ASExmTest3Sol.pdf|פתרון]]<br />
#[[מדיה:17ASTestA.pdf|מבחן תשע"ח מועד א']]<br />
#[[מדיה:17ASTestB.pdf|מבחן תשע"ח מועד ב']]<br />
#[[מדיה:17ASTestC.pdf|מבחן תשע"ח מועד ג']]<br />
#[[מדיה:89214quiz_2019A.pdf|בוחן תשע"ט מועד א']], [[מדיה:89214quiz_2019A-sol.pdf|פתרון]] <br />
#[[מדיה:18ASTestA.pdf|מבחן תשע"ט מועד א']], [[מדיה:18ASTestASol.pdf|פתרון]]<br />
#[[מדיה:19ASTestB.pdf|מבחן תשע"ט מועד ב']], [[מדיה:18ASTestBSol.pdf|פתרון]]<br />
#[[מדיה:20ASTestA.pdf|מבחן תש"ף מועד א']], [[מדיה:20ASTestBSol.pdf|פתרון]]<br />
#[[מדיה:20ASTestB.pdf|מבחן תש"ף מועד ב']], [[מדיה:20ASTestBSol.pdf|פתרון]]<br />
<br />
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:89214]]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-112_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%A7%D7%99%D7%A5_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/5&diff=8517788-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/52020-07-21T20:22:57Z<p>גלעד997: /* תלות לינארית */</p>
<hr />
<div>[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]<br />
<br />
==צירופים לינאריים והמרחב הנפרש (span)==<br />
'''הגדרה:''' יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיו <math>v_{1},v_{2}\dots,v_{n}\in V</math> ו <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{F}</math><br />
אזי ביטוי מהצורה <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}</math><br />
נקרא צירוף לינארי (צ"ל) של <math>v_{1},v_{2}\dots,v_{n}\in V</math>.<br />
<br />
לדוגמא: <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>. אזי<br />
<br />
<math>\pi\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
2<br />
\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c}<br />
-1\\<br />
2<br />
\end{array}\right)-\sqrt{3}\left(\begin{array}{c}<br />
2\\<br />
2<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
הוא צירוף לינארי.<br />
<br />
הגדרה: '''המרחב הנפרש''' על ידי הוקטורים <math>v_1,...,v_n</math> מוגדר להיות '''קבוצת (אוסף) כל ה[[צירוף לינארי|צירופים הלינאריים]]''' של הוקטורים הללו. כלומר,<br />
<br />
<math>span\{v_1,...,v_n\}=\{ a_1v_1+...+a_nv_n | a_1,...,a_n\in\mathbb{F}\}=\{v\in V|\exists a_1,...,a_n\in\mathbb{F}:a_1v_1+...+a_nv_n=v\}</math>.<br />
<br />
באופן כללי: תהא <math>S\subseteq V</math> תת קבוצה של מ"ו (ייתכן קבוצה אין סופית) אזי <br />
<br />
<math>span(S)=\{ a_1v_1+...+a_nv_n | n\in \mathbb{N}, \, a_1,...,a_n\in\mathbb{F}, \, v_1,\dots,v_n\in S\}</math><br />
<br />
באופן שקול <math>span(S)</math> הוא איחוד כל הצירופים הלינאריים של כל תתי הקבוצות הסופיות של <math>S</math>.<br />
<br />
הערה:<br />
<math>span(S)</math> הינו תמיד תת-מרחב כפי שקל להוכיח באמצעות הקריטריון המקוצר - צירוף לינארי של צירופים לינאריים הינו צירוף לינארי בעצמו. בנוסף הוא התת מרחבב הקטן ביותר (מינימום לפי יחס ההכלה) המכיל את הקבוצה אותה הוא פורש <br />
<br />
כלומר אם ת"מ <math>W\leq V</math> מקיים <math>S\subseteq W</math> אזי <math>span(S)\subseteq W</math><br />
<br />
הוכחה<br />
אם <math>v\in spanS</math> אזי קיימים וקטורים וסקלרים <math>v_1,...,v_k\in S</math>, <math>a_1,...,a_k\in\mathbb{F}</math> כך שמתקיים <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k</math>. <br />
מתוך הנתון ש<math>S\subseteq W</math> נובע ש<math>v_1,...,v_k\in W</math> ולכן מתוך סגירות לכפל וסקלר וחיבור <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k\in W</math> משל.<br />
<br />
'''הערה:''' אם <math>S=\emptyset</math> קבוצה ריקה אזי מגדירים פורמאלית כי <math>span(S)=\{0\}</math><br />
<br />
===תכונות ===<br />
יהיה <math>V</math> מ"ו. יהיו <math>A,B\subseteq V</math> תתי קבוצות ו <math>W,U\leq V</math> תתי מרחבים. אזי<br />
#<math>U+W=span\{U\cup W\}</math>, וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים.<br />
#<math>A\subseteq span(A)</math><br />
#<math>A\subseteq B</math> אזי <math>span(A)\subseteq span(B)</math><br />
# בתירגול הקודם ראינו כי <math>span\{v_1,\dots v_m\}+span\{v_{m+1},\dots v_{m+k}\}=span\{v_1,\dots v_{m+k}\}</math><br />
## באופן כללי מתקיים כי <math>span(A)+span(B)=span(A\cup B)</math>. הוכחה: מצד אחד <math>A,B\subseteq A\cup B</math> ולכן <math>span(A),span(B)\subseteq span(A\cup B)</math> ולכן <math>span(A)+span(B)\subseteq span(A\cup B)</math>מצד שני <math>A\subseteq span(A)\subseteq span(A)+span(B)</math> ובאופן דומה גם <math>B\subseteq span(A)+span(B)</math> ולכן <math>A\cup B\subseteq span(A)+span(B)</math> ולכן <math>span(A\cup B)\subseteq span(A)+span(B)</math><br />
#<math>span(W)=W</math> (רק אם <math>W</math> ת"מ!) <br />
#מסקנה: אם <math>A\subseteq span(B)</math> אז <math>span(A)\subseteq span(B)</math> (הוכחה: <math>span(A)\subseteq span(span(B))=span(B)</math>)<br />
<br />
===תרגילים===<br />
====תרגיל 1 ====<br />
במרחב הוקטורי <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math> נגדיר<br />
<math>S=\{\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
2\\<br />
3<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
-2\\<br />
2<br />
\end{array}\right)\}</math><br />
<br />
מצא עבור אילו <math>a,b\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <br />
<math>\left(\begin{array}{c}<br />
a\\<br />
b<br />
\end{array}\right)\in span(S)<br />
</math><br />
<br />
=====פתרון =====<br />
<br />
שאלה שקולה: עבור אילו <math>a,b\in\mathbb{F}</math> קיימים סקלארים <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}</math> כך ש <br />
<br />
<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}<br />
2\\<br />
3<br />
\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}<br />
-2\\<br />
2<br />
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}<br />
a\\<br />
b<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
שזה בעצם לשאול האם למערכת <br />
<math>\left(\begin{array}{ccc|c}<br />
1 & 2 & -2 & a\\<br />
1 & 3 & 2 & b<br />
\end{array}\right)<br />
</math><br />
יש פתרון.<br />
<br />
נדרג ונבדוק <br />
<br />
<math>\left(\begin{array}{ccc|c}<br />
1 & 2 & -2 & a\\<br />
1 & 3 & 2 & b<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}<br />
1 & 2 & -2 & a\\<br />
0 & 1 & 4 & b-a<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}<br />
1 & 0 & -10 & 3a-2b\\<br />
0 & 1 & 4 & b-a<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
כלומר יש פתרון למערכת (אפילו אינסוף פתרונות) ולכן לכל <br />
<math>a,b\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <br />
<math>\left(\begin{array}{c}<br />
a\\<br />
b<br />
\end{array}\right)\in span(S)<br />
</math><br />
<br />
כלומר <math>span(S)=\mathbb{R}^{2}</math><br />
<br />
====תרגיל 2 ====<br />
במרחב הוקטורי <math>V=\mathbb{R}^{2\times2}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math> נגדיר <br />
<math>S=\{v_{1}=\left(\begin{array}{cc}<br />
1 & 1\\<br />
0 & 1<br />
\end{array}\right),v_{2}=\left(\begin{array}{cc}<br />
2 & 0\\<br />
1 & 3<br />
\end{array}\right),v_{3}=\left(\begin{array}{cc}<br />
1 & -1\\<br />
1 & 0<br />
\end{array}\right)\}</math><br />
<br />
הציגו את <math>span(S)</math> ע"י משוואות. מצאו, אם קיים, מטריצה שאינה ב <math>span(S)</math>. האם S בת"ל?<br />
=====פתרון =====<br />
שאלה שקולה: עבור אילו <math>a,b,c,d\in\mathbb{F}</math> קיימים סקלארים <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}</math> כך ש <br />
<math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=\left(\begin{array}{cc}<br />
a & b\\<br />
c & d<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
אם נייצג כל מטריצה באמצעות וקטור. למשל <br />
<math>\left(\begin{array}{cc}<br />
2 & 0\\<br />
1 & 3<br />
\end{array}\right)\leftrightarrow\left(\begin{array}{c}<br />
2\\<br />
0\\<br />
1\\<br />
3<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
<br />
נוכל להחליף את המשוואה לעיל במשוואה<br />
<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
1\\<br />
0\\<br />
1<br />
\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}<br />
2\\<br />
0\\<br />
1\\<br />
3<br />
\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
-1\\<br />
1\\<br />
0<br />
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}<br />
a\\<br />
b\\<br />
c\\<br />
d<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
(שימו לב שאלו בדיוק אותם ארבעת המשוואות).<br />
<br />
כעת נוכל פשוט לשאול האם למערכת <br />
<math>\left(\begin{array}{ccc|c}<br />
1 & 2 & 1 & a\\<br />
1 & 0 & -1 & b\\<br />
0 & 1 & 1 & c\\<br />
1 & 3 & 0 & d<br />
\end{array}\right)</math><br />
יש פתרון <br />
<br />
נדרג ונבדוק:<br />
<br />
<math>\left(\begin{array}{ccc|c}<br />
1 & 2 & 1 & a\\<br />
1 & 0 & -1 & b\\<br />
0 & 1 & 1 & c\\<br />
1 & 3 & 0 & d<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}<br />
1 & 0 & -1 & b\\<br />
0 & 1 & 1 & c\\<br />
1 & 3 & 0 & d\\<br />
1 & 2 & 1 & a<br />
\end{array}\right)\to\\\left(\begin{array}{ccc|c}<br />
1 & 0 & -1 & b\\<br />
0 & 1 & 1 & c\\<br />
0 & 3 & 1 & d-b\\<br />
0 & 2 & 2 & a-b<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}<br />
1 & 0 & -1 & b\\<br />
0 & 1 & 1 & c\\<br />
0 & 0 & -2 & d-b-3c\\<br />
0 & 0 & 0 & a-b-2c<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
רואים שיש פתרון אמ"מ <math>a-b-2c=0</math><br />
<br />
לכן התשובה הסופית היא <br />
<br />
<math><br />
span(S)=\{\left(\begin{array}{cc}<br />
a & b\\<br />
c & d<br />
\end{array}\right)\,|\,a-b-2c=0\}=<br />
<br />
\{\left(\begin{array}{cc}<br />
b+2c & b\\<br />
c & d<br />
\end{array}\right)\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} = \\<br />
<br />
<br />
\{<br />
b\left(\begin{array}{cc}<br />
1 & 1\\<br />
0 & 0<br />
\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{cc}<br />
2 & 0\\<br />
1 & 0<br />
\end{array}\right)+d\left(\begin{array}{cc}<br />
0 & 0\\<br />
0 & 1<br />
\end{array}\right)<br />
\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} = <br />
<br />
span\{\left(\begin{array}{cc}<br />
1 & 1\\<br />
0 & 0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}<br />
2 & 0\\<br />
1 & 0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}<br />
0 & 0\\<br />
0 & 1<br />
\end{array}\right)\}<br />
</math><br />
<br />
כמו שרואים בפתרון הסופי, ניתן להביע את התת מרחב שלנו בכמה צורות.<br />
הנה עוד דוגמא<br />
<br />
====== הערה: ניתן להגדיר/להציג תת מרחב בכמה דרכים ======<br />
בסעיף זה נראה מספר הצגות לאותו תת מרחב <br />
נראה שישנן שלוש דרכים שונות להציג את אותו תת המרחב הוקטורי.<br />
<br />
'''תרגיל.'''<br />
<br />
יהי <math>V=\mathbb{R}^4</math>, הוכח ששלוש הקבוצות הבאות שוות:<br />
*<math>span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math><br />
<br />
<br />
*<math>\{(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4 |(z-y-x=0)\and (w-y+x=0)\}</math><br />
<br />
<br />
*<math>\{\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)|t,s\in\mathbb{R}\}</math><br />
<br />
'''פתרון:'''<br />
<br />
נראה שהקבוצה הראשונה שווה לשנייה. וקטור נמצא בspan של קבוצת הוקטורים אם"ם הוא צירוף לינארי שלה. לכן, <math>(x,y,z,w)\in span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math> אם"ם קיימים סקלרים a,b,c כך ש <math>(x,y,z,w)=a(0,1,1,1)+b(2,1,3,-1)+c(1,1,2,0)</math>. לכן, הוקטור הוא צ"ל אם"ם קיים פתרון למערכת המשוואות הלינארית על a,b,c כאלה. בעצם, אנו רוצים לאמר על מערכת משוואות פרמטרית מתי יש לה פתרון. נביט במערכת המשוואות:<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
0 & 2 & 1 & | & x \\<br />
1 & 1 & 1 & | & y \\<br />
1 & 3 & 2 & | & z \\<br />
1 & -1 & 0 & | & w \\<br />
\end{pmatrix}</math><br />
<br />
נדרג את המערכת לקבל<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
1 & 1 & 1 & | & y \\<br />
0 & 2 & 1 & | & x \\<br />
0 & 0 & 0 & | & z-y-x \\<br />
0 & 0 & 0 & | & w-y+x \\<br />
\end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''זכרו שלא מעניין אותנו פתרון המערכת''', שכן אלו הסקלרים של הצירוף הלינארי. מה שמעניין אותנו הוא '''האם קיים פתרון למערכת''' ובמקרה זה קיים פתרון אם"ם <math>z-y-x=0</math> וגם <math>w-y+x=0</math> וזו בדיוק הקבוצה השנייה.<br />
<br />
(שימו לב גם למשפט מתרגול שעבר - b נמצא במרחב העמודות של A אם ורק אם למערכת Ax=b יש פתרון. זה בדיוק מה שקיבלנו בתרגיל זה.)<br />
<br />
<br />
כעת נראה את השיוויון בין הקבוצה השנייה לשלישית. המרחב הוא בעצם אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות הלינארית הנתונה. נדרג אותה והפעם '''נחפש את הפתרון הכללי'''.<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
-1 & -1 & 1 & 0 & | & 0 \\<br />
1 & -1 & 0 & 1 & | & 0 \\<br />
\end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & | & 0 \\<br />
0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & 0 \\<br />
\end{pmatrix}</math><br />
<br />
יש שני משתנים תלויים- x,y ושני משתנים חופשיים- z,w. נסמן z=t, w=s ונקבל פתרון כללי מהצורה <math>\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)</math><br />
<br />
==תלות לינארית==<br />
<br />
הגדרות:<br />
<br />
יהא <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיו וקטורים <math>v_1,...,v_n\in V</math> כלשהם אזי<br />
# ה'''צ"ל הטריוואלי''' הוא צירוף לינארי שכל המקדמים שווים 0 (ואז גם הצירוף שלהם שווה 0). כלומר הצירוף לינארי <math>0v_{1}+0v_{2}+\cdots0v_{n}=0</math> .<br />
# נאמר ש <math>v_1,...,v_n\in V</math> '''בילתי תלויים לינארית''' אם אם הצ"ל ה'''יחידי''' שמתאפס הוא הצ"ל הטרוויאלי. באופן שקול אם יש צ"ל שמתאפס אזי הוא הצ"ל הטרוויאלי. ובסימונים: <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0 \Rightarrow \forall i \alpha_i = 0</math><br />
# <math>v_1,...,v_n\in V</math> יקראו '''תלויים לינארית''' אם הם לא בלתי תלויים לינארית. באופן שקול אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> לא כולם אפס כך שמתקיים <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math><br />
<br />
הגדרה (הכלל): קבוצה <math>S\subseteq V</math> נקראת תלוייה לינארית אם קיימת בתוכה קבוצה סופית כלשהי של וקטורים, כך שוקטוריה תלויים לינארית לפי ההגדרה לעיל. [לא נתעסק בקורס זה בקבוצת אינסופיות בת"ל, אבל אתם יותר ממוזמנים לנסות לחשוב על מרחב וקטורי בעל קבוצה אינסופית בת"ל של וקטורים.]<br />
<br />
'''הערה:''' הקבוצה הריקה <math>\emptyset \subseteq V</math> מוגדרת כקבוצה בת"ל.<br />
<br />
'''הערה/משפט''' תכונה שקולה לכך שקבוצת וקטורים היא תלויה לינארית ניתנת לניסוח באמצעות פרישה. קבוצה S היא ת"ל אמ"מ קיים לפחות וקטור אחד אשר הסרתו מהקבוצה לא פוגעת בspan (כלומר span הקבוצה איתו או בלעדיו שווה). <br />
===דוגמאות ===<br />
<br />
====דוגמא 1====<br />
<math>V=\mathbb{R}^{3}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math><br />
<math>\{\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
0\\<br />
0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
1\\<br />
0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
0\\<br />
1<br />
\end{array}\right)\}</math><br />
בת"ל כי<br />
<br />
<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
0\\<br />
0<br />
\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
1\\<br />
0<br />
\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
0\\<br />
1<br />
\end{array}\right)=0</math><br />
<br />
פירושו<br />
<br />
<math>\left(\begin{array}{c}<br />
\alpha_{1}\\<br />
\alpha_{2}\\<br />
\alpha_{3}<br />
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
0\\<br />
0<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
שזה גורר <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}=0</math>.<br />
<br />
====דוגמא 2====<br />
<br />
2. (דוגמא מייצגת) <math>V=\mathbb{R}^{3}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math>. האם הקבוצה <br />
<math>\{\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
2\\<br />
1<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
-1\\<br />
-3\\<br />
0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
-1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)\}<br />
</math><br />
בת"ל?<br />
<br />
נתבונן ב<br />
<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
2\\<br />
1<br />
\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}<br />
-1\\<br />
-3\\<br />
0<br />
\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
-1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)=0</math><br />
ונמיר אותו להצגה מטריצית<br />
<br />
<math>\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & -1 & 0\\<br />
2 & 1 & -1\\<br />
1 & 0 & 1<br />
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}<br />
\alpha_{1}\\<br />
\alpha_{2}\\<br />
\alpha_{3}<br />
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
0\\<br />
0<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
כעת השאלה שקולה האם יש פתרון לא טריאלי למערכת. נדרג ונבדוק <br />
<br />
<math>\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & -1 & 0\\<br />
2 & -3 & -1\\<br />
1 & 0 & 1<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & -1 & 0\\<br />
0 & -1 & -1\\<br />
0 & 1 & 1<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & -1 & 0\\<br />
0 & 1 & 1\\<br />
0 & 0 & 0<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 1\\<br />
0 & 1 & 1\\<br />
0 & 0 & 0<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
לכל הצבה <math>z=t</math> נקבל<br />
<math><br />
\left(\begin{array}{c}<br />
\alpha_{1}\\<br />
\alpha_{2}\\<br />
\alpha_{3}<br />
\end{array}\right)=<br />
<br />
\left(\begin{array}{c}<br />
-t\\<br />
-t\\<br />
t<br />
\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}<br />
-1\\<br />
-1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)<br />
</math><br />
פתרון לא טרוויאלי. כלומר הוקטורים הנ"ל ת"ל.<br />
<br />
אם רוצים לראות את זה מפורש ניקח למשל <math>t=1</math> ונקבל צ"ל לא טריוואלי שמתאפס<br />
<br />
<br />
<math>-1\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
2\\<br />
1<br />
\end{array}\right)-1\left(\begin{array}{c}<br />
-1\\<br />
-3\\<br />
0<br />
\end{array}\right)+1\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
-1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)=0</math><br />
<br />
====דוגמא 3====<br />
יהי <math>0\not=v\in V</math> אזי <math>\{v\}</math> קבוצה בת"ל.<br />
<br />
לחילופין יהי <math>S=\{v_{1}\dots,v_{n}\}</math> כך ש <math>0_{V}\in S</math> אזי <math>S</math> ת"ל (ניקח צ"ל שכל המקדמים שווים אפס פרט למקדם של וקטור האפס שניקח להיות שווה 1).<br />
<br />
====דוגמא 4====<br />
<math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מרחב הפלינומים עד דרגה 2 מעל <math>\mathbb{R}</math> תהא <math>S=\{2+6x,x^{2},1+2x+2x^{2}\}</math>. האם <math>S</math> בת"ל?<br />
<br />
פתרון: צריך לבדוק האם <math>\alpha_{1}(2+6x)+\alpha_{2}x^{2}+\alpha_{3}(1+2x+2x^{2})=0</math> גורר שזה הצ"ל הטריאלי.<br />
<br />
לפי השוואת מקדמים נקבל כי : <math>2\alpha_{1}+\alpha_{3}=0,\,6\alpha_{1}+2\alpha_{3}=0,\,\alpha_{2}+2\alpha_{3}=0</math><br />
<br />
ובצורה מטריצית <br />
<math>\left(\begin{array}{ccc}<br />
2 & 0 & 1\\<br />
6 & 0 & 2\\<br />
0 & 1 & 2<br />
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}<br />
\alpha_{1}\\<br />
\alpha_{2}\\<br />
\alpha_{3}<br />
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
0\\<br />
0<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
נבדוק אם למערכת יש פתרון לא טריאלי.<br />
<br />
<math>\left(\begin{array}{ccc}<br />
2 & 0 & 1 \\<br />
6 & 0 & 2 \\<br />
0 & 1 & 2 <br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
2 & 0 & 1\\<br />
0 & 0 & -1\\<br />
0 & 1 & 2 <br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
2 & 0 & 1 \\<br />
0 & 1 & 2 \\<br />
0 & 0 & -1<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
2 & 0 & 1 \\<br />
0 & 1 & 2 \\<br />
0 & 0 & 1 <br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
2 & 0 & 0 \\<br />
0 & 1 & 0 \\<br />
0 & 0 & 1 <br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 0 \\<br />
0 & 1 & 0 \\<br />
0 & 0 & 1 <br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
כלומר התשובה היא שלמערכת אין פתרון לא טריאלי. כלומר <math>S</math> בת"ל<br />
<br />
====דוגמא 5====<br />
<br />
<br />
'''תרגיל.'''<br />
<br />
האם הפולינומים <math>x^3-x+1,2x^2+x-1,x^3-1</math> תלויים לינארית?<br />
<br />
<br />
'''פתרון:'''<br />
<br />
<math>a(x^3-x+1)+b(2x^2+x-1)+c(x^3-1)=0</math> אם"ם<br />
<br />
<math>(a+c)x^3+2bx^2+(b-a)x+(a-b-c)=0</math> אם"ם<br />
<br />
<math>(a=-c)\and(2b=0)\and(b=a)\and(a=b+c)</math> אם"ם<br />
<br />
<math>a=b=c=0</math><br />
<br />
אם כן, הצירוף הלינארי היחיד שמתאפס הינו הטריוויאלי ולכן הפולינומים בת"ל.<br />
<br />
====דוגמא 6====<br />
הקבוצה <math>\{1,x,x^2,x^3,\dots \}\subseteq \mathbb{F}[x]</math> היא בת"ל<br />
<br />
===משפט===<br />
<math>v_1,...,v_n\in V</math> ת"ל אם"ם אחד מהוקטורים הינו צירוף לינארי של האחרים<br />
<br />
====הוכחה====<br />
הוקטורים ת"ל אם"ם קיימים סקלרים כך ש <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>, ולפחות אחד מבין הסקלרים שונה מאפס. נניח '''ב.ה.כ.''' (בלי הגבלת הכלליות) ש <math>a_1\neq 0</math>. לכן <math>v_1=-\frac{a_2v_2+...+a_nv_n}{a_1}</math> ולכן <math>v_1=\frac{-a_2}{a_1}v_2+...+\frac{-a_n}{a_1}v_n</math>. <br />
<br />
בכיוון הפוך נניח כי (ב.ה.ב) הוקטור הראשון <math>v_1=\sum_{i>1}\alpha_i v_i</math> הוא צ"ל של האחרים. אזי <math>\sum_{i>1}\alpha_i v_i-v_1=0</math>. כלומר קיבלנו צ"ל שמתאפס שיש מקדם אחד לפחות ששונה מאפס (המקדם של <math>v_1</math> הוא <math>-1</math>) על פי הגדרה הוקטורים ת"ל<br />
<br />
<br />
'''שימו לב''' שיצא לנו שהוקטור הראשון תמיד צ"ל של האחרים, כמובן שזה לא נכון. זה נובע רק מטיעון ב.ה.כ שלנו, קל למצוא דוגמאות בהן הוקטור הראשון אינו צ"ל של האחרים.<br />
<br />
<br />
ממשפט זה קל לנו לראות שהצלחנו בהגדרה שלנו לתלות:<br />
<br />
'''מסקנה:''' אם <math>v_1</math> הינו צירוף לינארי של האחרים ניתן להסיר אותו במובן הבא: <math>span\{v_1,...,v_n\}=span\{v_2,...,v_n\}</math>.<br />
====תרגיל ====<br />
תרגיל: במרחב <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> נגדיר <math>p_{1}(x)=2+6x-5x^{2},p_{2}(x)=1+2x-3x^{2},p_{3}(x)=1-2x-5x^{2}</math> האם <math>p_{1}(x),p_{2}(x),p_{3}(x)</math> בת"ל? אם לא, מצאו צי"ל לא טריוואלי שמתאפס.<br />
<br />
====תרגיל ====<br />
תרגיל: יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>v_{1},v_{2},v_{3}</math> וקטורים. הוכיחו/הפריכו: אם <math>v_{1},v_{2},v_{3}</math> בת"ל בזוגות (כלומר כל זוג וקטורים שונים בת"ל) אזי<br />
<math>\left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\}</math> בת"ל.<br />
<br />
====תרגיל ====<br />
תרגיל: יהא V מ"ו ויהיו <math>v_{1},\dots,v_{n}</math> וקטורים. אם <math>v_{1},\dots,v_{n}</math> בת"ל אזי הוקטורים <math>v_{1},v_{2}+v_{1},\dots,v_{n}+v_{1}</math> גם בת"ל.<br />
<br />
====תרגיל ====<br />
יהא <math>\mathbb{F}^n</math> מ"ו ו <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית. הוכיחו: (<math>A</math> הפיכה) <br />
אמ"מ (לכל <math>v_{1},\dots,v_{m}</math> בת"ל מתקיים כי <math>Av_{1},\dots,Av_{m}</math> בת"ל.)<br />
<br />
====תרגיל ====<br />
תרגיל: יהא <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math> ותהא <math>A\in V</math> הפיכה. הוכיחו/הפריכו: <math>A,A^{2}</math> בת"ל.<br />
<br />
===ושוב, בחזרה למערכות משוואות לינאריות===<br />
====תרגיל - הקשר בין צירוף לינארי לבין פתרון מערכת משוואות לינאריות=====<br />
<br />
יהיו <math> v_1,...,v_n\in \mathbb{F}^m</math> נגדיר <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> להיות המטריצה שעמודותיה הן <math> v_1,...,v_n</math> (כלומר <math>C_i(A)=v_i</math>).<br />
<br />
יהיה <math>b\in \mathbb{F}^m</math> וקטור (פתרון).<br />
<br />
הוכח כי:<br />
1. <math>b\in span\{v_1,...,v_n\}</math> '''אם"ם''' קיים פתרון למערכת <math>Ax=b</math> <br />
<br />
2. במקרה זה הפתרון <math>x</math> הינו וקטור הסקלרים של הצירוף הלינארי שנותן את b. <br />
כלומר, כאשר <math>x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}</math> מתקיים <math>b=x_1v_1+...+x_nv_n</math><br />
<br />
3.נניח והוקטורים שייכים למרחב <math>\mathbb{F}^n</math> (כלומר <math>m=n</math> והמטריצה ריבועית). הוכח שקיים צירוף לינארי יחיד הנותן את <math>b</math> אם"ם המטריצה הינה הפיכה. מה ניתן להסיק על הוקטורים במקרה זה?<br />
<br />
<br />
=====פתרון=====<br />
<br />
1+2. ישירות מכפל עמודה-עמודה נקבל כי <math>Ax=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n</math>. לפיכך, ברור שקיים פתרון למערכת Ax=b אם"ם קיימים סקלרים כך ש <math>b=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n</math>. <br />
<br />
אמנם התרגיל הזה טריוויאלי למדי אך '''חשוב מאד''' לזכור תוצאה זו, היא תשמש אותנו בהמשך רבות. בניסוח קליט: <math>Ax</math> '''הינה צירוף לינארי של עמודות <math>A</math> עם הסקלרים מ-<math>x</math>'''.<br />
<br />
3. אם המטריצה הפיכה אזי <math>x=A^{-1}b</math> הוא הפתרון היחיד. ולהפיך אם קיים צירוף לינארי יחיד הנותן את <math>b</math> אזי אם נדרג את <math>A</math> קנונית נגיע למטריצת היחידה. זה אומר ש <math>A</math> הפיכה.<br />
<br />
במקרה זה שהמטריצה הפיכה נסיק כי גם למערכת <math>Ax=0</math> יש פתרון יחיד שהוא <math>x=0</math>. כלומר צ"ל היחיד של עמודות <math>A</math> שמתאפס הוא הצ"ל הטריוויאלי. כלומר עמודות <math>A</math> בת"ל.<br />
<br />
בנוסף, מכיוון שאנו יודעים שמטריצה הפיכה אם"ם המשולחפת שלה הפיכה, ניתן גם להסיק ש'''מטריצה הינה הפיכה אם"ם שורותיה בת"ל'''.<br />
<br />
==בסיס ומימד==<br />
'''הגדרה:''' יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי (או תת מרחב) מעל <math>\mathbb{F}</math>. קבוצה <math>B\subset V</math> תקרא בסיס אם<br />
# <math>B</math> בת"ל <br />
# <math>B</math> פורשת את המרחב, כלומר <math>span(B)=V</math><br />
<br />
'''הגדרה:''' המימד של <math>V</math> הוא <math>dim_{\mathbb{F}}V=|B|</math> (מספר האיברים ב <math>B</math>) כאשר <math>B</math> הוא בסיס.<br />
אם <math>dim_{\mathbb{F}}V<\infty</math> אזי <math>V</math> יקרא נוצר סופית.<br />
<br />
'''משפט:''' ההגדרה של מימד מוגדרת היטב ואינה תלויה בבחירת הבסיס. כלומר כל שתי בסיסים <math>B,B'</math> בעלי אותה עוצמה (בעלי אותו מספר איברים).<br />
<br />
'''משפט:''' לכל מרחב וקטורי '''קיים''' בסיס<br />
<br />
===דוגמאות ===<br />
בסיסים סטנדרטים:<br />
<br />
1. <br />
<math>V=\mathbb{R}^{3}</math><br />
אזי <br />
<math>B=\{\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
0\\<br />
0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
1\\<br />
0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
0\\<br />
1<br />
\end{array}\right)\}</math><br />
הוא בסיס. (המימד 3)<br />
<br />
בהכללה <br />
הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}^{n}</math> הוא <math>B=\{e_i | 1\leq i \leq n\}</math> ("וקטורי היחידה")<br />
<br />
2. <br />
<math>V=\mathbb{C}^{3\times2}</math><br />
אזי <br />
<math>B=\{\left(\begin{array}{cc}<br />
1 & 0\\<br />
0 & 0\\<br />
0 & 0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}<br />
0 & 0\\<br />
1 & 0\\<br />
0 & 0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}<br />
0 & 0\\<br />
0 & 0\\<br />
1 & 0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}<br />
0 & 1\\<br />
0 & 0\\<br />
0 & 0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}<br />
0 & 0\\<br />
0 & 1\\<br />
0 & 0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}<br />
0 & 0\\<br />
0 & 0\\<br />
0 & 1<br />
\end{array}\right)\}</math><br />
הוא בסיס. (המימד הוא <math>3\cdot 2=6</math>)<br />
<br />
בהכללה: הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}^{m\times n}</math> הוא <math>B=\{E_{i,j} | 1\leq i \leq m, \;1\leq j \leq n\}</math> ("מטריצות היחידה")<br />
<br />
3. <br />
<math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל. בסיס <math>B=\{1,x,x^{2}\}</math> (מימד 2+1)<br />
<br />
בהכללה הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}_{n}[x]</math> הוא <math>B=\{1,x,x^{2},\cdots x^n \}</math><br />
<br />
4.<br />
מרחב הפולינומים <math>\mathbb{F}[x]</math>. הבסיס <math>B=\{1,x,x^{2},x^{3},x^{4}\dots\}</math> הוא בסיס אינסופי.<br />
<br />
5. לפי הגדרה, הבסיס למרחב האפס <math>\{0\}</math> הוא הקבוצה הריקה <math>B=\emptyset </math><br />
<br />
הערה: <math>\{0\}</math> '''אינו''' בסיס כי כל קבוצה המכילה את 0 היא תלויה לינארית<br />
<br />
<br />
=== תכונה חשובה של בסיס ===<br />
<br />
תרגיל: יהא <math>V</math> מרחב וקטורי, <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> בסיס.<br />
<br />
אזי כל <math>v\in V</math> '''ניתן''' להציג כצ"ל של <math>B</math> '''בצורה יחידה'''. <br />
<br />
הוכחה<br />
<br />
יהי <math>v\in V</math> <br />
#כיוון ש <math>B</math> פורשת את <math>V</math> קיים צ"ל של <math>B</math> ששווה ל <math>v</math><br />
# יחידות: נניח שני צ"ל של <math>B</math> שווים ל <math>\sum_{i=1}^n\beta_i v_i=v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i</math> נוכיח כי זהו אותו צ"ל (כלומר המקדמים שווים). אכן אם נעביר אגף נקבל כי <math>\sum_{i=1}^n(\alpha_i-\beta_i)v_i=0</math>. כיוון ש <math>B</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i (\alpha_i-\beta_i) = 0</math> ולכן <math>\forall i\; \alpha_i=\beta_i</math> כנדרש.<br />
<br />
'''הגדרה''' יהא <math>V</math> מרחב וקטורי, <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> בסיס ויהי <math>v\in V</math> . ההצגה של <math>v</math> לפי בסיס <math>B</math> הוא וקטור המקדמים בצ"ל. כלומר <br />
<math>[v]_B=<br />
\left(\begin{array}{c}<br />
\alpha_{1}\\<br />
\alpha_{2}\\<br />
\vdots\\<br />
\alpha_{n}<br />
\end{array}\right)\in\mathbb{F}^{n}<br />
</math><br />
אמ"מ<br />
<math>v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
לפני שנעבור לדוגמאות יותר מסובכות נראה קריטריונים שקולים לבסיס<br />
<br />
=== קריטריונים שקולים לבסיס ===<br />
<br />
<br />
בהגדרה של תלות לינארית ראינו שאפשר לראות תלות לינארית בתור היכולת לזרוק וקטורים מבלי להשפיע על המרחב הנפרש.<br />
<br />
הטענה הנ"ל באופן פורמאלי היא הטענה הבאה:<br />
<br />
טענה: יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. תהא <math>S=\{v_{1},\dots v_{n}\}</math> קבוצה ונניח כי קיים <math>i</math> כך ש <math>v_i</math> תלוי באחרים.<br />
<br />
אזי <math>span(S)=span(S\setminus \{v_i\})</math><br />
<br />
כמובן שלפעולה זו יש סוף - מתישהו לא ניתן לזרוק אף וקטור מבלי לגרוע מהמרחב הנפרש. הקבוצה שנשארנו איתה תהיה בסיס.<br />
<br />
זוהי בניה "מלמעלה ללמטה". כלומר מתחילים עם <math>V</math> ו"זורקים" וקטורים כמה שניתן.<br />
<br />
בניה נוספת היא בניה "מלמטה ללמעלה". מתחילים עם הקבוצה הריקה ''ומוסיפים'' וקטורים כך שהקבוצה המתקבלת היא בת"ל. כמובן שגם לפעולה זאת יש סוף (אחרי מספר צעדים השווה למימד של המרחב) - מתי שלא ניתן להוסיף אף וקטור מבלי לגרוע מ"בת"ליות" הקבוצה, הגענו לבסיס.<br />
<br />
בניה זאת מתבססת על הטענה הבאה:<br />
<br />
טענה: <br />
יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> ותהא <math>S=\{v_{1},\dots v_{n}\}</math> קבוצה בת"ל. <br />
<br />
אם קיים <math>v\in V\setminus span(S)</math> אז <math>S^{'}=\{v_{1},\dots v_{n},v\}</math> בת"ל גם כן.<br />
<br />
הוכחה: נניח <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}+\alpha v=0</math><br />
<br />
<br />
<math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=-\alpha v\Leftarrow</math><br />
<br />
<math>\alpha=0\Leftarrow</math> כי אחרת נקבל ש <math>v\in span(S)</math> ע"י חילוק ב <math>-\alpha</math><br />
<br />
<math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0\Leftarrow</math><br />
<br />
<math>\alpha_{i}=0\Leftarrow</math> כי <math>S</math> בת"ל.<br />
<br />
<br />
לסיכום:<br />
<br />
'''משפט:'''<br />
יהיה <math>B\subset V</math> אזי התנאים הבאים שקולים:<br />
# <math>B</math> בסיס.<br />
# <math>B</math> קבוצה בת"ל מקסימאלית<br />
# <math>B</math> קבוצה פורשת את <math>V</math>- מינימאלית.<br />
<br />
<br />
'''מסקנה חשובה''' ממפרק זה היא <br />
# כל קבוצה <math>B</math> בת"ל ניתן '''להשלים''' לבסיס<br />
# לכל קבוצה פורשת <math>S</math> קיימת '''תת קבוצה''' שהיא בסיס <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(חידה מטופשת: אם ניקח את המימד של צירוף לינארי נקבל מנה טעימה. מהי?)<br />
<br />
=== תרגיל ===<br />
מצא בסיס למרחב הפתרונות של המערכת<br />
<br />
<math><br />
\begin{pmatrix} <br />
1 &-1 &-1 & -1\\<br />
1 &1 &-1 &1\\ <br />
\end{pmatrix}<br />
\cdot<br />
\begin{pmatrix} <br />
x_1\\ <br />
x_2\\<br />
x_3\\<br />
x_4<br />
\end{pmatrix}<br />
= 0<br />
</math><br />
<br />
פתרון: נדרג<br />
<br />
<math><br />
\begin{pmatrix} <br />
1 &-1 &-1 & -1\\<br />
1 &1 &-1 &1<br />
\end{pmatrix}<br />
\to <br />
\begin{pmatrix} <br />
1 &-1 &-1 & -1\\<br />
0 &2 & 0 & 2\\ <br />
\end{pmatrix}<br />
\to \\<br />
\begin{pmatrix} <br />
1 &-1 &-1 & -1\\<br />
0 &1 & 0 & 1\\ <br />
\end{pmatrix}<br />
\to <br />
\begin{pmatrix} <br />
1 &0 &-1 &0\\<br />
0 &1 & 0 & 1\\ <br />
\end{pmatrix}<br />
<br />
</math><br />
<br />
ולכן הפתרונות הן<br />
<br />
<math><br />
\{<br />
\begin{pmatrix} <br />
s \\<br />
-t\\<br />
s\\<br />
t<br />
\end{pmatrix}<br />
<br />
: t,s\in \mathbb{R}<br />
\}<br />
<br />
=span<br />
\{<br />
\begin{pmatrix} <br />
1 \\<br />
0\\<br />
1\\<br />
0<br />
\end{pmatrix},<br />
\begin{pmatrix} <br />
0 \\<br />
-1\\<br />
0\\<br />
1<br />
\end{pmatrix}<br />
<br />
\}<br />
<br />
</math><br />
<br />
אלו נקראים ה'''פתרונות היסודיים''' והם מהווים בסיס למרחב הפתרונות<br />
<br />
=== תרגיל ===<br />
מצא בסיס לתת המרחב <br />
<math>span <br />
\{\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
2\\<br />
1<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
-1\\<br />
-3\\<br />
0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
-1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)\} <br />
</math><br />
של<br />
<math>V=\mathbb{R}^{3}</math><br />
<br />
פתרון:<br />
<br />
כיוון שיש לנו כבר קבוצה פורשת, נותר רק ל"זרוק" את הוקטורים התלויים לינארית. נעשה זאת ע"י ע"י דירוג מטריצה<br />
<br />
<math>\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & -1 & 0\\<br />
2 & -3 & -1\\<br />
1 & 0 & 1<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & -1 & 0\\<br />
0 & -1 & -1\\<br />
0 & 1 & 1<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & -1 & 0\\<br />
0 & 1 & 1\\<br />
0 & 0 & 0<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 1\\<br />
0 & 1 & 1\\<br />
0 & 0 & 0<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
כלומר הוקטור השלישי תלוי לינארית בשניים הראשונים ולכן <br />
<br />
<math>span <br />
\{\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
2\\<br />
1<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
-1\\<br />
-3\\<br />
0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
-1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)\}<br />
=<br />
span <br />
\{\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
2\\<br />
1<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
-1\\<br />
-3\\<br />
0<br />
\end{array}\right)<br />
\}<br />
</math><br />
<br />
וזהו בסיס כי הוקטורים האלה כבר בת"ל<br />
<br />
===משפט השלישי חינם===<br />
יהיה <math>V</math> מ"ו ותהי <math>S\subseteq V</math> תת קבוצה. <br />
אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, השלישי מתקיים בהכרח (בחינם) ומתקיים ש <math>S</math> היא בסיס ל <math>V</math>:<br />
# <math>S</math> בת"ל<br />
#<math>spanS=V</math><br />
#<math>\#S=dimV</math> (מספר האיברים ב<math>S</math> שווה למימד של <math>V</math>.<br />
<br />
==== תרגיל ==== <br />
תרגיל: <math>V=\mathbb{R}^{2\times2}</math> . השלם את<br />
<math>S=\{v_{1}=\left(\begin{array}{cc}<br />
1 & 1\\<br />
0 & 1<br />
\end{array}\right),v_{2}=\left(\begin{array}{cc}<br />
2 & 0\\<br />
1 & 3<br />
\end{array}\right),v_{3}=\left(\begin{array}{cc}<br />
1 & -1\\<br />
1 & 0<br />
\end{array}\right)\}</math><br />
לבסיס<br />
<br />
פתרון:<br />
ראינו כבר כי <br />
<math><br />
span(S)=<br />
<br />
\{\left(\begin{array}{cc}<br />
b+2c & b\\<br />
c & d<br />
\end{array}\right)\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} = <br />
<br />
<br />
span\{\left(\begin{array}{cc}<br />
1 & 1\\<br />
0 & 0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}<br />
2 & 0\\<br />
1 & 0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}<br />
0 & 0\\<br />
0 & 1<br />
\end{array}\right)\}<br />
</math><br />
<br />
מכאן אפשר לראות בקלות כי<br />
# <math>S</math> בת"ל. כי <math>S</math> פורשת את <math>span(S)</math> והמימד שלו 3 כמו גודל <math>S</math>. על פי השלישי חינם <math>S</math> בת"ל.<br />
# <math> v_4= \left(\begin{array}{cc}<br />
1 & 0\\<br />
0 & 0<br />
\end{array}\right) \not\in span(S)</math> ולכן <math>S\cup \{v_4\}</math> בת"ל גם כן (כמו שהוכחנו באחד התרגילים).<br />
<br />
כעת קיבלנו ש <math>B=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}</math> קבוצה בת"ל בת 4 איברים = <math>\dim V</math> על פי השלישי חינם <math>B</math> בסיס<br />
<br />
=== תרגיל חשוב ===<br />
יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיה <math>W\leq V</math> תת מרחב מאותו מימד סופי(נסמן <math>dim_{\mathbb{F}}V=dim_{\mathbb{F}}W=n</math>).<br />
<br />
הוכח: <math>W=V</math><br />
<br />
פתרון: <br />
<br />
נבחר <math>B=\{w_{1},\dots,w_{n}\}</math> בסיס ל <math>W</math>. בפרט מתקיים כי<br />
# <math>span(B)=W</math><br />
# <math>B</math> בת"ל. <br />
<br />
עפי השלישי חינם, כיוון ש <math>B</math> בת"ל + <math>\#B=n=\dim V</math> מתקיים כי <math>span(B)=V</math>. ומכאן ש <math>W=span(B)=V</math><br />
<br />
'''במילים: תת מרחב שמוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הם שווים'''<br />
<br />
<br />
====תרגיל חשוב (חלק מ7.7), הוכחה נוספת====<br />
<br />
נתון ש<math>\dim V=\dim W</math>. נניח בשלילה ש<math>V\neq W</math> ונראה שנקבל סתירה . מכיוון שנתון <math>W\subseteq V</math> העובדה ש<math>V\neq W</math>גוררת בהכרח שקיים וקטור <math>v\in V</math> כך ש <math>v\notin W</math> (זה תרגיל לוגי פשוט). נסמן dimW=dimV=n וניקח בסיס כלשהו לW (אנחנו יודעים שקיים כזה) <math>S=\{v_1,...,v_n\}</math>. <br />
<br />
כעת, נוכיח ש<math>S\cup \{v\}</math> בהכרח בת"ל. נניח בשלילה שהיא כן תלוייה, לכן יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של <math>v_1,v_2,..,v_n,v</math> שמתאפס. נניח והמקדם של v שונה מאפס, לכן קל להראות שהוא צירוף לינארי של האחרים בסתירה לכך ש-v אינו שייך לW (הרי יש סגירות בW לצירופים לינאריים) לכן המקדם של v הינו אפס. כעת נשארנו עם צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס של <math>v_1,...,v_n</math> וזו סתירה לכך שהם בת"ל מתוקף הגדרתם כבסיס.<br />
<br />
על כן, מצאנו קבוצה בת"ל המכילה n+1 וקטורים, בסתירה לכך שהמימד של W הוא n. <br />
<br />
התוצאה של תרגיל זה, כאמור, חשובה מאד. אם W תת מרחב של V והוכחנו שהם מאותו המימד זה מספיק על מנת להגיד שהם שווים. אתם תדרשו בעצם לעשות הוכחות כאלה באמצעות מימדים לא פעם ואף לא פעמיים.<br />
<br />
===תרגיל ===<br />
יהא <math>V= \mathbb{R}_2[x]</math>. מצא בסיס לחיתוך ובסיס לסכום.<br />
<br />
בין <math>W_1 =\{p(x)\in V \; | \; p(1)=0\}</math> <br />
<br />
לבין <math>W_2 =\{p(x)\in V \; | \; p(2)=0\}</math> <br />
<br />
==== פתרון ====<br />
<br />
א. '''בסיס לחיתוך:''' החיתוך הוא פשוט <math>W =\{p(x)\in V \; | \; p(1)=p(2)=0\}</math>.<br />
<br />
מתקיים כי <math>a_0+a_1x+a_2x^2\in W</math> אמ"מ <math>a_0+a_1+a_2=0=a_0+2a_1+4a_2</math>.<br />
<br />
רואים שזהו מערכת משוואות עם משתנה חופשי אחד (המערכת היא 2 משוואות עם 3 נעלמים) ולכן המימד של W הוא 1.<br />
<br />
לפי משפט השלישי חינם מספיק למצוא <math>p(x)\in W</math> ואז הוא יהווה בסיס. הנה דוגמא <math>p(x)=(x-1)(x-2)</math>.<br />
<br />
ב. '''בסיס לסכום:''' ראשית נציג אותם כנפרשים, ע"י מציאת הפתרונות למשוואות בהגדרת תתי-המרחבים: <math>W_1=span\{-1+x^2,-1+x\},W_2=span\{-4+x^2,-2+x\}</math>. לכן נקבל: <math>W_1+A_2=span\{-1+x^2,-1+x,-4+x^2,-2+x\}</math>, ואז נמצא את הבסיס ע"י למצוא מבין אלה וקטורים שהצ"ל נותן 0 אמ"ם הטריוויאלי, ונקבל ששלושת הראשונים עושים זאת. קיבלנו<math>\dim(W_1+W_2)=3=\dim(\mathbb{R}_2[x])</math>, ולכן <math>W_1+W_2=\mathbb{R}_2[x]</math>.<br />
<br />
===תרגיל 7.17===<br />
יהא V מ"ו, ותהא B קבוצה המוכלת בV. הוכח שהתנאים הבאים שקולים:<br />
<br />
(1) <math>B</math> בסיס עבור <math>V</math><br />
<br />
(2) וקטור האפס אינו שייך לB ולכל קבוצה <math>A\subseteq B</math> מתקיים <math>V=spanA\oplus span(B/A)</math><br />
<br />
====הוכחה====<br />
<math>(2) \Leftarrow (1) </math> <br />
<br />
נניח B בסיס לV, ברור מכך שB בת"ל שהוא אינו מכיל את אפס. תהי A קבוצה המוכלת בB נסמן ב.ה.כ <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> ו <math>A=\{v_1,...,v_j\}</math>. יש להוכיח בעצם שמתקיים <math>V=span\{v_1,...,v_j\}\oplus span\{v_{j+1},...,v_n\} </math>. לצורך זה יש להוכיח שני דברים:<br />
*<math>span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\}=\{0\}</math><br />
*<math>V=span\{v_1,...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}</math><br />
<br />
(שימו לב שאם A ריקה, המשפט נובע בקלות ולכן לא נתייחס עוד למקרה קצה זה.)<br />
<br />
<br />
התנאי הראשון: יהא <math>v\in span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\} </math> צ"ל <math>v=0</math>. מהגדרת החיתוך נובע כי קיימים סקלרים כך ש<math>a_1v_1+...+a_jv_j=v=b_{j+1}v_{j+1}+...+b_nv_n</math>. נעביר אגף ונקבל כי <math>a_1v_1+...+a_jv_j-b_{j+1}v_{j+1}-...-b_nv_n=0</math> כיוון ש <math>B</math> בת"ל נובע כי כל המקדמים שווים 0 ובפרט <math>v=0</math> כנדרש.<br />
<br />
התנאי השני: <math>span\{v_1,...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}= span\{v_1,...,v_j,v_{j+1},...,v_n \}=span(B)=V</math><br />
<br />
<br />
<math>(1) \Leftarrow (2) </math> <br />
<br />
מכיוון שזה נכון לכל קבוצה A המוכלת בB, בפרט זה נכון לקבוצה הריקה. לכן יוצא ש <math>V=span\phi\oplus span (B/\phi)=spanB</math> כלומר B פורש את V. נותר להראות שB בת"ל.<br />
<br />
נניח בשלילה שB אינה בת"ל, לכן וקטור אחד ממנה u הוא צירוף לינארי של האחרים. נסמן בA את הנקודון שמכיל את u כלומר <math>A=\{u\}</math> ומכייון שבהכרח <math>u \neq 0</math> נקבל סתירה לתכונת הסכום הישר (חיתוך שכולל רק את ווקטור האפס)</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-112_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%A7%D7%99%D7%A5_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/5&diff=8517688-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/52020-07-21T20:21:57Z<p>גלעד997: /* צירופים לינאריים והמרחב הנפרש (span) */</p>
<hr />
<div>[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]<br />
<br />
==צירופים לינאריים והמרחב הנפרש (span)==<br />
'''הגדרה:''' יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיו <math>v_{1},v_{2}\dots,v_{n}\in V</math> ו <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{F}</math><br />
אזי ביטוי מהצורה <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}</math><br />
נקרא צירוף לינארי (צ"ל) של <math>v_{1},v_{2}\dots,v_{n}\in V</math>.<br />
<br />
לדוגמא: <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>. אזי<br />
<br />
<math>\pi\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
2<br />
\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c}<br />
-1\\<br />
2<br />
\end{array}\right)-\sqrt{3}\left(\begin{array}{c}<br />
2\\<br />
2<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
הוא צירוף לינארי.<br />
<br />
הגדרה: '''המרחב הנפרש''' על ידי הוקטורים <math>v_1,...,v_n</math> מוגדר להיות '''קבוצת (אוסף) כל ה[[צירוף לינארי|צירופים הלינאריים]]''' של הוקטורים הללו. כלומר,<br />
<br />
<math>span\{v_1,...,v_n\}=\{ a_1v_1+...+a_nv_n | a_1,...,a_n\in\mathbb{F}\}=\{v\in V|\exists a_1,...,a_n\in\mathbb{F}:a_1v_1+...+a_nv_n=v\}</math>.<br />
<br />
באופן כללי: תהא <math>S\subseteq V</math> תת קבוצה של מ"ו (ייתכן קבוצה אין סופית) אזי <br />
<br />
<math>span(S)=\{ a_1v_1+...+a_nv_n | n\in \mathbb{N}, \, a_1,...,a_n\in\mathbb{F}, \, v_1,\dots,v_n\in S\}</math><br />
<br />
באופן שקול <math>span(S)</math> הוא איחוד כל הצירופים הלינאריים של כל תתי הקבוצות הסופיות של <math>S</math>.<br />
<br />
הערה:<br />
<math>span(S)</math> הינו תמיד תת-מרחב כפי שקל להוכיח באמצעות הקריטריון המקוצר - צירוף לינארי של צירופים לינאריים הינו צירוף לינארי בעצמו. בנוסף הוא התת מרחבב הקטן ביותר (מינימום לפי יחס ההכלה) המכיל את הקבוצה אותה הוא פורש <br />
<br />
כלומר אם ת"מ <math>W\leq V</math> מקיים <math>S\subseteq W</math> אזי <math>span(S)\subseteq W</math><br />
<br />
הוכחה<br />
אם <math>v\in spanS</math> אזי קיימים וקטורים וסקלרים <math>v_1,...,v_k\in S</math>, <math>a_1,...,a_k\in\mathbb{F}</math> כך שמתקיים <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k</math>. <br />
מתוך הנתון ש<math>S\subseteq W</math> נובע ש<math>v_1,...,v_k\in W</math> ולכן מתוך סגירות לכפל וסקלר וחיבור <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k\in W</math> משל.<br />
<br />
'''הערה:''' אם <math>S=\emptyset</math> קבוצה ריקה אזי מגדירים פורמאלית כי <math>span(S)=\{0\}</math><br />
<br />
===תכונות ===<br />
יהיה <math>V</math> מ"ו. יהיו <math>A,B\subseteq V</math> תתי קבוצות ו <math>W,U\leq V</math> תתי מרחבים. אזי<br />
#<math>U+W=span\{U\cup W\}</math>, וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים.<br />
#<math>A\subseteq span(A)</math><br />
#<math>A\subseteq B</math> אזי <math>span(A)\subseteq span(B)</math><br />
# בתירגול הקודם ראינו כי <math>span\{v_1,\dots v_m\}+span\{v_{m+1},\dots v_{m+k}\}=span\{v_1,\dots v_{m+k}\}</math><br />
## באופן כללי מתקיים כי <math>span(A)+span(B)=span(A\cup B)</math>. הוכחה: מצד אחד <math>A,B\subseteq A\cup B</math> ולכן <math>span(A),span(B)\subseteq span(A\cup B)</math> ולכן <math>span(A)+span(B)\subseteq span(A\cup B)</math>מצד שני <math>A\subseteq span(A)\subseteq span(A)+span(B)</math> ובאופן דומה גם <math>B\subseteq span(A)+span(B)</math> ולכן <math>A\cup B\subseteq span(A)+span(B)</math> ולכן <math>span(A\cup B)\subseteq span(A)+span(B)</math><br />
#<math>span(W)=W</math> (רק אם <math>W</math> ת"מ!) <br />
#מסקנה: אם <math>A\subseteq span(B)</math> אז <math>span(A)\subseteq span(B)</math> (הוכחה: <math>span(A)\subseteq span(span(B))=span(B)</math>)<br />
<br />
===תרגילים===<br />
====תרגיל 1 ====<br />
במרחב הוקטורי <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math> נגדיר<br />
<math>S=\{\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
2\\<br />
3<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
-2\\<br />
2<br />
\end{array}\right)\}</math><br />
<br />
מצא עבור אילו <math>a,b\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <br />
<math>\left(\begin{array}{c}<br />
a\\<br />
b<br />
\end{array}\right)\in span(S)<br />
</math><br />
<br />
=====פתרון =====<br />
<br />
שאלה שקולה: עבור אילו <math>a,b\in\mathbb{F}</math> קיימים סקלארים <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}</math> כך ש <br />
<br />
<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}<br />
2\\<br />
3<br />
\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}<br />
-2\\<br />
2<br />
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}<br />
a\\<br />
b<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
שזה בעצם לשאול האם למערכת <br />
<math>\left(\begin{array}{ccc|c}<br />
1 & 2 & -2 & a\\<br />
1 & 3 & 2 & b<br />
\end{array}\right)<br />
</math><br />
יש פתרון.<br />
<br />
נדרג ונבדוק <br />
<br />
<math>\left(\begin{array}{ccc|c}<br />
1 & 2 & -2 & a\\<br />
1 & 3 & 2 & b<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}<br />
1 & 2 & -2 & a\\<br />
0 & 1 & 4 & b-a<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}<br />
1 & 0 & -10 & 3a-2b\\<br />
0 & 1 & 4 & b-a<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
כלומר יש פתרון למערכת (אפילו אינסוף פתרונות) ולכן לכל <br />
<math>a,b\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <br />
<math>\left(\begin{array}{c}<br />
a\\<br />
b<br />
\end{array}\right)\in span(S)<br />
</math><br />
<br />
כלומר <math>span(S)=\mathbb{R}^{2}</math><br />
<br />
====תרגיל 2 ====<br />
במרחב הוקטורי <math>V=\mathbb{R}^{2\times2}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math> נגדיר <br />
<math>S=\{v_{1}=\left(\begin{array}{cc}<br />
1 & 1\\<br />
0 & 1<br />
\end{array}\right),v_{2}=\left(\begin{array}{cc}<br />
2 & 0\\<br />
1 & 3<br />
\end{array}\right),v_{3}=\left(\begin{array}{cc}<br />
1 & -1\\<br />
1 & 0<br />
\end{array}\right)\}</math><br />
<br />
הציגו את <math>span(S)</math> ע"י משוואות. מצאו, אם קיים, מטריצה שאינה ב <math>span(S)</math>. האם S בת"ל?<br />
=====פתרון =====<br />
שאלה שקולה: עבור אילו <math>a,b,c,d\in\mathbb{F}</math> קיימים סקלארים <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}</math> כך ש <br />
<math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=\left(\begin{array}{cc}<br />
a & b\\<br />
c & d<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
אם נייצג כל מטריצה באמצעות וקטור. למשל <br />
<math>\left(\begin{array}{cc}<br />
2 & 0\\<br />
1 & 3<br />
\end{array}\right)\leftrightarrow\left(\begin{array}{c}<br />
2\\<br />
0\\<br />
1\\<br />
3<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
<br />
נוכל להחליף את המשוואה לעיל במשוואה<br />
<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
1\\<br />
0\\<br />
1<br />
\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}<br />
2\\<br />
0\\<br />
1\\<br />
3<br />
\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
-1\\<br />
1\\<br />
0<br />
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}<br />
a\\<br />
b\\<br />
c\\<br />
d<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
(שימו לב שאלו בדיוק אותם ארבעת המשוואות).<br />
<br />
כעת נוכל פשוט לשאול האם למערכת <br />
<math>\left(\begin{array}{ccc|c}<br />
1 & 2 & 1 & a\\<br />
1 & 0 & -1 & b\\<br />
0 & 1 & 1 & c\\<br />
1 & 3 & 0 & d<br />
\end{array}\right)</math><br />
יש פתרון <br />
<br />
נדרג ונבדוק:<br />
<br />
<math>\left(\begin{array}{ccc|c}<br />
1 & 2 & 1 & a\\<br />
1 & 0 & -1 & b\\<br />
0 & 1 & 1 & c\\<br />
1 & 3 & 0 & d<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}<br />
1 & 0 & -1 & b\\<br />
0 & 1 & 1 & c\\<br />
1 & 3 & 0 & d\\<br />
1 & 2 & 1 & a<br />
\end{array}\right)\to\\\left(\begin{array}{ccc|c}<br />
1 & 0 & -1 & b\\<br />
0 & 1 & 1 & c\\<br />
0 & 3 & 1 & d-b\\<br />
0 & 2 & 2 & a-b<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}<br />
1 & 0 & -1 & b\\<br />
0 & 1 & 1 & c\\<br />
0 & 0 & -2 & d-b-3c\\<br />
0 & 0 & 0 & a-b-2c<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
רואים שיש פתרון אמ"מ <math>a-b-2c=0</math><br />
<br />
לכן התשובה הסופית היא <br />
<br />
<math><br />
span(S)=\{\left(\begin{array}{cc}<br />
a & b\\<br />
c & d<br />
\end{array}\right)\,|\,a-b-2c=0\}=<br />
<br />
\{\left(\begin{array}{cc}<br />
b+2c & b\\<br />
c & d<br />
\end{array}\right)\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} = \\<br />
<br />
<br />
\{<br />
b\left(\begin{array}{cc}<br />
1 & 1\\<br />
0 & 0<br />
\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{cc}<br />
2 & 0\\<br />
1 & 0<br />
\end{array}\right)+d\left(\begin{array}{cc}<br />
0 & 0\\<br />
0 & 1<br />
\end{array}\right)<br />
\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} = <br />
<br />
span\{\left(\begin{array}{cc}<br />
1 & 1\\<br />
0 & 0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}<br />
2 & 0\\<br />
1 & 0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}<br />
0 & 0\\<br />
0 & 1<br />
\end{array}\right)\}<br />
</math><br />
<br />
כמו שרואים בפתרון הסופי, ניתן להביע את התת מרחב שלנו בכמה צורות.<br />
הנה עוד דוגמא<br />
<br />
====== הערה: ניתן להגדיר/להציג תת מרחב בכמה דרכים ======<br />
בסעיף זה נראה מספר הצגות לאותו תת מרחב <br />
נראה שישנן שלוש דרכים שונות להציג את אותו תת המרחב הוקטורי.<br />
<br />
'''תרגיל.'''<br />
<br />
יהי <math>V=\mathbb{R}^4</math>, הוכח ששלוש הקבוצות הבאות שוות:<br />
*<math>span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math><br />
<br />
<br />
*<math>\{(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4 |(z-y-x=0)\and (w-y+x=0)\}</math><br />
<br />
<br />
*<math>\{\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)|t,s\in\mathbb{R}\}</math><br />
<br />
'''פתרון:'''<br />
<br />
נראה שהקבוצה הראשונה שווה לשנייה. וקטור נמצא בspan של קבוצת הוקטורים אם"ם הוא צירוף לינארי שלה. לכן, <math>(x,y,z,w)\in span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math> אם"ם קיימים סקלרים a,b,c כך ש <math>(x,y,z,w)=a(0,1,1,1)+b(2,1,3,-1)+c(1,1,2,0)</math>. לכן, הוקטור הוא צ"ל אם"ם קיים פתרון למערכת המשוואות הלינארית על a,b,c כאלה. בעצם, אנו רוצים לאמר על מערכת משוואות פרמטרית מתי יש לה פתרון. נביט במערכת המשוואות:<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
0 & 2 & 1 & | & x \\<br />
1 & 1 & 1 & | & y \\<br />
1 & 3 & 2 & | & z \\<br />
1 & -1 & 0 & | & w \\<br />
\end{pmatrix}</math><br />
<br />
נדרג את המערכת לקבל<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
1 & 1 & 1 & | & y \\<br />
0 & 2 & 1 & | & x \\<br />
0 & 0 & 0 & | & z-y-x \\<br />
0 & 0 & 0 & | & w-y+x \\<br />
\end{pmatrix}</math><br />
<br />
'''זכרו שלא מעניין אותנו פתרון המערכת''', שכן אלו הסקלרים של הצירוף הלינארי. מה שמעניין אותנו הוא '''האם קיים פתרון למערכת''' ובמקרה זה קיים פתרון אם"ם <math>z-y-x=0</math> וגם <math>w-y+x=0</math> וזו בדיוק הקבוצה השנייה.<br />
<br />
(שימו לב גם למשפט מתרגול שעבר - b נמצא במרחב העמודות של A אם ורק אם למערכת Ax=b יש פתרון. זה בדיוק מה שקיבלנו בתרגיל זה.)<br />
<br />
<br />
כעת נראה את השיוויון בין הקבוצה השנייה לשלישית. המרחב הוא בעצם אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות הלינארית הנתונה. נדרג אותה והפעם '''נחפש את הפתרון הכללי'''.<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
-1 & -1 & 1 & 0 & | & 0 \\<br />
1 & -1 & 0 & 1 & | & 0 \\<br />
\end{pmatrix}</math><br />
<br />
<br />
<math>\begin{pmatrix}<br />
1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & | & 0 \\<br />
0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & 0 \\<br />
\end{pmatrix}</math><br />
<br />
יש שני משתנים תלויים- x,y ושני משתנים חופשיים- z,w. נסמן z=t, w=s ונקבל פתרון כללי מהצורה <math>\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)</math><br />
<br />
==תלות לינארית==<br />
<br />
הגדרות:<br />
<br />
יהא <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיו וקטורים <math>v_1,...,v_n\in V</math> כלשהם אזי<br />
# ה'''צ"ל הטריוואלי''' הוא צירוף לינארי שכל המקדמים שווים 0 (ואז גם הצירוף שלהם שווה 0). כלומר הצירוף לינארי <math>0v_{1}+0v_{2}+\cdots0v_{n}=0</math> .<br />
# נאמר ש <math>v_1,...,v_n\in V</math> '''בילתי תלויים לינארית''' אם אם הצ"ל ה'''יחידי''' שמתאפס הוא הצ"ל הטרוויאלי. באופן שקול אם יש צ"ל שמתאפס אזי הוא הצ"ל הטרוויאלי. ובסימונים: <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0 \Rightarrow \forall i \alpha_i = 0</math><br />
# <math>v_1,...,v_n\in V</math> יקראו '''תלויים לינארית''' אם הם לא בלתי תלויים לינארית. באופן שקול אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> לא כולם אפס כך שמתקיים <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math><br />
<br />
הגדרה (הכלל): קבוצה <math>S\subseteq V</math> נקראת תלוייה לינארית אם קיימת בתוכה קבוצה סופית כלשהי של וקטורים, כך שוקטוריה תלויים לינארית לפי ההגדרה לעיל. [לא נתעסק בקורס זה בקבוצת אינסופיות בת"ל, אבל אתם יותר ממוזמנים לנסות לחשוב על מרחב וקטורי בעל קבוצה אינסופית בת"ל של וקטורים.]<br />
<br />
'''הערה:''' הקבוצה הריקה <math>\emptyset \subseteq V</math> מוגדרת כקבוצה בת"ל.<br />
<br />
'''הערה/משפט''' תכונה שקולה לכך שקבוצת וקטורים היא תלויה לינארית ניתנת לניסוח באמצעות פרישה. קבוצה S היא ת"ל אמ"מ קיים לפחות וקטור אחד אשר הסרתו מהקבוצה לא פוגעת בspan (כלומר span הקבוצה איתו או בלעדיו שווה). <br />
===דוגמאות ===<br />
<br />
====דוגמא 1====<br />
<math>V=\mathbb{R}^{3}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math><br />
<math>\{\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
0\\<br />
0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
1\\<br />
0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
0\\<br />
1<br />
\end{array}\right)\}</math><br />
בת"ל כי<br />
<br />
<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
0\\<br />
0<br />
\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
1\\<br />
0<br />
\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
0\\<br />
1<br />
\end{array}\right)=0</math><br />
<br />
פירושו<br />
<br />
<math>\left(\begin{array}{c}<br />
\alpha_{1}\\<br />
\alpha_{2}\\<br />
\alpha_{3}<br />
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
0\\<br />
0<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
שזה גורר <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}=0</math>.<br />
<br />
====דוגמא 2====<br />
<br />
2. (דוגמא מייצגת) <math>V=\mathbb{R}^{3}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math>. האם הקבוצה <br />
<math>\{\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
2\\<br />
1<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
-1\\<br />
-3\\<br />
0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
-1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)\}<br />
</math><br />
בת"ל?<br />
<br />
נתבונן ב<br />
<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
2\\<br />
1<br />
\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}<br />
-1\\<br />
-3\\<br />
0<br />
\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
-1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)=0</math><br />
ונמיר אותו להצגה מטריצית<br />
<br />
<math>\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & -1 & 0\\<br />
2 & 1 & -1\\<br />
1 & 0 & 1<br />
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}<br />
\alpha_{1}\\<br />
\alpha_{2}\\<br />
\alpha_{3}<br />
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
0\\<br />
0<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
כעת השאלה שקולה האם יש פתרון לא טריאלי למערכת. נדרג ונבדוק <br />
<br />
<math>\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & -1 & 0\\<br />
2 & -3 & -1\\<br />
1 & 0 & 1<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & -1 & 0\\<br />
0 & -1 & -1\\<br />
0 & 1 & 1<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & -1 & 0\\<br />
0 & 1 & 1\\<br />
0 & 0 & 0<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 1\\<br />
0 & 1 & 1\\<br />
0 & 0 & 0<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
לכל הצבה <math>z=t</math> נקבל<br />
<math><br />
\left(\begin{array}{c}<br />
\alpha_{1}\\<br />
\alpha_{2}\\<br />
\alpha_{3}<br />
\end{array}\right)=<br />
<br />
\left(\begin{array}{c}<br />
-t\\<br />
-t\\<br />
t<br />
\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}<br />
-1\\<br />
-1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)<br />
</math><br />
פתרון לא טרוויאלי. כלומר הוקטורים הנ"ל ת"ל.<br />
<br />
אם רוצים לראות את זה מפורש ניקח למשל <math>t=1</math> ונקבל צ"ל לא טריוואלי שמתאפס<br />
<br />
<br />
<math>-1\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
2\\<br />
1<br />
\end{array}\right)-1\left(\begin{array}{c}<br />
-1\\<br />
-3\\<br />
0<br />
\end{array}\right)+1\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
-1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)=0</math><br />
<br />
====דוגמא 3====<br />
יהי <math>0\not=v\in V</math> אזי <math>\{v\}</math> קבוצה בת"ל.<br />
<br />
לחילופין יהי <math>S=\{v_{1}\dots,v_{n}\}</math> כך ש <math>0_{V}\in S</math> אזי <math>S</math> ת"ל (ניקח צ"ל שכל המקדמים שווים אפס פרט למקדם של וקטור האפס שניקח להיות שווה 1).<br />
<br />
====דוגמא 4====<br />
<math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מרחב הפלינומים עד דרגה 2 מעל <math>\mathbb{R}</math> תהא <math>S=\{2+6x,x^{2},1+2x+2x^{2}\}</math>. האם <math>S</math> בת"ל?<br />
<br />
פתרון: צריך לבדוק האם <math>\alpha_{1}(2+6x)+\alpha_{2}x^{2}+\alpha_{3}(1+2x+2x^{2})=0</math> גורר שזה הצ"ל הטריאלי.<br />
<br />
לפי השוואת מקדמים נקבל כי : <math>2\alpha_{1}+\alpha_{3}=0,\,6\alpha_{1}+2\alpha_{3}=0,\,\alpha_{2}+2\alpha_{3}=0</math><br />
<br />
ובצורה מטריצית <br />
<math>\left(\begin{array}{ccc}<br />
2 & 0 & 1\\<br />
6 & 0 & 2\\<br />
0 & 1 & 2<br />
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}<br />
\alpha_{1}\\<br />
\alpha_{2}\\<br />
\alpha_{3}<br />
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
0\\<br />
0<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
נבדוק אם למערכת יש פתרון לא טריאלי.<br />
<br />
<math>\left(\begin{array}{ccc}<br />
2 & 0 & 1 \\<br />
6 & 0 & 2 \\<br />
0 & 1 & 2 <br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
2 & 0 & 1\\<br />
0 & 0 & -1\\<br />
0 & 1 & 2 <br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
2 & 0 & 1 \\<br />
0 & 1 & 2 \\<br />
0 & 0 & -1<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
2 & 0 & 1 \\<br />
0 & 1 & 2 \\<br />
0 & 0 & 1 <br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
2 & 0 & 0 \\<br />
0 & 1 & 0 \\<br />
0 & 0 & 1 <br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 0 \\<br />
0 & 1 & 0 \\<br />
0 & 0 & 1 <br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
כלומר התשובה היא שלמערכת אין פתרון לא טריאלי. כלומר <math>S</math> בת"ל<br />
<br />
====דוגמא 5====<br />
<br />
<br />
'''תרגיל.'''<br />
<br />
האם הפולינומים <math>x^3-x+1,2x^2+x-1,x^3-1</math> תלויים לינארית?<br />
<br />
<br />
'''פתרון:'''<br />
<br />
<math>a(x^3-x+1)+b(2x^2+x-1)+c(x^3-1)=0</math> אם"ם<br />
<br />
<math>(a+c)x^3+2bx^2+(b-a)x+(a-b-c)=0</math> אם"ם<br />
<br />
<math>(a=-c)\and(2b=0)\and(b=a)\and(a=b+c)</math> אם"ם<br />
<br />
<math>a=b=c=0</math><br />
<br />
אם כן, הצירוף הלינארי היחיד שמתאפס הינו הטריוויאלי ולכן הפולינומים בת"ל.<br />
<br />
====דוגמא 6====<br />
הקבוצה <math>\{1,x,x^2,x^3,\dots \}\subseteq \mathbb{F}[x]</math> היא בת"ל<br />
<br />
===משפט===<br />
<math>v_1,...,v_n\in V</math> ת"ל אם"ם אחד מהוקטורים הינו צירוף לינארי של האחרים<br />
<br />
====הוכחה====<br />
הוקטורים ת"ל אם"ם קיימים סקלרים כך ש <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>, ולפחות אחד מבין הסקלרים שונה מאפס. נניח '''ב.ה.כ.''' (בלי הגבלת הכלליות) ש <math>a_1\neq 0</math>. לכן <math>v_1=-\frac{a_2v_2+...+a_nv_n}{a_1}</math> ולכן <math>v_1=\frac{-a_2}{a_1}v_2+...+\frac{-a_n}{a_1}v_n</math>. <br />
<br />
בכיוון הפוך נניח כי (ב.ה.ב) הוקטור הראשון <math>v_1=\sum_{i>1}\alpha_i v_i</math> הוא צ"ל של האחרים. אזי <math>\sum_{i>1}\alpha_i v_i-v_1=0</math>. כלומר קיבלנו צ"ל שמתאפס שיש מקדם אחד לפחות ששונה מאפס (המקדם של <math>v_1</math> הוא <math>-1</math>) על פי הגדרה הוקטורים ת"ל<br />
<br />
<br />
'''שימו לב''' שיצא לנו שהוקטור הראשון תמיד צ"ל של האחרים, כמובן שזה לא נכון. זה נובע רק מטיעון ב.ה.כ שלנו, קל למצוא דוגמאות בהן הוקטור הראשון אינו צ"ל של האחרים.<br />
<br />
<br />
ממשפט זה קל לנו לראות שהצלחנו בהגדרה שלנו לתלות:<br />
<br />
'''מסקנה:''' אם <math>v_1</math> הינו צירוף לינארי של האחרים ניתן להסיר אותו במובן הבא: <math>span\{v_1,...,v_n\}=span\{v_2,...,v_n\}</math>.<br />
<br />
===ושוב, בחזרה למערכות משוואות לינאריות===<br />
====תרגיל - הקשר בין צירוף לינארי לבין פתרון מערכת משוואות לינאריות=====<br />
<br />
יהיו <math> v_1,...,v_n\in \mathbb{F}^m</math> נגדיר <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> להיות המטריצה שעמודותיה הן <math> v_1,...,v_n</math> (כלומר <math>C_i(A)=v_i</math>).<br />
<br />
יהיה <math>b\in \mathbb{F}^m</math> וקטור (פתרון).<br />
<br />
הוכח כי:<br />
1. <math>b\in span\{v_1,...,v_n\}</math> '''אם"ם''' קיים פתרון למערכת <math>Ax=b</math> <br />
<br />
2. במקרה זה הפתרון <math>x</math> הינו וקטור הסקלרים של הצירוף הלינארי שנותן את b. <br />
כלומר, כאשר <math>x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}</math> מתקיים <math>b=x_1v_1+...+x_nv_n</math><br />
<br />
3.נניח והוקטורים שייכים למרחב <math>\mathbb{F}^n</math> (כלומר <math>m=n</math> והמטריצה ריבועית). הוכח שקיים צירוף לינארי יחיד הנותן את <math>b</math> אם"ם המטריצה הינה הפיכה. מה ניתן להסיק על הוקטורים במקרה זה?<br />
<br />
<br />
=====פתרון=====<br />
<br />
1+2. ישירות מכפל עמודה-עמודה נקבל כי <math>Ax=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n</math>. לפיכך, ברור שקיים פתרון למערכת Ax=b אם"ם קיימים סקלרים כך ש <math>b=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n</math>. <br />
<br />
אמנם התרגיל הזה טריוויאלי למדי אך '''חשוב מאד''' לזכור תוצאה זו, היא תשמש אותנו בהמשך רבות. בניסוח קליט: <math>Ax</math> '''הינה צירוף לינארי של עמודות <math>A</math> עם הסקלרים מ-<math>x</math>'''.<br />
<br />
3. אם המטריצה הפיכה אזי <math>x=A^{-1}b</math> הוא הפתרון היחיד. ולהפיך אם קיים צירוף לינארי יחיד הנותן את <math>b</math> אזי אם נדרג את <math>A</math> קנונית נגיע למטריצת היחידה. זה אומר ש <math>A</math> הפיכה.<br />
<br />
במקרה זה שהמטריצה הפיכה נסיק כי גם למערכת <math>Ax=0</math> יש פתרון יחיד שהוא <math>x=0</math>. כלומר צ"ל היחיד של עמודות <math>A</math> שמתאפס הוא הצ"ל הטריוויאלי. כלומר עמודות <math>A</math> בת"ל.<br />
<br />
בנוסף, מכיוון שאנו יודעים שמטריצה הפיכה אם"ם המשולחפת שלה הפיכה, ניתן גם להסיק ש'''מטריצה הינה הפיכה אם"ם שורותיה בת"ל'''.<br />
<br />
==בסיס ומימד==<br />
'''הגדרה:''' יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי (או תת מרחב) מעל <math>\mathbb{F}</math>. קבוצה <math>B\subset V</math> תקרא בסיס אם<br />
# <math>B</math> בת"ל <br />
# <math>B</math> פורשת את המרחב, כלומר <math>span(B)=V</math><br />
<br />
'''הגדרה:''' המימד של <math>V</math> הוא <math>dim_{\mathbb{F}}V=|B|</math> (מספר האיברים ב <math>B</math>) כאשר <math>B</math> הוא בסיס.<br />
אם <math>dim_{\mathbb{F}}V<\infty</math> אזי <math>V</math> יקרא נוצר סופית.<br />
<br />
'''משפט:''' ההגדרה של מימד מוגדרת היטב ואינה תלויה בבחירת הבסיס. כלומר כל שתי בסיסים <math>B,B'</math> בעלי אותה עוצמה (בעלי אותו מספר איברים).<br />
<br />
'''משפט:''' לכל מרחב וקטורי '''קיים''' בסיס<br />
<br />
===דוגמאות ===<br />
בסיסים סטנדרטים:<br />
<br />
1. <br />
<math>V=\mathbb{R}^{3}</math><br />
אזי <br />
<math>B=\{\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
0\\<br />
0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
1\\<br />
0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
0\\<br />
1<br />
\end{array}\right)\}</math><br />
הוא בסיס. (המימד 3)<br />
<br />
בהכללה <br />
הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}^{n}</math> הוא <math>B=\{e_i | 1\leq i \leq n\}</math> ("וקטורי היחידה")<br />
<br />
2. <br />
<math>V=\mathbb{C}^{3\times2}</math><br />
אזי <br />
<math>B=\{\left(\begin{array}{cc}<br />
1 & 0\\<br />
0 & 0\\<br />
0 & 0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}<br />
0 & 0\\<br />
1 & 0\\<br />
0 & 0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}<br />
0 & 0\\<br />
0 & 0\\<br />
1 & 0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}<br />
0 & 1\\<br />
0 & 0\\<br />
0 & 0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}<br />
0 & 0\\<br />
0 & 1\\<br />
0 & 0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}<br />
0 & 0\\<br />
0 & 0\\<br />
0 & 1<br />
\end{array}\right)\}</math><br />
הוא בסיס. (המימד הוא <math>3\cdot 2=6</math>)<br />
<br />
בהכללה: הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}^{m\times n}</math> הוא <math>B=\{E_{i,j} | 1\leq i \leq m, \;1\leq j \leq n\}</math> ("מטריצות היחידה")<br />
<br />
3. <br />
<math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל. בסיס <math>B=\{1,x,x^{2}\}</math> (מימד 2+1)<br />
<br />
בהכללה הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}_{n}[x]</math> הוא <math>B=\{1,x,x^{2},\cdots x^n \}</math><br />
<br />
4.<br />
מרחב הפולינומים <math>\mathbb{F}[x]</math>. הבסיס <math>B=\{1,x,x^{2},x^{3},x^{4}\dots\}</math> הוא בסיס אינסופי.<br />
<br />
5. לפי הגדרה, הבסיס למרחב האפס <math>\{0\}</math> הוא הקבוצה הריקה <math>B=\emptyset </math><br />
<br />
הערה: <math>\{0\}</math> '''אינו''' בסיס כי כל קבוצה המכילה את 0 היא תלויה לינארית<br />
<br />
<br />
=== תכונה חשובה של בסיס ===<br />
<br />
תרגיל: יהא <math>V</math> מרחב וקטורי, <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> בסיס.<br />
<br />
אזי כל <math>v\in V</math> '''ניתן''' להציג כצ"ל של <math>B</math> '''בצורה יחידה'''. <br />
<br />
הוכחה<br />
<br />
יהי <math>v\in V</math> <br />
#כיוון ש <math>B</math> פורשת את <math>V</math> קיים צ"ל של <math>B</math> ששווה ל <math>v</math><br />
# יחידות: נניח שני צ"ל של <math>B</math> שווים ל <math>\sum_{i=1}^n\beta_i v_i=v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i</math> נוכיח כי זהו אותו צ"ל (כלומר המקדמים שווים). אכן אם נעביר אגף נקבל כי <math>\sum_{i=1}^n(\alpha_i-\beta_i)v_i=0</math>. כיוון ש <math>B</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i (\alpha_i-\beta_i) = 0</math> ולכן <math>\forall i\; \alpha_i=\beta_i</math> כנדרש.<br />
<br />
'''הגדרה''' יהא <math>V</math> מרחב וקטורי, <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> בסיס ויהי <math>v\in V</math> . ההצגה של <math>v</math> לפי בסיס <math>B</math> הוא וקטור המקדמים בצ"ל. כלומר <br />
<math>[v]_B=<br />
\left(\begin{array}{c}<br />
\alpha_{1}\\<br />
\alpha_{2}\\<br />
\vdots\\<br />
\alpha_{n}<br />
\end{array}\right)\in\mathbb{F}^{n}<br />
</math><br />
אמ"מ<br />
<math>v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
לפני שנעבור לדוגמאות יותר מסובכות נראה קריטריונים שקולים לבסיס<br />
<br />
=== קריטריונים שקולים לבסיס ===<br />
<br />
<br />
בהגדרה של תלות לינארית ראינו שאפשר לראות תלות לינארית בתור היכולת לזרוק וקטורים מבלי להשפיע על המרחב הנפרש.<br />
<br />
הטענה הנ"ל באופן פורמאלי היא הטענה הבאה:<br />
<br />
טענה: יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. תהא <math>S=\{v_{1},\dots v_{n}\}</math> קבוצה ונניח כי קיים <math>i</math> כך ש <math>v_i</math> תלוי באחרים.<br />
<br />
אזי <math>span(S)=span(S\setminus \{v_i\})</math><br />
<br />
כמובן שלפעולה זו יש סוף - מתישהו לא ניתן לזרוק אף וקטור מבלי לגרוע מהמרחב הנפרש. הקבוצה שנשארנו איתה תהיה בסיס.<br />
<br />
זוהי בניה "מלמעלה ללמטה". כלומר מתחילים עם <math>V</math> ו"זורקים" וקטורים כמה שניתן.<br />
<br />
בניה נוספת היא בניה "מלמטה ללמעלה". מתחילים עם הקבוצה הריקה ''ומוסיפים'' וקטורים כך שהקבוצה המתקבלת היא בת"ל. כמובן שגם לפעולה זאת יש סוף (אחרי מספר צעדים השווה למימד של המרחב) - מתי שלא ניתן להוסיף אף וקטור מבלי לגרוע מ"בת"ליות" הקבוצה, הגענו לבסיס.<br />
<br />
בניה זאת מתבססת על הטענה הבאה:<br />
<br />
טענה: <br />
יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> ותהא <math>S=\{v_{1},\dots v_{n}\}</math> קבוצה בת"ל. <br />
<br />
אם קיים <math>v\in V\setminus span(S)</math> אז <math>S^{'}=\{v_{1},\dots v_{n},v\}</math> בת"ל גם כן.<br />
<br />
הוכחה: נניח <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}+\alpha v=0</math><br />
<br />
<br />
<math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=-\alpha v\Leftarrow</math><br />
<br />
<math>\alpha=0\Leftarrow</math> כי אחרת נקבל ש <math>v\in span(S)</math> ע"י חילוק ב <math>-\alpha</math><br />
<br />
<math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0\Leftarrow</math><br />
<br />
<math>\alpha_{i}=0\Leftarrow</math> כי <math>S</math> בת"ל.<br />
<br />
<br />
לסיכום:<br />
<br />
'''משפט:'''<br />
יהיה <math>B\subset V</math> אזי התנאים הבאים שקולים:<br />
# <math>B</math> בסיס.<br />
# <math>B</math> קבוצה בת"ל מקסימאלית<br />
# <math>B</math> קבוצה פורשת את <math>V</math>- מינימאלית.<br />
<br />
<br />
'''מסקנה חשובה''' ממפרק זה היא <br />
# כל קבוצה <math>B</math> בת"ל ניתן '''להשלים''' לבסיס<br />
# לכל קבוצה פורשת <math>S</math> קיימת '''תת קבוצה''' שהיא בסיס <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(חידה מטופשת: אם ניקח את המימד של צירוף לינארי נקבל מנה טעימה. מהי?)<br />
<br />
=== תרגיל ===<br />
מצא בסיס למרחב הפתרונות של המערכת<br />
<br />
<math><br />
\begin{pmatrix} <br />
1 &-1 &-1 & -1\\<br />
1 &1 &-1 &1\\ <br />
\end{pmatrix}<br />
\cdot<br />
\begin{pmatrix} <br />
x_1\\ <br />
x_2\\<br />
x_3\\<br />
x_4<br />
\end{pmatrix}<br />
= 0<br />
</math><br />
<br />
פתרון: נדרג<br />
<br />
<math><br />
\begin{pmatrix} <br />
1 &-1 &-1 & -1\\<br />
1 &1 &-1 &1<br />
\end{pmatrix}<br />
\to <br />
\begin{pmatrix} <br />
1 &-1 &-1 & -1\\<br />
0 &2 & 0 & 2\\ <br />
\end{pmatrix}<br />
\to \\<br />
\begin{pmatrix} <br />
1 &-1 &-1 & -1\\<br />
0 &1 & 0 & 1\\ <br />
\end{pmatrix}<br />
\to <br />
\begin{pmatrix} <br />
1 &0 &-1 &0\\<br />
0 &1 & 0 & 1\\ <br />
\end{pmatrix}<br />
<br />
</math><br />
<br />
ולכן הפתרונות הן<br />
<br />
<math><br />
\{<br />
\begin{pmatrix} <br />
s \\<br />
-t\\<br />
s\\<br />
t<br />
\end{pmatrix}<br />
<br />
: t,s\in \mathbb{R}<br />
\}<br />
<br />
=span<br />
\{<br />
\begin{pmatrix} <br />
1 \\<br />
0\\<br />
1\\<br />
0<br />
\end{pmatrix},<br />
\begin{pmatrix} <br />
0 \\<br />
-1\\<br />
0\\<br />
1<br />
\end{pmatrix}<br />
<br />
\}<br />
<br />
</math><br />
<br />
אלו נקראים ה'''פתרונות היסודיים''' והם מהווים בסיס למרחב הפתרונות<br />
<br />
=== תרגיל ===<br />
מצא בסיס לתת המרחב <br />
<math>span <br />
\{\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
2\\<br />
1<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
-1\\<br />
-3\\<br />
0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
-1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)\} <br />
</math><br />
של<br />
<math>V=\mathbb{R}^{3}</math><br />
<br />
פתרון:<br />
<br />
כיוון שיש לנו כבר קבוצה פורשת, נותר רק ל"זרוק" את הוקטורים התלויים לינארית. נעשה זאת ע"י ע"י דירוג מטריצה<br />
<br />
<math>\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & -1 & 0\\<br />
2 & -3 & -1\\<br />
1 & 0 & 1<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & -1 & 0\\<br />
0 & -1 & -1\\<br />
0 & 1 & 1<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & -1 & 0\\<br />
0 & 1 & 1\\<br />
0 & 0 & 0<br />
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}<br />
1 & 0 & 1\\<br />
0 & 1 & 1\\<br />
0 & 0 & 0<br />
\end{array}\right)</math><br />
<br />
כלומר הוקטור השלישי תלוי לינארית בשניים הראשונים ולכן <br />
<br />
<math>span <br />
\{\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
2\\<br />
1<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
-1\\<br />
-3\\<br />
0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
-1\\<br />
1<br />
\end{array}\right)\}<br />
=<br />
span <br />
\{\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
2\\<br />
1<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}<br />
-1\\<br />
-3\\<br />
0<br />
\end{array}\right)<br />
\}<br />
</math><br />
<br />
וזהו בסיס כי הוקטורים האלה כבר בת"ל<br />
<br />
===משפט השלישי חינם===<br />
יהיה <math>V</math> מ"ו ותהי <math>S\subseteq V</math> תת קבוצה. <br />
אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, השלישי מתקיים בהכרח (בחינם) ומתקיים ש <math>S</math> היא בסיס ל <math>V</math>:<br />
# <math>S</math> בת"ל<br />
#<math>spanS=V</math><br />
#<math>\#S=dimV</math> (מספר האיברים ב<math>S</math> שווה למימד של <math>V</math>.<br />
<br />
==== תרגיל ==== <br />
תרגיל: <math>V=\mathbb{R}^{2\times2}</math> . השלם את<br />
<math>S=\{v_{1}=\left(\begin{array}{cc}<br />
1 & 1\\<br />
0 & 1<br />
\end{array}\right),v_{2}=\left(\begin{array}{cc}<br />
2 & 0\\<br />
1 & 3<br />
\end{array}\right),v_{3}=\left(\begin{array}{cc}<br />
1 & -1\\<br />
1 & 0<br />
\end{array}\right)\}</math><br />
לבסיס<br />
<br />
פתרון:<br />
ראינו כבר כי <br />
<math><br />
span(S)=<br />
<br />
\{\left(\begin{array}{cc}<br />
b+2c & b\\<br />
c & d<br />
\end{array}\right)\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} = <br />
<br />
<br />
span\{\left(\begin{array}{cc}<br />
1 & 1\\<br />
0 & 0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}<br />
2 & 0\\<br />
1 & 0<br />
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}<br />
0 & 0\\<br />
0 & 1<br />
\end{array}\right)\}<br />
</math><br />
<br />
מכאן אפשר לראות בקלות כי<br />
# <math>S</math> בת"ל. כי <math>S</math> פורשת את <math>span(S)</math> והמימד שלו 3 כמו גודל <math>S</math>. על פי השלישי חינם <math>S</math> בת"ל.<br />
# <math> v_4= \left(\begin{array}{cc}<br />
1 & 0\\<br />
0 & 0<br />
\end{array}\right) \not\in span(S)</math> ולכן <math>S\cup \{v_4\}</math> בת"ל גם כן (כמו שהוכחנו באחד התרגילים).<br />
<br />
כעת קיבלנו ש <math>B=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}</math> קבוצה בת"ל בת 4 איברים = <math>\dim V</math> על פי השלישי חינם <math>B</math> בסיס<br />
<br />
=== תרגיל חשוב ===<br />
יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיה <math>W\leq V</math> תת מרחב מאותו מימד סופי(נסמן <math>dim_{\mathbb{F}}V=dim_{\mathbb{F}}W=n</math>).<br />
<br />
הוכח: <math>W=V</math><br />
<br />
פתרון: <br />
<br />
נבחר <math>B=\{w_{1},\dots,w_{n}\}</math> בסיס ל <math>W</math>. בפרט מתקיים כי<br />
# <math>span(B)=W</math><br />
# <math>B</math> בת"ל. <br />
<br />
עפי השלישי חינם, כיוון ש <math>B</math> בת"ל + <math>\#B=n=\dim V</math> מתקיים כי <math>span(B)=V</math>. ומכאן ש <math>W=span(B)=V</math><br />
<br />
'''במילים: תת מרחב שמוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הם שווים'''<br />
<br />
<br />
====תרגיל חשוב (חלק מ7.7), הוכחה נוספת====<br />
<br />
נתון ש<math>\dim V=\dim W</math>. נניח בשלילה ש<math>V\neq W</math> ונראה שנקבל סתירה . מכיוון שנתון <math>W\subseteq V</math> העובדה ש<math>V\neq W</math>גוררת בהכרח שקיים וקטור <math>v\in V</math> כך ש <math>v\notin W</math> (זה תרגיל לוגי פשוט). נסמן dimW=dimV=n וניקח בסיס כלשהו לW (אנחנו יודעים שקיים כזה) <math>S=\{v_1,...,v_n\}</math>. <br />
<br />
כעת, נוכיח ש<math>S\cup \{v\}</math> בהכרח בת"ל. נניח בשלילה שהיא כן תלוייה, לכן יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של <math>v_1,v_2,..,v_n,v</math> שמתאפס. נניח והמקדם של v שונה מאפס, לכן קל להראות שהוא צירוף לינארי של האחרים בסתירה לכך ש-v אינו שייך לW (הרי יש סגירות בW לצירופים לינאריים) לכן המקדם של v הינו אפס. כעת נשארנו עם צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס של <math>v_1,...,v_n</math> וזו סתירה לכך שהם בת"ל מתוקף הגדרתם כבסיס.<br />
<br />
על כן, מצאנו קבוצה בת"ל המכילה n+1 וקטורים, בסתירה לכך שהמימד של W הוא n. <br />
<br />
התוצאה של תרגיל זה, כאמור, חשובה מאד. אם W תת מרחב של V והוכחנו שהם מאותו המימד זה מספיק על מנת להגיד שהם שווים. אתם תדרשו בעצם לעשות הוכחות כאלה באמצעות מימדים לא פעם ואף לא פעמיים.<br />
<br />
===תרגיל ===<br />
יהא <math>V= \mathbb{R}_2[x]</math>. מצא בסיס לחיתוך ובסיס לסכום.<br />
<br />
בין <math>W_1 =\{p(x)\in V \; | \; p(1)=0\}</math> <br />
<br />
לבין <math>W_2 =\{p(x)\in V \; | \; p(2)=0\}</math> <br />
<br />
==== פתרון ====<br />
<br />
א. '''בסיס לחיתוך:''' החיתוך הוא פשוט <math>W =\{p(x)\in V \; | \; p(1)=p(2)=0\}</math>.<br />
<br />
מתקיים כי <math>a_0+a_1x+a_2x^2\in W</math> אמ"מ <math>a_0+a_1+a_2=0=a_0+2a_1+4a_2</math>.<br />
<br />
רואים שזהו מערכת משוואות עם משתנה חופשי אחד (המערכת היא 2 משוואות עם 3 נעלמים) ולכן המימד של W הוא 1.<br />
<br />
לפי משפט השלישי חינם מספיק למצוא <math>p(x)\in W</math> ואז הוא יהווה בסיס. הנה דוגמא <math>p(x)=(x-1)(x-2)</math>.<br />
<br />
ב. '''בסיס לסכום:''' ראשית נציג אותם כנפרשים, ע"י מציאת הפתרונות למשוואות בהגדרת תתי-המרחבים: <math>W_1=span\{-1+x^2,-1+x\},W_2=span\{-4+x^2,-2+x\}</math>. לכן נקבל: <math>W_1+A_2=span\{-1+x^2,-1+x,-4+x^2,-2+x\}</math>, ואז נמצא את הבסיס ע"י למצוא מבין אלה וקטורים שהצ"ל נותן 0 אמ"ם הטריוויאלי, ונקבל ששלושת הראשונים עושים זאת. קיבלנו<math>\dim(W_1+W_2)=3=\dim(\mathbb{R}_2[x])</math>, ולכן <math>W_1+W_2=\mathbb{R}_2[x]</math>.<br />
<br />
===תרגיל 7.17===<br />
יהא V מ"ו, ותהא B קבוצה המוכלת בV. הוכח שהתנאים הבאים שקולים:<br />
<br />
(1) <math>B</math> בסיס עבור <math>V</math><br />
<br />
(2) וקטור האפס אינו שייך לB ולכל קבוצה <math>A\subseteq B</math> מתקיים <math>V=spanA\oplus span(B/A)</math><br />
<br />
====הוכחה====<br />
<math>(2) \Leftarrow (1) </math> <br />
<br />
נניח B בסיס לV, ברור מכך שB בת"ל שהוא אינו מכיל את אפס. תהי A קבוצה המוכלת בB נסמן ב.ה.כ <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> ו <math>A=\{v_1,...,v_j\}</math>. יש להוכיח בעצם שמתקיים <math>V=span\{v_1,...,v_j\}\oplus span\{v_{j+1},...,v_n\} </math>. לצורך זה יש להוכיח שני דברים:<br />
*<math>span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\}=\{0\}</math><br />
*<math>V=span\{v_1,...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}</math><br />
<br />
(שימו לב שאם A ריקה, המשפט נובע בקלות ולכן לא נתייחס עוד למקרה קצה זה.)<br />
<br />
<br />
התנאי הראשון: יהא <math>v\in span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\} </math> צ"ל <math>v=0</math>. מהגדרת החיתוך נובע כי קיימים סקלרים כך ש<math>a_1v_1+...+a_jv_j=v=b_{j+1}v_{j+1}+...+b_nv_n</math>. נעביר אגף ונקבל כי <math>a_1v_1+...+a_jv_j-b_{j+1}v_{j+1}-...-b_nv_n=0</math> כיוון ש <math>B</math> בת"ל נובע כי כל המקדמים שווים 0 ובפרט <math>v=0</math> כנדרש.<br />
<br />
התנאי השני: <math>span\{v_1,...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}= span\{v_1,...,v_j,v_{j+1},...,v_n \}=span(B)=V</math><br />
<br />
<br />
<math>(1) \Leftarrow (2) </math> <br />
<br />
מכיוון שזה נכון לכל קבוצה A המוכלת בB, בפרט זה נכון לקבוצה הריקה. לכן יוצא ש <math>V=span\phi\oplus span (B/\phi)=spanB</math> כלומר B פורש את V. נותר להראות שB בת"ל.<br />
<br />
נניח בשלילה שB אינה בת"ל, לכן וקטור אחד ממנה u הוא צירוף לינארי של האחרים. נסמן בA את הנקודון שמכיל את u כלומר <math>A=\{u\}</math> ומכייון שבהכרח <math>u \neq 0</math> נקבל סתירה לתכונת הסכום הישר (חיתוך שכולל רק את ווקטור האפס)</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-112_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%A7%D7%99%D7%A5_%D7%AA%D7%A9%D7%A3&diff=8490188-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף2020-07-08T12:30:53Z<p>גלעד997: /* קישורים */</p>
<hr />
<div>[[88-112 אלגברה לינארית 1]]<br />
<br />
==קישורים==<br />
<br />
*[[אלגברה לינארית - ארז שיינר|סרטוני ותקציר ההרצאות והתרגולים]]<br />
<br />
*[http://xi.math-wiki.com מערכת הגשת התרגילים XI]<br />
<br />
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/ארז שיינר|סרטוני ההרצאות בפועל של ארז שיינר]]<br />
<br />
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/אושרית שטוסל|מצגות וסרטוני התרגול של אושרית שטוסל]]<br />
<br />
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/בארי גרינפלד|רשימות ההרצאה - בארי]]<br />
<br />
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/יפעת חדד|סיכומי וסרטוני התרגול של יפעת חדד]]<br />
<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4mOL49NcqDqAfJFDm4E0jrQ סרטוני התרגולים של גלעד פורת קורן]<br />
<br />
==הודעות==</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-112_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%A7%D7%99%D7%A5_%D7%AA%D7%A9%D7%A3&diff=8490088-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף2020-07-08T12:24:39Z<p>גלעד997: /* קישורים */</p>
<hr />
<div>[[88-112 אלגברה לינארית 1]]<br />
<br />
==קישורים==<br />
<br />
*[[אלגברה לינארית - ארז שיינר|סרטוני ותקציר ההרצאות והתרגולים]]<br />
<br />
*[http://xi.math-wiki.com מערכת הגשת התרגילים XI]<br />
<br />
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/ארז שיינר|סרטוני ההרצאות בפועל של ארז שיינר]]<br />
<br />
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/אושרית שטוסל|מצגות וסרטוני התרגול של אושרית שטוסל]]<br />
<br />
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/בארי גרינפלד|רשימות ההרצאה - בארי]]<br />
<br />
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/יפעת חדד|סיכומי וסרטוני התרגול של יפעת חדד]]<br />
<br />
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4mOL49NcqDqAfJFDm4E0jrQ סרטוני התרגולים של גלעד פורת קורן]]<br />
<br />
==הודעות==</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-195_%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%A7%D7%99%D7%A5_%D7%AA%D7%A9%D7%A3&diff=8489988-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף2020-07-08T12:20:18Z<p>גלעד997: /* קישורים */</p>
<hr />
<div>[[88-195 מתמטיקה בדידה]]<br />
<br />
==קישורים==<br />
*[[מתמטיקה בדידה - ארז שיינר|סרטוני ותקצירי ההרצאות והתרגולים]]<br />
<br />
* [http://xi.math-wiki.com מערכת הגשת התרגילים XI]<br />
<br />
*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/ארז שיינר|הרצאות בפועל של ארז שיינר]]<br />
<br />
*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/אושרית שטוסל|מצגות וסרטוני התרגולים של אושרית שטוסל]]<br />
<br />
*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/בארי גרינפלד|רשימות ההרצאה - בארי]]<br />
<br />
*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/יפעת חדד|סיכומי וסרטוני התרגול של יפעת חדד]]<br />
<br />
* [https://www.youtube.com/playlist?list=PLKtmT6p9xoPrIsWy4Y1iQbGp6SlfGBkyY סרטוני התרגול של עוזי חרוש]<br />
<br />
* [https://www.youtube.com/playlist?list=PLC4RkI8_9H4m6qlCSozXuQi4b22tzrEz9 סרטוני התרגולים של גלעד פורת קורן]<br />
<br />
==הודעות==</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-112_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%A7%D7%99%D7%A5_%D7%AA%D7%A9%D7%A3&diff=8489888-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף2020-07-08T12:16:07Z<p>גלעד997: /* קישורים */</p>
<hr />
<div>[[88-112 אלגברה לינארית 1]]<br />
<br />
==קישורים==<br />
<br />
*[[אלגברה לינארית - ארז שיינר|סרטוני ותקציר ההרצאות והתרגולים]]<br />
<br />
*[http://xi.math-wiki.com מערכת הגשת התרגילים XI]<br />
<br />
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/ארז שיינר|סרטוני ההרצאות בפועל של ארז שיינר]]<br />
<br />
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/אושרית שטוסל|מצגות וסרטוני התרגול של אושרית שטוסל]]<br />
<br />
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/בארי גרינפלד|רשימות ההרצאה - בארי]]<br />
<br />
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/יפעת חדד|סיכומי וסרטוני התרגול של יפעת חדד]]<br />
<br />
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/גלעד פורת קורן|סרטוני התרגולים של גלעד פורת קורן]]<br />
<br />
==הודעות==</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:88211exam_2020A.pdf&diff=83713קובץ:88211exam 2020A.pdf2020-03-03T22:50:46Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div></div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=88-211_%D7%AA%D7%A9%D7%A3_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90&diff=8371288-211 תשף סמסטר א2020-03-03T22:50:16Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div>'''[[88-211 מבוא לתורת החבורות]]'''<br />
<br />
מרצה: ד"ר יונתן בק<br />
<br />
מתרגל: גלעד פורת קורן<br />
<br />
שעות קבלה: בסוף התרגול או בתיאום מראש במייל - giladpk@gmail.com<br />
<br />
==קישורים== <br />
* [[88-211 אלגברה מופשטת 1#ספרות מומלצת|ספרות מומלצת]]<br />
* [[88-211 תשעז סמסטר א/מערכי תרגול|מערכי תרגול מתשע"ז]]<br />
* [[88-211 מבחנים|מבחנים משנים קודמות]]<br />
* [[מבוא לתורת החבורות - סיכומי ההרצאות מאת יהונתן רגב ונועם יערי|סיכומי ההרצאות מאת יהונתן רגב ונועם יערי]]<br />
<br />
מערכי תרגול מקורסים דומים:<br />
<br />
* [[מדיה:88218rec_2020A.pdf|חוברת מערכי תרגול בקורס תורת החבורות]]<br />
* [[מדיה:89214rec2020A.pdf|חוברת מערכי תרגול בקורס מבנים אלגבריים]]<br />
<br />
==הודעות==<br />
<br />
הציון הסופי יורכב מ-85% מבחן, 10% בוחן ו-5% תרגילי בית.<br />
<br />
==המבחן==<br />
[[מדיה: 88211exam_2020A.pdf | מועד א' תש"ף]]<br />
<br />
==בוחן==<br />
<br />
רשימת הנושאים לבוחן: אגודות, מונואידים, חבורות ותתי-חבורות, סדרים, ציקליות ואבליות, החבורה הסימטרית - Sn (תמורות), סימן וחבורת החילופין - An, מכפלה ישרה (חיצונית), <br />
הומומורפיזמים למיניהם, קוסטים, אינדקס ומשפט לגרנז', ת"ח נורמליות, חבורות מנה ומשפטי האיזומורפיזם (וההתאמה), ת"ח הנוצרת ע"י קבוצה וקומוטטורים.<br />
<br />
[[מדיה: 88211quiz_final_2020A.pdf | הבוחן]]<br />
[[מדיה: 88211quiz_final_2020A-sol.pdf | ופתרונו]]<br />
<br />
[[מדיה: 88211quiz_grades_2020A.pdf | ציונים]]<br />
<br />
==תרגילים==<br />
<br />
* [[מדיה: 88211exe1_2020A.pdf | תרגיל 1]] להגשה עד ה-10.11.19<br />
* [[מדיה: 88211exe2_2020A.pdf | תרגיל 2]] להגשה עד ה-17.11.19<br />
* [[מדיה: 88211exe2-sol_2020A.pdf | פתרון תרגיל 2]] <br />
* [[מדיה: 88211exe3_2020A.pdf | תרגיל 3]] להגשה עד ה-24.11.19 (תיקון: בשאלה 7א צריך להיות im f במקום id f)<br />
* [[מדיה: 88211exe3-sol_2020A.pdf | פתרון תרגיל 3]] <br />
* [[מדיה: 88211exe4_2020A.pdf | תרגיל 4]] להגשה עד ה-1.12.19<br />
* [[מדיה: 88211exe4_2020A-sol.pdf | פתרון תרגיל 4]] <br />
* [[מדיה: 88211exe5_2020A.pdf | תרגיל 5]] להגשה עד ה-8.12.19<br />
* [[מדיה: 88211exe5sol_2020A.pdf | פתרון תרגיל 5]] <br />
* [[מדיה: 88211exe6_2020A.pdf | תרגיל 6]] להגשה עד ה-5.1.19. רמז לשאלה 7 סעיף א': קחו איבר ב-G/H והסתכלו על הת"ח הנוצרת על ידו.<br />
* [[מדיה: 88211exe6sol_2020A.pdf | פתרון תרגיל 6]] <br />
* [[מדיה: 88211exe7_new_2020A.pdf | תרגיל 7]] להגשה עד ה-5.1.19. תיקון: בשאלה 2, H פשוטה.<br />
* [[מדיה: 88211exe7sol_2020A.pdf | פתרון תרגיל 7]] <br />
* [[מדיה: 88211exe8_new_2020A.pdf | תרגיל 8]] להגשה עד ה-14.1.19. תיקון: בשאלה 4 סעיף א', לכל n ששונה מ-4. רמז: An הן תתי החבורות הנורמליות (הלא טריוויאליות) היחידות של Sn (חוץ מכש-n=4).<br />
* [[מדיה: 88211exe8_2020A-sol.pdf | פתרון תרגיל 8]]<br />
* [[מדיה: 88211exe9_new_2020A.pdf | תרגיל 9]] להגשה עד ה-21.1.19. תיקון: בשאלה 1 סעיף ג', צ"ל שהפעולה כן נאמנה.<br />
* [[מדיה: 88211exe9sol_2020A.pdf | פתרון תרגיל 9]] <br />
* [[מדיה: 88211exe10_new_2020A.pdf | תרגיל 10]] להגשה עד ה-28.1.19<br />
* [[מדיה: 88211exe10_2020A-sol.pdf | פתרון תרגיל 10]]<br />
<br />
==לא מדויק==<br />
אם אינכם מכירים את הבלוג הנפלא של גדי אלכסנדרוביץ', הגיע הזמן. <br />
<br />
[http://www.gadial.net/2017/02/01/group_definition/ מבוא: מה זו חבורה?]<br />
<br />
[http://www.gadial.net/2017/02/07/subgroups_and_cyclic_groups/ תתי-חבורות וחבורות ציקליות]<br />
<br />
[http://www.gadial.net/2017/02/08/cosets_and_quotient_groups/ קוסטים, חבורות מנה, כיף גדול, משפט לגראנז']<br />
<br />
[http://www.gadial.net/2017/02/26/group_homomorphisms/ הומומורפיזמים]<br />
<br />
[http://www.gadial.net/2017/03/06/group_isomorphism_theorems/ איזומורפיזמים]<br />
<br />
[https://gadial.net/2017/03/14/permutation_groups/ חבורת התמורות]<br />
<br />
[https://gadial.net/2017/06/02/group_actions/ פעולה של חבורה על קבוצה]<br />
<br />
[https://gadial.net/2017/06/10/sylow_theorems/ משפטי סילו]<br />
<br />
[https://gadial.net/2017/07/21/semidirect_products/ מכפלות חצי ישרות]</div>גלעד997https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:88211exe10_2020A-sol.pdf&diff=83575קובץ:88211exe10 2020A-sol.pdf2020-02-04T08:41:54Z<p>גלעד997: </p>
<hr />
<div></div>גלעד997