Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7

2017-03-14T08:15:22Z

1239482242: /* יישום: השלמה לבסיס */

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]

==מרחבי המטריצות==
תהי מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>. מגדירים 4 מרחבים עיקריים:
*'''מרחב העמודות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות המטריצה A. נסמן <math>C(A)=span\{C_1(A),...,C_n(A)\}=\{Ax\; | \; x\in \mathbb{F}^n\}\leq\mathbb{F}^m</math>
*'''מרחב השורות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות המטריצה A. נסמן <math>R(A)=span\{R_1(A),...,R_m(A)\}=\{A^tx\; | \; x\in \mathbb{F}^m\}=C(A^t)\leq\mathbb{F}^n</math>
*'''מרחב האפס''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math>. נסמן <math>N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\leq\mathbb{F}^n</math>
*'''מרחב האפס השמאלי''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>A^tx=0</math>. נסמן <math>N(A^t)=\{x\in\mathbb{F}^m|A^tx=0\}=\{x\in\mathbb{F}^m|x^tA=0\} \leq \mathbb{F}^m</math>

דוגמא:

<math>A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)</math> אזי

1. <math>C(A)=span\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
1
\end{array}\right)\}</math>

2.
<math>R(A)=span\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}\right)\}</math>

3. <math>N(A)=\{\left(\begin{array}{c}
0\\
t\\
0
\end{array}\right)\}
</math>

4. <math>N(A^{t})=\{0\}</math>

=== מרחב השורות ===
תרגיל: תהא <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> ותהא <math>E\in\mathbb{F}^{m\times m}</math> מטריצה הפיכה (למשל מכפלת מטריצות אלמנטריות שמדרגות את <math>A</math>).

הוכח <math>R(A)=R(EA)</math>.

הוכחה:

(<math>\supseteq</math>) יהא <math>(EA)^{t}x\in R(EA)</math> אזי

<math>(EA)^{t}x=A^{t}E^{t}x=A^{t}(E^{t}x)=A^{t}y\in R(A)</math>.

(<math>\subseteq</math>) יהא <math>A^{t}x\in R(A)</math> אזי

<math>A^{t}x=(E^{-1}EA)^{t}x= (EA)^tE^{-t}x = (EA)^ty \in R(EA)</math>

מסקנה: בפרט אם <math>E</math> מכפלה של מטריצות אלמנטריות המעבירות את <math>A</math> לצורה מדורגת/קנונית אז נקבל כי מרחב השורות של <math>A</math> שווה למרחב השורות של הצורה המדורגת/קנונית.

תרגיל/דוגמא:

תהא
<math>A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 3 & 3 & 5
\end{array}\right)</math>
מצא את <math>R(A)</math>.

פתרון: <math>\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 3 & 3 & 5
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>
.

כיוון שמרחב השורות של <math>A</math> שווה למרחב השורות לאחר דירוג נקבל ש

<math>
R(A)=span\{
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 0 & 1\end{array}\right)\}=\{\left(\begin{array}{c}
a\\
2a+b\\
3a\\
4a+b
\end{array}\right) \; | \; a,b\in \mathbb{R}\}
</math>

==== יישום: השלמה לבסיס ====
ראינו שמרחב השורות לא משתנה בדירוג. לכן כדי למצוא וקטור שאינו במרחב השורות, אפשר להסתכל הצורה המדורגת ולמצוא וקטור שאינו נמצא במרחב השורות של המדורגת.
כמו שראינו, אם <math>v\not\in span\{v_1,\dots, v_n\}</math> אזי <math>\{v_1,\dots v_n,v\}</math> בת"ל. ואם נמצא קבוצה בת"ל מקס' אזי היא בסיס.

דוגמא:

השלם את <math>
\{
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
\}
</math>

לבסיס.

נדרג

<math>
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}

</math>

ומכאן רואים כי

<math>
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>

אינו במרחב השורות. אם נוסיף אותו

<math>
\{
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\}
</math>

נקבל קבוצה בת"ל מגודל 4 ולכן בסיס

=== מרחב העמודות ===
את מרחב העמודות ניתן למצוא כמו את מרחב השורות ע"י מעבר ל <math>A^{t}</math>. נראה ע"י דוגמא עוד דרך:

דוגמא: מצא את מרחב העמודות של
<math>A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 3 & 3 & 5
\end{array}\right)</math>

פתרון: אחרי דירוג קיבלנו
<math>\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>

ניתן להוכיח את הטענה: מרחב העמודות נפרש ע"י העמודות במטריצה המקורית שמתאימות לעמודות ציר.

אצלנו בדוגמא שעמודות הציר הן עמודות מספר 1 ו - 2 נקבל כי מרחב העמודות הוא
<math>C(A)=span\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
2\\
1\\
3
\end{array}\right)\}
</math>

שימו לב שזה לא שווה למה שנפרש ע"י עמודות הציר של המטריצה המדורגת (כלומר מרחב העמודות "מתקלקל" בדירוג):

<math>
C(A)
\not=
span\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
2\\
1\\
0
\end{array}\right)\}
</math>
כי
<math>
\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
1
\end{array}\right)\notin span\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
2\\
1\\
0
\end{array}\right)
</math>

תרגיל: נסו להוכיח את הטענה שהשתמשנו בה בתרגיל. טענה: מרחב העמודות <math>C(A)=span \{C_{i_1}(A),\dots C_{i_r}(A)\}</math> כאשר <math>i_1,\dots i_r</math> אלו עמודות הציר במטריצה המדורגת.

הדרכה: השתמשו בעבודה <math>E</math> המטריצה המדרגת הפיכה ולכן בתליות ופרישה של עמודות לא מתקלקלים... (ניסוח לא פורמאלי)

'''משפט:''' <math>dim[R(A)]=dim[C(A)]</math>

'''הגדרה:''' הדרגה של <math>A</math> מוגדרת להיות <math>rank(A)=dim[R(A)]</math>

====אבחנה: מימדי מרחבים המטריצה והדרגה====

תהי <math>A</math> מטריצה. המספרים הבאים שווים (זה נובע מהחומר שלמדנו עד עכשיו):
*דרגת המטריצה
*מימד מרחב העמודות
*מימד מרחב השורות
*מספר השורות השונות מאפס בצורה הקנונית
*מספר האיברים הפותחים
*מספר עמודות הציר
*מספר המשתנים התלויים

המספרים הבאים שווים:
*מספר המשתנים החופשיים
*מימד מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית

מכיוון שמספר המשתנים החופשיים ועוד מספר המשתנים התלויים שווה לסך כל המשתנים, וזהו מספר העמודות במטריצה, נובע שדרגת המטריצה ועוד מימד מרחב הפתרונות שווים למספר העמודות.

כלומר '''משפט''' (הדרגה עבור מטריצות)

עבור <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מתקיים <math>rank(A)+\dim N(A) = n</math>

זיכרו זאת, בהמשך נוכיח משפט הדרגה הכללי

====תרגיל====
יהיו <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times p}</math> מטריצות

הוכח: <math>rank(AB)\leq rank(A),rank(B)</math>

הוכחה: ש"ל <math>dim[C(AB)]\leq dim[C(A)]</math>
נסמן <math>\{a_{1},\dots,a_{l}\}</math> בסיס למרחב העמודות.

בנוסף <math>C(AB)=span \{C_1(AB),\dots , C_p(AB)\}=span\{AC_{1}(B),\dots,AC_{p}(B)\}</math>
כיוון שלכל <math>i</math> מתקיים כי
<math>AC_{i}(B)</math> הוא צ"ל של עמודות <math>A</math>
מקבלים ש

<math>C(AB)=span\{AC_{1}(B),\dots,AC_{p}(B)\}\subseteq span\{a_{1},\dots,a_{l}\}=C(A)</math>

ולכן <math>dim[C(AB)]\leq dim[C(A)]</math>.

באופן דומה <math>dim[R(AB)]\leq dim[R(A)]</math> (בעזרת <math>dim[R(AB)]\leq dim[R(A)]</math>)

מסקנה: יהיו <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ו - <math>B</math> הפיכה אזי <math>rank(AB)=rank(A)</math>

הוכחה: <math>rank(A)=rank(ABB^{-1})\leq rank(AB)\leq rank(A)</math>

=== מרחב האפס ===
תרגיל: תהא <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> ותהא <math>E\in\mathbb{F}^{m\times m}</math> מטריצה הפיכה.

הוכח <math>N(A)=N(EA)</math>.

פתרון:

(<math>\supseteq</math>) יהא <math>x\in N(EA)</math> אזי <math>EAx=0</math> נכפיל ב <math>E^{-1}</math> משמאל ונקבל <math>Ax=0</math> כלומר <math>x\in N(A)</math>

(<math>\subseteq</math>) יהא <math>x\in N(A)</math> אזי <math>Ax=0</math> נכפיל ב <math>E</math> משמאל ונקבל <math>EAx=0</math> כלומר <math>x\in N(EA)</math>

אם ניקח <math>E</math> להיות המטריצה שמדרגת את <math>A</math> נקבל את

'''מסקנה:''' דירוג אל מקלקל את מרחב האפס.

תרגיל: מצא את מרחב האפס של
<math>A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 3 & 3 & 5
\end{array}\right)</math>.

פתרון: אחרי דירוג קיבלנו
<math>\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 3 & 2\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>
ולכן מרחב האפס הוא (<math>z=t,w=s</math>)

<math>
N(A)=
\{
\left(\begin{array}{c}
-2s-3t\\
-s\\
t\\
s
\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}
-3\\
0\\
1\\
0
\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}
-2\\
-1\\
0\\
1
\end{array}\right)
\; | \; t,s\in \mathbb{R}
\}

=span\{\left(\begin{array}{c}
-3\\
0\\
1\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-2\\
-1\\
0\\
1
\end{array}\right)\}</math>
.

====דוגמא נוספת====
מצא בסיס למרחב האפס של המטריצה <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}</math>

דבר ראשון, נדרג קנונית את המטריצה לקבל

<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

לפיכך המשתנה השלישי והרביעי הם חופשיים, נציב במקומם פרמטרים t,s והפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(-t-s,t,t,s)</math>. תמיד ניתן לפרק את הפתרון הכללי לסכום של וקטורים קבועים כפול הסקלרים שהם הפרמטרים: <math>t(-1,1,1,0) +s(-1,0,0,1)</math>. וקטורים קבועים אלה תמיד מהווים בסיס למרחב הפתרונות:
*אנו רואים שכל פתרון הוא צירוף לינארי של הוקטורים הללו עם הסקלרים שהם הפרמטרים (במקרה זה - t,s)
*וקטורים אלה תמיד בת"ל, שכן אם יש צירוף לינארי שלהם שמתאפס, מכיוון שהפרמטרים תמיד מופיעים לבדם בעמודה של המשתנה שלהם, הם חייבים להיות אפס

לכן הבסיס למרחב האפס הינו <math>\{(-1,0,0,1),(-1,1,1,0)\}</math>

=== מרחב האפס השמאלי ===

תרגיל: מצא מצא את מרחב האפס השמאלי של
<math>A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 3 & 3 & 5
\end{array}\right)
</math>

פתרון: צ"ל <math>N(A^{t})</math>. נדרג את <math>A^{t}</math>

<math>\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 3\\
3 & 0 & 3\\
4 & 1 & 5
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>

עבור <math>z=t</math> נקבל
<math>N(A^{t})=\{\left(\begin{array}{c}
-t\\
-t\\
t
\end{array}\right)
\; | \; t\in \mathbb{R}
\}

=span\{\left(\begin{array}{c}
-1\\
-1\\
1
\end{array}\right)\}</math>

===סיכום: אלגוריתם למציאת '''שלושת''' מרחבי המטריצה <math>Cׂ(A),R(A),N(A)</math>===
#דרג את המטריצה (ניתן גם לדרג קנונית אך לא חובה)
#'''השורות השונות מאפס''' מהוות בסיס למרחב השורה
#'''העמודות במטריצה המקורית''' המהוות עמודות ציר (כלומר יש איבר פותח בעמודה בצורה הקנונית), מהוות בסיס למרחב העמודה
#הצב פרמטרים במקום המשתנים החופשיים ומצא את הפתרון הכללי למערכת ההומוגנית ששווה למרחב האפס. ('''הוקטורים הקבועים''' מהווים בסיס )

'''שימו לב:''' בהנתן מרחב כלשהו (פולינומים, מטריצות, פונקציות) ניתן לבצע את החישובים על מרחב הקואורדינטות. כפי שראינו בשיעור שעבר, מציאת בסיס למרחבים רבים שקולה למציאת בסיס למרחב האפס של מטריצה מסוימת.

===תרגילים===
==== תרגיל ====
תהא <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>. ראינו כי <math>dimR(A)+dimN(A)=n</math>. במקרה שהשדה הוא ממשי נקבל תוצאה חזקה יותר.

תהא <math>A\in\mathbb{R}^{m\times n}</math>. נסמן <math>B_R</math> בסיס למרחב השורות ו <math>B_N</math> בסיס למרחב האפס אזי <math>B_R\cup B_N</math>
בסיס ל <math>\mathbb{R}^n</math> (שימו לב שזה אכן תוצאה יותר חזקה))

באופן שקול: הוכח כי לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{R}^{m\times n}</math> מתקיים <math>\mathbb{R}^n=R(A)\oplus N(A)</math>

'''פתרון.'''
מכיוון שהרגע ראינו כי סכום המימדים מקיים <math>dimR(A)+dimN(A)=n</math> לפי משפט המימדים מספיק להוכיח שהחיתוך בינהם הינו אפס.

יהא <math>v\in R(A)\cap N(A)</math> אזי <math>\exists w : A^tw=v, Av=0 </math> ולכן <math>AA^tw=0</math> נכפיל ב <math>w^t</math> משמאל
ונקבל כי <math>0=w^tAA^tw=(A^tw)^t(A^tw)=v^tv</math> זה גורר כי <math>v=0</math> (זיכרו כי במקרה הממשי <math>v^tv=\sum_{i=1}^nv_i^2</math>

כעת לפי משפט המימדים מתקיים

<math>\dim (R(A)+N(A))=\dim R(A)+\dim N(A) - \dim(R(A)\cap N(A)) = \dim R(A)+\dim N(A) =n</math>

כיוון ש <math>R(A)+N(A)\subseteq \mathbb{R}^n</math> מאותו מימד נקבל כי הם שווים.

'''הערה:'''
כיוון שהמשפט נכון לכל מטריצה, ניתן ליישמו גם על השיחלוף ולקבל כי <math>\mathbb{R}^m=C(A)\oplus N(A^t)</math>

לדוגמא עבור
<math>A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 3 & 3 & 5
\end{array}\right)</math> מצאנו כי

<math>B_{R}=\{\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
3\\
4
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\\
1
\end{array}\right)\},\,B_{C}=\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
2\\
1\\
3
\end{array}\right)\}, \\
B_{N}=\{\left(\begin{array}{c}
-3\\
0\\
1\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-2\\
-1\\
0\\
1
\end{array}\right)\}\,,B_{N(A^{t})}=\{\left(\begin{array}{c}
-1\\
-1\\
1
\end{array}\right)\}</math>

לפי המשפט
<math>\{\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
3\\
4
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-3\\
0\\
1\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-2\\
-1\\
0\\
1
\end{array}\right)\}</math>
בסיס ל <math>\mathbb{R}^{4}</math>
ו
<math>\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
2\\
1\\
3
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-1\\
-1\\
1
\end{array}\right)\}</math>
בסיס ל <math>\mathbb{R}^{3}</math>

==== תרגיל ====
תרגיל. יהיו <math>A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> כך ש <math>rank(A)+rank(B)>n</math>. הוכח <math>AB\not=0</math>

הוכחה: נניח בשלילה כי <math>AB=0</math>
כלומר לכל <math>i</math> מתקיים <math>C_i(AB)=AC_{i}(B)=0</math>

ומכאן ש <math>\forall i C_i(B)\in N(A)</math> ולכן <math>C(B)\subseteq N(A)</math>

<math>
rank(B)=dim(C(B))\leq dim(N(A))
\Leftarrow
</math>
ואז

<math>
rank(B)+rank(A)\leq dim(N(A))+rank(A)=n
\Leftarrow
</math>
סתירה לנתון.

==== תרגיל ====

תהא <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n} , B\in \mathbb{F}^{n\times p}</math>.

הוכח שאם עמודות <math>AB</math> בת"ל אז גם עמודות <math>B</math> בת"ל

הוכחה:

מהנתון <math>rank (AB)= p</math> ואז

<math>p = rank (AB)\leq rank B \leq p</math> ומכאן ש <math> rankB=p</math> כלומר עמודות B בת"ל

==== תרגיל ====

תהא <math>
A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & * \\
1 & * & 1 \\
* & 1 & * \\
\end{pmatrix}
</math>

נניח כי למערכת <math>Ax=0</math> יש 2 פתרונות בת"ל.

מצא את <math>A</math>

פתרון: מהנתון נקבל כי <math>\dim N(A)\geq 2</math> כיוון ש <math>A\neq 0</math> נקבל כי <math>\dim N(A)= 2</math>

לפי משפט הדרגה נקבל כי <math>rank(A)=1</math> כלומר כל העמודות ת"ל בראשונה (כי אין עמודת אפסים). לכן העמודה השניה היא כפולה של העמודה הראשנה וכן העמודה השלישית היא כפולה של העמודה הראשונה. מצורת המטריצה נקבל כי בעצם העמודה השניה שווה לעמודה הראשונה וכן השלישית ולכן

<math>
A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
</math>

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6

2017-03-12T10:09:58Z

1239482242: /* תרגיל */

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]

==משפט המימדים==
[[משפט המימדים]]:

יהי <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>U,W\leq V</math> תתי מרחבים. אזי

<math>dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>

====סקיצה של ההוכחה - לא מפחיד כמו שנהוג לחשוב====
#ניקח בסיס לU חיתוך W. נסמן אותו ב<math>\{v_1,...,v_k\}</math>
#נשלים אותו לבסיס לU. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m\}</math>
#נשלים את הבסיס לחיתוך גם לבסיס לW. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,w_1,...,w_p\}</math>
#'''נוכיח''' (וזה עיקר העבודה) שהקבוצה <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m,w_1,...,w_p\}</math> הינה בסיס לU+W:
##נראה כי כל וקטור מהצורה u+w ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברים אלה (זה ברור)
##נראה כי הקבוצה הזו בת"ל, אחרת וקטורים שהנחנו שאינם בחיתוך יהיו חייבים להיות בחיתוך בסתירה
#המשל נובע בקלות מספירת הוקטורים בבסיסים שכן <math>dim(U+W) = k+m+p=(k+m)+(k+p) -k</math>

===תרגיל 8.3===
יהא V מ"ו ממימד 5, ויהיו U ממימד 3 ו-W ממימד 4 תתי מרחבים של V. מהן האפשרויות עבור <math>dim(U\cap W)</math>? הוכח!

====פתרון====
ראשית, <math>U+W\subseteq V</math> ולכן <math>dim(U+W)\leq dim(V)=5</math>. אבל לפי משפט המימדים מתקיים <math>5\geq dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)=3+4-dim(U\cap W)</math>.

ביחד מקבלים ש <math>dim(U\cap W)\geq 2</math>. מצד שני, החיתוך מוכל גם בU וגם בW ולכן המימד שלו קטן שווה מהמימדים שלהם, ובפרט מהקטן מהם. לכן <math>dim(U\cap W)\leq 3</math>.

סה"כ האפשרויות למימד הן 2,3. קל למצוא דוגמאות המוכיחות שאפשרויות אלה אכן מתקבלות מתישהו.

===תרגיל 8.5===
יהא <math>V</math> מ"ו ממימד <math>n</math>, ויהיו <math>U,W</math> תתי מרחבים כך ש <math>dimU=n-1</math> ו-<math>W</math> אינו מוכל בU. הוכח כי <math>W+U=V</math>

====הוכחה====
נוכיח בעזרת משפט המימדים ש <math>dim(U+W)=dimV</math> ואז המשל נובע (כי תת מרחב שמוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד).

<math>dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U\cap W)</math>. מכיוון שW אינו מוכל בU החיתוך בינהם שונה מW. ולכן <math>dim(U\cap W)<dimW </math> ולכן <math>dimW-dim(U\cap W)\geq 1</math>. ביחד מקבלים <math>dim(U+W)=n-1 + dimW -dim(U\cap W)\geq n-1+1=n=dimV</math>. משל.

==קואורדינטות==
משפט: יהא <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, יהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-<math>V</math> ויהי <math>v\in V</math> וקטור.
ראינו ש-<math>v</math> ניתן להצגה יחידה כצ"ל של <math>B</math> וההצגה שלו לפי הבסיס הוא וקטור שמורכב מהמקדמים של הצ"ל.
באופן פורמאלי, ההצגה של <math>v</math> לפי בסיס <math>B</math> הוא '''וקטור הקואורדינטות''' המסומן <math>[v]_B\in\mathbb{F}^n</math> ומוגדר להיות <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> כאשר <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math>.

'''חשוב לזכור''' <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> אם"ם <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math>

תרגיל: הוכח כי לכל בסיס <math>B</math> מתקיים

<math>v=0</math> אם"ם <math>[v]_B=0</math>.

הוכחה: ישירות מההגדרה. <math>B</math> בת"ל ולכן הצ"ל היחידי שמתאפס זהו הצ"ל הטריאלי.

בהכללה:

<math>[v_1]_B=[v_2]_B</math> אמ"מ <math>v_1=v_2</math>

הערה: במרחבים הוקטוריים שאנו נעבוד איתם יש '''בסיסים סטנדרטיים'''. הייחוד של הבסיסים הסטנדרטיים הוא שקל מאד לחשב קואורדינטות לפיהם. נסתכל במרחבים וקטורים ובבסיסים הסטנדרטיים שלהם:

{| border="1" align="center" style="text-align:center;"
|מרחב וקטורי
|בסיס סטנדרטי
|-
|<math>\mathbb{F}^n</math>
|<math>(1,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,...,0,1)</math>
|-
|<math>\mathbb{F}^{m\times n}</math>
|<math>
\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},...,
\begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},...,
\begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}
</math>
|-
|<math>\mathbb{F}_n[x]</math>
|<math>1,x,x^2,...,x^n</math>
|-
|}

'''דוגמא.'''
חשב את הקואורדינטות של הוקטור <math>v=1+2x-x^2</math> לפי הבסיס הסטנדרטי S של <math>\mathbb{R}_3[x]</math>. למעשה הפולינום כמעט מוצג כצירוף לינארי של איברי הבסיס:

<math>v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4 = 1\cdot 1 + 2\cdot x + (-1)\cdot x^2 + 0\cdot x^3</math>.

לפיכך <math>[v]_S=(1,2,-1,0)</math>.

'''דוגמא.'''
חשב את הקואורדינטות של הוקטור <math>(a,b,c)</math> לפי הבסיס הסטנדרטי S של <math>\mathbb{F}^n</math>. קל לראות ש <math>[v]_S = (a,b,c)</math>.

'''דוגמא.'''
<math>V=\mathbb{R}^2,B=\{(1,1),(1,-1)\}</math> מצא את הקואורדינטות של הוקטור <math> v=(a,b)</math> לפי הבסיס B. במקרה הכינותי מראש-

<math>v=\frac{a+b}{2}\cdot (1,1)+\frac{a-b}{2}\cdot (1,-1)</math>

ולכן לפי ההגדרה <math>[v]_B=(\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2})</math>

אנו רואים שאין זה קל למצוא את הקואורדינטות לפי בסיס כלשהו שאינו הסטנדרטי.

=== תרגיל ===

יהא <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> ויהי <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> בסיס לו. יהיו <math>u_1,...,u_k\in V</math> וקטורים כלשהם וסקלארים <math>\alpha_i,\dots ,\alpha_k \in \mathbb{F}</math>. הוכח:

<math>\sum_{i=1}^k\alpha_i[u_i]_B =[\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i]_B</math>

הוכחה:

מ"ל את הטענה <math>[u_1]_B+[u_2]_B =[u_1+u_2]_B</math> ואת הטענה <math>\alpha[u_1]_B=[\alpha u_1]_B</math> (ואז המעבר לצ"ל כללי נעשה ע"י אינדוקציה)

נסמן <math>u_1=a_1v_1+...+a_nv_n, u_2=b_1v_1+...+b_nv_n</math> אזי <math>u_1+u_2=(a_1+b_1)v_1+...+(a_n+b_n)v_n</math> ומתקיים

<math>[u_1]_B+[u_2]_B =\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ \vdots \\ a_n+b_n\end{pmatrix}
[u_1+u_2]_B</math>

בנוסף <math>\alpha u_1=\alpha a_1v_1+...+\alpha a_nv_n</math> ומתקיים

<math>\alpha[u_1]_B= \alpha \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha a_2 \\ \vdots \\\alpha a_n\end{pmatrix} =
[\alpha u_1]_B</math>

מש"ל

'''מסקנה:'''

2. <math>u_1,...,u_k</math> בת"ל אם"ם <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל

3. <math>w\in span\{u_1,...,u_k\}</math> אם"ם <math>[w]_B\in span\{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}</math>

הוכחה:

2. <math>u_1,...,u_k</math> בת"ל

אמ"מ

<math>\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0</math>

אמ"מ

<math>[\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i]_B=[0]_B=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0</math>

אמ"מ

<math>\sum_{i=1}^k\alpha_i[u_i]_B=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0</math>

אמ"מ

<math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל

3. ברעיון דומה

מה בעצם המסקנה אומרת? שכל בדיקה/חישוב של תלות לינארית או פרישה '''בכל''' מרחב וקטורי (מטריצות, פולינומים, פונקציות) יכול בעצם להעשות במרחב הוקטורי המוכר והנוח <math>\mathbb{F}^n</math>.

ועוד הגדרה לפני ההמשך, עד כה דיברנו "רק" על ייצוג של וקטורים לפי בסיס. אפשר להכליל בפשטות לכל המרחב הוקטורי. הנה ההגדרה:

'''הגדרה''' :
יהא <math>V</math> מ"ו (או תת מרחב) ויהי <math>B</math> בסיס לו. אזי מרחב הקורדיאנטות (של <math>V</math> לפי בסיס <math>B</math>) הוא

<math>[V]_B = \{[v]_B \; | \; v\in V\}</math>

'''הערה :''' יהא <math>V</math> מ"ו, <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים ו <math>B</math> בסיס. אזי
#<math>[W_1 \cap W_2]_B = [W_1]_B \cap [W_2]_B</math>
#<math>[W_1 + W_2]_B = [W_1]_B + [W_2]_B</math>

== דוגמאות ואלגוריתמים==
=== חיתוך תת מרחבים ===
===='''תרגיל 7.31''' ====

נגדיר שני תתי מרחבים של <math>\mathbb{R}_3[x]</math>:

<math>V=\{p(x)|p(2)=0\}</math>, ו <math>U=\{p(x)|p(1)=0\}</math>

מצא את המימד של חיתוך המרחבים.

'''פתרון.'''

בתרגיל זה נשתמש בשיטה נפוצה ביותר. אנו מעוניינים לתאר את המרחבים הוקטוריים באופן קל יותר לעבודה מאשר התיאור לעיל; לכן ננסה לתאר את תתי המרחבים הללו כמרחבי פתרון של מערכת הומוגנית (אחת מהדרכים להצגת תת מרחב מתירגול קודם). המשתנים שלנו במערכת המשוואות יהיו '''המקדמים''' של הפולינומים.

נביט ב <math>V</math>. זהו אוסף כל הפולינומים ש2 הוא שורש שלהם. יהי פולינום כללי <math>p(x)=a+bx+cx^2+dx^3</math>, הוא שייך ל<math>V</math> אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית: <math>a+2b+4c+8d=0</math>. לכן <math>V=\{a+bx+cx^2+dx^3|a+2b+4c+8d=0\}</math> אם נעבוד עם הבסיס הסטנדרטי <math>S</math> נקבל כי

<math>[V]_S=\{\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |a+2b+4c+8d=0\}</math>

באופן דומה הפולינום שייך ל<math>U</math> אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית <math>0=a+b+c+d</math>. ומרחב הקורדינאטות הוא

<math>[U]_S=\{\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |a+b+c+d=0\}</math>

את החיתוך <math>[V]_S\cap[U]_S</math> קל למצוא! ראינו איך עושים זאת זה פשוט שווה ל
<math>\{\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix} = 0 \}</math>

נדרג את המטריצה ונמצא את הפתרון:

<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 0 & -1 & -3 & -7 \end{pmatrix} \to
\\
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & -1 & -3 & -7 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & 1 & 3 & 7 \end{pmatrix}
</math>

ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(2t+6s,-3t-7s,t,s)</math>, ולכן הבסיס הינו <math>(2,-3,1,0),(6,-7,0,1)</math>.

נחזור לצורה הפולינומית לקבל את התשובה הסופית:

<math>U\cap V = sapn \{v_1, v_2 \; | \; [v_1]_s = (2,-3,1,0), [v_2]_s = (6,-7,0,1) \} = span\{2-3x+x^2,6-7x+x^3\}</math>

====אלגוריתם למציאת חיתוך בין שני תתי מרחבים U,W====
ישנן שתי שיטות לחשב את החיתוך, נתחיל בראשונה (שביצענו הרגע, למעשה):
# החלף את <math>U,W</math> במרחב הקורדינאטות שלהם.
#מצא מערכת משוואות המתארת את <math>U</math> ומערכת משוואות המתארת את <math>W</math>
#פתור מערכת אחת המכילה את כל המשוואות משתי המערכות וקבל את החיתוך
# חזור ל <math>U,W</math> המקוריים.

שיטה שנייה:
# החלף את <math>U,W</math> במרחב הקורדינאטות שלהם.
# הצג את המרחבים כ <math>span(?)</math>
#כתוב צירוף לינארי כללי ב<math>U</math> וצירוף לינארי כללי ב<math>W</math>
#השווה את הצירופים ופתור מערכת משוואות על '''הסקלרים'''
#הצב את הסקלרים שקיבלת בצירוף הלינארי וקבל את החיתוך
# חזור ל <math>U,W</math> המקוריים.

=====תרגיל ======

מצא את החיתוך בין תתי המרחבים הבאים בשיטה השנייה לעיל.

<math>B=\operatorname{span}\left (\Big\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\Big\}\right ),
C=\operatorname{span}\left ( \Big\{\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}\Big\}\right )</math>

'''פתרון.'''

(קחו נשימה עמוקה) יהיו סקלרים a,b,c,x,y,z, וקטור הוא בחיתוך אם"ם הוא צירוף לינארי של שתי הקבוצות הפורשות:

<math>a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}</math>

במרחב הקורדינאטות (עם הבסיס הסטדנדרטי <math>S</math>, נקבל את השיוון

<math>a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 \\0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}</math>

לכן מערכת המשוואות '''על הסקלרים''' הינה:

<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -3 & -1 & -1 & | & 0 \\
0 & 1 & 0 & -2 & -4 & -1 & | & 0 \\
0 & 0 & 1 & -4 & 1 & -1 & | & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 3 & -4 & 2 & | & 0 \\

\end{pmatrix}</math>

נדרג ונמצא את הפתרונות (שימו לב: מספיק למצוא רק את x,y,z או רק את a,b,c מכיוון שבהנתן צירוף לינארי של איברי C שנותן את החיתוך אין צורך להמשיך (כמו כן לגבי B).)

<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -3 & -1 & -1 & | & 0 \\
0 & 1 & 0 & -2 & -4 & -1 & | & 0 \\
0 & 0 & 1 & -4 & 1 & -1 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -5 & 1 & | & 0 \\

\end{pmatrix}</math>

במקרה זה קל יותר למצוא את x,y,z; המשתנים החופשיים הינם x,z ומתקיים z=5y. ולכן הצ"ל הכללי בחיתוך הינו:

<math>[B]_S \cap [C]_S=
\Big\{x\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+5y\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}\Big\}= \\
\Big\{x\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}6 \\ 9 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}\Big\}=
span\Big\{\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\-3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}6 \\ 9 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}\Big\}
</math>

אם נחזור למרחבים המקוריים נקבל כי

<math>B\cap C=span\Big\{\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}6 & 9 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}\Big\}</math>

=== תלות לינארית ===
'''דוגמא.'''

האם הפולינומים <math>v_1=1+x^2,v_2=1-x,v_3=x+x^2</math> תלויים לינארית?

דבר ראשון, נעבור למרחב הקואורדינטות. מכיוון שבחירת הבסיס היא לשיקולנו, נבחר את הבסיס הסטנדרטי S של הפולינומים איתו קל לעבוד. מתקיים ש <math>[v_1]_S=(1,0,1),[v_2]_S=(1,-1,0),[v_3]_S=(0,1,1)</math>

הוכחנו בשיעור שעבר שוקטורים "רגילים" ת"ל אם"ם המטריצה שהם השורות שלה אינה הפיכה אם"ם הצורה המדורגת של המטריצה מכילה שורת אפסים. לכן, נשים את וקטורי הקואורדינטות בשורות מטריצה ונדרג.

<math>
\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}
\xrightarrow[]{R_3-R_1,R_3+R_2}
\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

לכן וקטורי הקואורדינטות תלויים לינארית ולכן הפולינומים עצמם תלויים לינארית.

דרך נוספת: נשים את הוקטורים בעמודה של מטריצה <math>A</math>. צ"ל של עמודות <math>A</math> זה פשוט <math>Ax</math>. ולכן הוקטורים בת"ל אמ"מ הפתרון היחידי למערכת <math>Ax=0</math> (צ"ל שמתאפס) הוא הפתרון הטריאלי (הצ"ל הטריאלי)

<math>
\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \to
\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} \to
\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \
</math>

קיבלנו שיש משתנים חופשיים ולכן יש פתרון לא טרויאלי ולכן הוקטורים תלויים לינארית!

נסכם את התהליך:

====אלגוריתם לבדיקת תלות לינארית בין וקטורים====
#הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
#שים את וקטורי הקואורדינטות ב'''שורות''' מטריצה A
#הבא את המטריצה לצורה מדורגת
#אם באיזה שלב קיבלת שורת אפסים סימן שהוקטורים תלויים לינארית
#אם הגעת לצורה מדורגת ללא שורת אפסים סימן שהוקטורים בלתי תלויים לינארית

ובדרך הנוספת
#הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
#שים את וקטורי הקואורדינטות ב'''עמודות''' מטריצה A
# בדוק אם יש פתרון לא טריאלי למערכת <math>Ax=0</math>
# אם יש אז הם תלויים ואם אין אז הם בת"ל

=== צירופים לינאריים ===
'''דוגמא.'''
האם המטריצה <math>v=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}</math> היא צ"ל של המטריצות
<math>
v_1=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},
v_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix},
v_3=\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 10 & 10\end{pmatrix}
</math>?
אם כן, הצג אותה כצירוף לינארי שלהן.

פתרון: נעבור דבר ראשון למרחב הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי <math>S=\Big\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\Big\}</math>

נקבל <math>[v]_S=(1,2,3,4),[v_1]_S=(1,1,0,0),[v_2]_S=(1,0,2,1),[v_3]_S=(2,2,10,10)</math>.

למדנו בשיעור שעבר שוקטור b נפרש על ידי וקטורים מסויימים אם"ם קיים פתרון למערכת Ax=b כאשר A היא המטריצה שעמודותיה הם אותם וקטורים. הפתרון x הוא וקטור הסקלרים מהצירוף הלינארי. לכן, אנו רוצים לדעת האם קיים פתרון למערכת ואם כן מהו:

<math>\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 10\\ 0 & 1 & 10\end{pmatrix} x = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \\4 \end{pmatrix}</math>

קל לפתור ולגלות ש <math>x=(1,-1,\frac{1}{2})</math> מקיים את המערכת ולכן מתקיים <math>v=v_1-v_2+\frac{1}{2}v_3</math>

נסכם:

====אלגוריתם לחישוב צירוף לינארי====
#נתון וקטור b וקבוצת וקטורים. העבר את כולם לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
#פתור את המערכת Ax=b כאשר '''עמודות''' A הינן וקטורי הקואורדינטות של קבוצת הוקטורים הפורשים
#אם אין פתרון, b לא נפרש על ידי האחרים
#אם קיים פתרון x אזי הוא מכיל את הסקלרים של הצירוף הלינארי בהתאם לסדר העמודות בA

==מטריצות מעבר בין בסיסים==
ראינו שקל מאד למצוא קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי, נשתמש בהנחה הזו בהמשך. אנו מעוניינים לדעת כיצד לחשב קואורדינטות לפי בסיס כלשהו, לאו דווקא סטנדרטי.

'''משפט:''' יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>E,F</math> בסיסים לו. אזי '''קיימת''' מטריצה '''יחידה''' המסומנת <math>[I]^E_F</math> המקיימת את הפסוק הבא:

<math>\forall v\in V: [I]^E_F[v]_E=[v]_F</math>

נסמן <math>E=\{v_1,...,v_n\}</math> ו <math>F=\{w_1,...,w_n\}</math>. אזי מתקיים ש<math>[I]^E_F</math> הינה המטריצה שעמודותיה הן <math>[v_i]_F</math>

'''דוגמא.'''
יהא <math>V=\mathbb{R}^2</math> ושני בסיסים
<math>E=\{v_1=\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \}</math>
ו<math>F=\{w_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},w_2 = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}\}</math>

נמצא את <math>[I]^E_F</math>.

מתקיים כי
<math>
v_1 = \mathbf{5}w_1-\mathbf{2}w_2 \\
v_2 = -\mathbf{1}w_1+\mathbf{1}w_2
</math>

לכן

<math>
[I]^E_F=
\begin{pmatrix} 5& -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}
</math>

'''תרגיל:'''

הוכח ש <math>[I]^S_B[I]^A_S=[I]^A_B</math>. מכיוון שאנו יודעים שמטריצה המעבר הינה יחידה, מספיק להראות שהכפל מקיים את הפסוק מההגדרה:

<math>\forall v\in V: [I]^S_B[I]^A_S[v]_A=[I]^S_B[v]_S=[v]_B</math>

'''משפט:''' לכל שני בסיסים E,F מטריצת המעבר הינה מטריצה הפיכה ומתקיים <math>([I]^E_F)^{-1}=[I]^F_E</math>

מסקנה:

===אלגוריתם למציאת מטריצת מעבר בין '''כל''' שני בסיסים E,F===
#בחר בסיס סטנדרטי S מתאים למרחב שלך
#מצא את מטריצת המעבר <math>[I]^E_S</math>. זה קל מאד שכן יש למצוא את הקואורדינטות של איברי הבסיס E לפי הבסיס הסטנדרטי S
#מצא את מטריצת המעבר <math>[I]^F_S</math>.
#הפוך את המטריצה האחרונה לקבל <math>([I]^F_S)^{-1}=[I]^S_F</math>
#כפול את המטריצות על מנת לקבל את התוצאה הסופית <math>[I]^S_F[I]^E_S=[I]^E_F</math>

====דוגמא:====

<math>V=\mathbb{R}_2[x]</math> מצא את <math>[I]^E_F</math> כאשר

<math>E=\{1+x, x+x^2, x^2\}, F=\{x,1+x,1+2x^2\}</math>

פתרון:

נסמן <math>S</math> הבסיס הסטנדרטי ואז
<math>
[I]^E_S=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix},

[I]^F_S=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
</math>

אחרי חישובים מקבלים כי

<math>[I]^S_F=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}^{-1} =

\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0.5 \\
1 & 0 & -0.5 \\
0 & 0 & 0.5
\end{pmatrix}
</math>

ולכן

<math>[I]^E_F=[I]^S_F[I]^E_S=

\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0.5 \\
1 & 0 & -0.5 \\
0 & 0 & 0.5
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
=

\begin{pmatrix}
0 & 1.5 & 0.5 \\
1 & -0.5 & -0.5 \\
0 & 0.5 & 0.5
\end{pmatrix}

</math>

====תרגיל====

תהא
<math>
A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
1 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
</math>

ובסיס

<math>
E =
\{
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}
\}
</math>

מצאו בסיס <math>F</math> כך ש <math>A=[I]^E_F</math>

פתרון:

נסמן <math>F=\{v_1,v_2,v_3\}</math>

נחשב ונמצא כי

<math>
[I]^F_E= A^{-1} =
\begin{pmatrix}
-4/3 & 1/3 & 1 \\
2/3 & 1/3 & -2 \\
1/3 & -1/3 & 1 \\
\end{pmatrix}
</math>

מהגדרה נקבל כי

<math>
v_1 =
-4/3
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}+
2/3
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}+
1/3
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-2/3 \\
-4/3 \\
1 \\
\end{pmatrix},

\\
v_2 =
1/3
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}+
1/3
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}+
-1/3
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2/3 \\
1/3 \\
0 \\
\end{pmatrix},
\\
v_3 =
1
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}+
-2
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}+
1
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
-1 \\
\end{pmatrix}

</math>

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6

2017-03-12T10:07:01Z

1239482242: /* תרגיל */

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]

==משפט המימדים==
[[משפט המימדים]]:

יהי <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>U,W\leq V</math> תתי מרחבים. אזי

<math>dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>

====סקיצה של ההוכחה - לא מפחיד כמו שנהוג לחשוב====
#ניקח בסיס לU חיתוך W. נסמן אותו ב<math>\{v_1,...,v_k\}</math>
#נשלים אותו לבסיס לU. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m\}</math>
#נשלים את הבסיס לחיתוך גם לבסיס לW. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,w_1,...,w_p\}</math>
#'''נוכיח''' (וזה עיקר העבודה) שהקבוצה <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m,w_1,...,w_p\}</math> הינה בסיס לU+W:
##נראה כי כל וקטור מהצורה u+w ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברים אלה (זה ברור)
##נראה כי הקבוצה הזו בת"ל, אחרת וקטורים שהנחנו שאינם בחיתוך יהיו חייבים להיות בחיתוך בסתירה
#המשל נובע בקלות מספירת הוקטורים בבסיסים שכן <math>dim(U+W) = k+m+p=(k+m)+(k+p) -k</math>

===תרגיל 8.3===
יהא V מ"ו ממימד 5, ויהיו U ממימד 3 ו-W ממימד 4 תתי מרחבים של V. מהן האפשרויות עבור <math>dim(U\cap W)</math>? הוכח!

====פתרון====
ראשית, <math>U+W\subseteq V</math> ולכן <math>dim(U+W)\leq dim(V)=5</math>. אבל לפי משפט המימדים מתקיים <math>5\geq dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)=3+4-dim(U\cap W)</math>.

ביחד מקבלים ש <math>dim(U\cap W)\geq 2</math>. מצד שני, החיתוך מוכל גם בU וגם בW ולכן המימד שלו קטן שווה מהמימדים שלהם, ובפרט מהקטן מהם. לכן <math>dim(U\cap W)\leq 3</math>.

סה"כ האפשרויות למימד הן 2,3. קל למצוא דוגמאות המוכיחות שאפשרויות אלה אכן מתקבלות מתישהו.

===תרגיל 8.5===
יהא <math>V</math> מ"ו ממימד <math>n</math>, ויהיו <math>U,W</math> תתי מרחבים כך ש <math>dimU=n-1</math> ו-<math>W</math> אינו מוכל בU. הוכח כי <math>W+U=V</math>

====הוכחה====
נוכיח בעזרת משפט המימדים ש <math>dim(U+W)=dimV</math> ואז המשל נובע (כי תת מרחב שמוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד).

<math>dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U\cap W)</math>. מכיוון שW אינו מוכל בU החיתוך בינהם שונה מW. ולכן <math>dim(U\cap W)<dimW </math> ולכן <math>dimW-dim(U\cap W)\geq 1</math>. ביחד מקבלים <math>dim(U+W)=n-1 + dimW -dim(U\cap W)\geq n-1+1=n=dimV</math>. משל.

==קואורדינטות==
משפט: יהא <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, יהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-<math>V</math> ויהי <math>v\in V</math> וקטור.
ראינו ש-<math>v</math> ניתן להצגה יחידה כצ"ל של <math>B</math> וההצגה שלו לפי הבסיס הוא וקטור שמורכב מהמקדמים של הצ"ל.
באופן פורמאלי, ההצגה של <math>v</math> לפי בסיס <math>B</math> הוא '''וקטור הקואורדינטות''' המסומן <math>[v]_B\in\mathbb{F}^n</math> ומוגדר להיות <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> כאשר <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math>.

'''חשוב לזכור''' <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> אם"ם <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math>

תרגיל: הוכח כי לכל בסיס <math>B</math> מתקיים

<math>v=0</math> אם"ם <math>[v]_B=0</math>.

הוכחה: ישירות מההגדרה. <math>B</math> בת"ל ולכן הצ"ל היחידי שמתאפס זהו הצ"ל הטריאלי.

בהכללה:

<math>[v_1]_B=[v_2]_B</math> אמ"מ <math>v_1=v_2</math>

הערה: במרחבים הוקטוריים שאנו נעבוד איתם יש '''בסיסים סטנדרטיים'''. הייחוד של הבסיסים הסטנדרטיים הוא שקל מאד לחשב קואורדינטות לפיהם. נסתכל במרחבים וקטורים ובבסיסים הסטנדרטיים שלהם:

{| border="1" align="center" style="text-align:center;"
|מרחב וקטורי
|בסיס סטנדרטי
|-
|<math>\mathbb{F}^n</math>
|<math>(1,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,...,0,1)</math>
|-
|<math>\mathbb{F}^{m\times n}</math>
|<math>
\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},...,
\begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},...,
\begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}
</math>
|-
|<math>\mathbb{F}_n[x]</math>
|<math>1,x,x^2,...,x^n</math>
|-
|}

'''דוגמא.'''
חשב את הקואורדינטות של הוקטור <math>v=1+2x-x^2</math> לפי הבסיס הסטנדרטי S של <math>\mathbb{R}_3[x]</math>. למעשה הפולינום כמעט מוצג כצירוף לינארי של איברי הבסיס:

<math>v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4 = 1\cdot 1 + 2\cdot x + (-1)\cdot x^2 + 0\cdot x^3</math>.

לפיכך <math>[v]_S=(1,2,-1,0)</math>.

'''דוגמא.'''
חשב את הקואורדינטות של הוקטור <math>(a,b,c)</math> לפי הבסיס הסטנדרטי S של <math>\mathbb{F}^n</math>. קל לראות ש <math>[v]_S = (a,b,c)</math>.

'''דוגמא.'''
<math>V=\mathbb{R}^2,B=\{(1,1),(1,-1)\}</math> מצא את הקואורדינטות של הוקטור <math> v=(a,b)</math> לפי הבסיס B. במקרה הכינותי מראש-

<math>v=\frac{a+b}{2}\cdot (1,1)+\frac{a-b}{2}\cdot (1,-1)</math>

ולכן לפי ההגדרה <math>[v]_B=(\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2})</math>

אנו רואים שאין זה קל למצוא את הקואורדינטות לפי בסיס כלשהו שאינו הסטנדרטי.

=== תרגיל ===

יהא <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> ויהי <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> בסיס לו. יהיו <math>u_1,...,u_k\in V</math> וקטורים כלשהם וסקלארים <math>\alpha_i,\dots ,\alpha_k \in \mathbb{F}</math>. הוכח:

<math>\sum_{i=1}^k\alpha_i[u_i]_B =[\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i]_B</math>

הוכחה:

מ"ל את הטענה <math>[u_1]_B+[u_2]_B =[u_1+u_2]_B</math> ואת הטענה <math>\alpha[u_1]_B=[\alpha u_1]_B</math> (ואז המעבר לצ"ל כללי נעשה ע"י אינדוקציה)

נסמן <math>u_1=a_1v_1+...+a_nv_n, u_2=b_1v_1+...+b_nv_n</math> אזי <math>u_1+u_2=(a_1+b_1)v_1+...+(a_n+b_n)v_n</math> ומתקיים

<math>[u_1]_B+[u_2]_B =\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ \vdots \\ a_n+b_n\end{pmatrix}
[u_1+u_2]_B</math>

בנוסף <math>\alpha u_1=\alpha_1a_1v_1+...+\alpha a_nv_n</math> ומתקיים

<math>\alpha[u_1]_B= \alpha \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha a_2 \\ \vdots \\\alpha a_n\end{pmatrix} =
[\alpha u_1]_B</math>

מש"ל

'''מסקנה:'''

2. <math>u_1,...,u_k</math> בת"ל אם"ם <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל

3. <math>w\in span\{u_1,...,u_k\}</math> אם"ם <math>[w]_B\in span\{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}</math>

הוכחה:

2. <math>u_1,...,u_k</math> בת"ל

אמ"מ

<math>\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0</math>

אמ"מ

<math>[\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i]_B=[0]_B=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0</math>

אמ"מ

<math>\sum_{i=1}^k\alpha_i[u_i]_B=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0</math>

אמ"מ

<math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל

3. ברעיון דומה

מה בעצם המסקנה אומרת? שכל בדיקה/חישוב של תלות לינארית או פרישה '''בכל''' מרחב וקטורי (מטריצות, פולינומים, פונקציות) יכול בעצם להעשות במרחב הוקטורי המוכר והנוח <math>\mathbb{F}^n</math>.

ועוד הגדרה לפני ההמשך, עד כה דיברנו "רק" על ייצוג של וקטורים לפי בסיס. אפשר להכליל בפשטות לכל המרחב הוקטורי. הנה ההגדרה:

'''הגדרה''' :
יהא <math>V</math> מ"ו (או תת מרחב) ויהי <math>B</math> בסיס לו. אזי מרחב הקורדיאנטות (של <math>V</math> לפי בסיס <math>B</math>) הוא

<math>[V]_B = \{[v]_B \; | \; v\in V\}</math>

'''הערה :''' יהא <math>V</math> מ"ו, <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים ו <math>B</math> בסיס. אזי
#<math>[W_1 \cap W_2]_B = [W_1]_B \cap [W_2]_B</math>
#<math>[W_1 + W_2]_B = [W_1]_B + [W_2]_B</math>

== דוגמאות ואלגוריתמים==
=== חיתוך תת מרחבים ===
===='''תרגיל 7.31''' ====

נגדיר שני תתי מרחבים של <math>\mathbb{R}_3[x]</math>:

<math>V=\{p(x)|p(2)=0\}</math>, ו <math>U=\{p(x)|p(1)=0\}</math>

מצא את המימד של חיתוך המרחבים.

'''פתרון.'''

בתרגיל זה נשתמש בשיטה נפוצה ביותר. אנו מעוניינים לתאר את המרחבים הוקטוריים באופן קל יותר לעבודה מאשר התיאור לעיל; לכן ננסה לתאר את תתי המרחבים הללו כמרחבי פתרון של מערכת הומוגנית (אחת מהדרכים להצגת תת מרחב מתירגול קודם). המשתנים שלנו במערכת המשוואות יהיו '''המקדמים''' של הפולינומים.

נביט ב <math>V</math>. זהו אוסף כל הפולינומים ש2 הוא שורש שלהם. יהי פולינום כללי <math>p(x)=a+bx+cx^2+dx^3</math>, הוא שייך ל<math>V</math> אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית: <math>a+2b+4c+8d=0</math>. לכן <math>V=\{a+bx+cx^2+dx^3|a+2b+4c+8d=0\}</math> אם נעבוד עם הבסיס הסטנדרטי <math>S</math> נקבל כי

<math>[V]_S=\{\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |a+2b+4c+8d=0\}</math>

באופן דומה הפולינום שייך ל<math>U</math> אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית <math>0=a+b+c+d</math>. ומרחב הקורדינאטות הוא

<math>[U]_S=\{\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |a+b+c+d=0\}</math>

את החיתוך <math>[V]_S\cap[U]_S</math> קל למצוא! ראינו איך עושים זאת זה פשוט שווה ל
<math>\{\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix} = 0 \}</math>

נדרג את המטריצה ונמצא את הפתרון:

<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 0 & -1 & -3 & -7 \end{pmatrix} \to
\\
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & -1 & -3 & -7 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & 1 & 3 & 7 \end{pmatrix}
</math>

ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(2t+6s,-3t-7s,t,s)</math>, ולכן הבסיס הינו <math>(2,-3,1,0),(6,-7,0,1)</math>.

נחזור לצורה הפולינומית לקבל את התשובה הסופית:

<math>U\cap V = sapn \{v_1, v_2 \; | \; [v_1]_s = (2,-3,1,0), [v_2]_s = (6,-7,0,1) \} = span\{2-3x+x^2,6-7x+x^3\}</math>

====אלגוריתם למציאת חיתוך בין שני תתי מרחבים U,W====
ישנן שתי שיטות לחשב את החיתוך, נתחיל בראשונה (שביצענו הרגע, למעשה):
# החלף את <math>U,W</math> במרחב הקורדינאטות שלהם.
#מצא מערכת משוואות המתארת את <math>U</math> ומערכת משוואות המתארת את <math>W</math>
#פתור מערכת אחת המכילה את כל המשוואות משתי המערכות וקבל את החיתוך
# חזור ל <math>U,W</math> המקוריים.

שיטה שנייה:
# החלף את <math>U,W</math> במרחב הקורדינאטות שלהם.
# הצג את המרחבים כ <math>span(?)</math>
#כתוב צירוף לינארי כללי ב<math>U</math> וצירוף לינארי כללי ב<math>W</math>
#השווה את הצירופים ופתור מערכת משוואות על '''הסקלרים'''
#הצב את הסקלרים שקיבלת בצירוף הלינארי וקבל את החיתוך
# חזור ל <math>U,W</math> המקוריים.

=====תרגיל ======

מצא את החיתוך בין תתי המרחבים הבאים בשיטה השנייה לעיל.

<math>B=\operatorname{span}\left (\Big\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\Big\}\right ),
C=\operatorname{span}\left ( \Big\{\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}\Big\}\right )</math>

'''פתרון.'''

(קחו נשימה עמוקה) יהיו סקלרים a,b,c,x,y,z, וקטור הוא בחיתוך אם"ם הוא צירוף לינארי של שתי הקבוצות הפורשות:

<math>a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}</math>

במרחב הקורדינאטות (עם הבסיס הסטדנדרטי <math>S</math>, נקבל את השיוון

<math>a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 \\0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}</math>

לכן מערכת המשוואות '''על הסקלרים''' הינה:

<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -3 & -1 & -1 & | & 0 \\
0 & 1 & 0 & -2 & -4 & -1 & | & 0 \\
0 & 0 & 1 & -4 & 1 & -1 & | & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 3 & -4 & 2 & | & 0 \\

\end{pmatrix}</math>

נדרג ונמצא את הפתרונות (שימו לב: מספיק למצוא רק את x,y,z או רק את a,b,c מכיוון שבהנתן צירוף לינארי של איברי C שנותן את החיתוך אין צורך להמשיך (כמו כן לגבי B).)

<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -3 & -1 & -1 & | & 0 \\
0 & 1 & 0 & -2 & -4 & -1 & | & 0 \\
0 & 0 & 1 & -4 & 1 & -1 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -5 & 1 & | & 0 \\

\end{pmatrix}</math>

במקרה זה קל יותר למצוא את x,y,z; המשתנים החופשיים הינם x,z ומתקיים z=5y. ולכן הצ"ל הכללי בחיתוך הינו:

<math>[B]_S \cap [C]_S=
\Big\{x\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+5y\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}\Big\}= \\
\Big\{x\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}6 \\ 9 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}\Big\}=
span\Big\{\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\-3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}6 \\ 9 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}\Big\}
</math>

אם נחזור למרחבים המקוריים נקבל כי

<math>B\cap C=span\Big\{\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}6 & 9 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}\Big\}</math>

=== תלות לינארית ===
'''דוגמא.'''

האם הפולינומים <math>v_1=1+x^2,v_2=1-x,v_3=x+x^2</math> תלויים לינארית?

דבר ראשון, נעבור למרחב הקואורדינטות. מכיוון שבחירת הבסיס היא לשיקולנו, נבחר את הבסיס הסטנדרטי S של הפולינומים איתו קל לעבוד. מתקיים ש <math>[v_1]_S=(1,0,1),[v_2]_S=(1,-1,0),[v_3]_S=(0,1,1)</math>

הוכחנו בשיעור שעבר שוקטורים "רגילים" ת"ל אם"ם המטריצה שהם השורות שלה אינה הפיכה אם"ם הצורה המדורגת של המטריצה מכילה שורת אפסים. לכן, נשים את וקטורי הקואורדינטות בשורות מטריצה ונדרג.

<math>
\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}
\xrightarrow[]{R_3-R_1,R_3+R_2}
\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

לכן וקטורי הקואורדינטות תלויים לינארית ולכן הפולינומים עצמם תלויים לינארית.

דרך נוספת: נשים את הוקטורים בעמודה של מטריצה <math>A</math>. צ"ל של עמודות <math>A</math> זה פשוט <math>Ax</math>. ולכן הוקטורים בת"ל אמ"מ הפתרון היחידי למערכת <math>Ax=0</math> (צ"ל שמתאפס) הוא הפתרון הטריאלי (הצ"ל הטריאלי)

<math>
\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \to
\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} \to
\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \
</math>

קיבלנו שיש משתנים חופשיים ולכן יש פתרון לא טרויאלי ולכן הוקטורים תלויים לינארית!

נסכם את התהליך:

====אלגוריתם לבדיקת תלות לינארית בין וקטורים====
#הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
#שים את וקטורי הקואורדינטות ב'''שורות''' מטריצה A
#הבא את המטריצה לצורה מדורגת
#אם באיזה שלב קיבלת שורת אפסים סימן שהוקטורים תלויים לינארית
#אם הגעת לצורה מדורגת ללא שורת אפסים סימן שהוקטורים בלתי תלויים לינארית

ובדרך הנוספת
#הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
#שים את וקטורי הקואורדינטות ב'''עמודות''' מטריצה A
# בדוק אם יש פתרון לא טריאלי למערכת <math>Ax=0</math>
# אם יש אז הם תלויים ואם אין אז הם בת"ל

=== צירופים לינאריים ===
'''דוגמא.'''
האם המטריצה <math>v=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}</math> היא צ"ל של המטריצות
<math>
v_1=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},
v_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix},
v_3=\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 10 & 10\end{pmatrix}
</math>?
אם כן, הצג אותה כצירוף לינארי שלהן.

פתרון: נעבור דבר ראשון למרחב הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי <math>S=\Big\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\Big\}</math>

נקבל <math>[v]_S=(1,2,3,4),[v_1]_S=(1,1,0,0),[v_2]_S=(1,0,2,1),[v_3]_S=(2,2,10,10)</math>.

למדנו בשיעור שעבר שוקטור b נפרש על ידי וקטורים מסויימים אם"ם קיים פתרון למערכת Ax=b כאשר A היא המטריצה שעמודותיה הם אותם וקטורים. הפתרון x הוא וקטור הסקלרים מהצירוף הלינארי. לכן, אנו רוצים לדעת האם קיים פתרון למערכת ואם כן מהו:

<math>\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 10\\ 0 & 1 & 10\end{pmatrix} x = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \\4 \end{pmatrix}</math>

קל לפתור ולגלות ש <math>x=(1,-1,\frac{1}{2})</math> מקיים את המערכת ולכן מתקיים <math>v=v_1-v_2+\frac{1}{2}v_3</math>

נסכם:

====אלגוריתם לחישוב צירוף לינארי====
#נתון וקטור b וקבוצת וקטורים. העבר את כולם לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
#פתור את המערכת Ax=b כאשר '''עמודות''' A הינן וקטורי הקואורדינטות של קבוצת הוקטורים הפורשים
#אם אין פתרון, b לא נפרש על ידי האחרים
#אם קיים פתרון x אזי הוא מכיל את הסקלרים של הצירוף הלינארי בהתאם לסדר העמודות בA

==מטריצות מעבר בין בסיסים==
ראינו שקל מאד למצוא קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי, נשתמש בהנחה הזו בהמשך. אנו מעוניינים לדעת כיצד לחשב קואורדינטות לפי בסיס כלשהו, לאו דווקא סטנדרטי.

'''משפט:''' יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>E,F</math> בסיסים לו. אזי '''קיימת''' מטריצה '''יחידה''' המסומנת <math>[I]^E_F</math> המקיימת את הפסוק הבא:

<math>\forall v\in V: [I]^E_F[v]_E=[v]_F</math>

נסמן <math>E=\{v_1,...,v_n\}</math> ו <math>F=\{w_1,...,w_n\}</math>. אזי מתקיים ש<math>[I]^E_F</math> הינה המטריצה שעמודותיה הן <math>[v_i]_F</math>

'''דוגמא.'''
יהא <math>V=\mathbb{R}^2</math> ושני בסיסים
<math>E=\{v_1=\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \}</math>
ו<math>F=\{w_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},w_2 = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}\}</math>

נמצא את <math>[I]^E_F</math>.

מתקיים כי
<math>
v_1 = \mathbf{5}w_1-\mathbf{2}w_2 \\
v_2 = -\mathbf{1}w_1+\mathbf{1}w_2
</math>

לכן

<math>
[I]^E_F=
\begin{pmatrix} 5& -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}
</math>

'''תרגיל:'''

הוכח ש <math>[I]^S_B[I]^A_S=[I]^A_B</math>. מכיוון שאנו יודעים שמטריצה המעבר הינה יחידה, מספיק להראות שהכפל מקיים את הפסוק מההגדרה:

<math>\forall v\in V: [I]^S_B[I]^A_S[v]_A=[I]^S_B[v]_S=[v]_B</math>

'''משפט:''' לכל שני בסיסים E,F מטריצת המעבר הינה מטריצה הפיכה ומתקיים <math>([I]^E_F)^{-1}=[I]^F_E</math>

מסקנה:

===אלגוריתם למציאת מטריצת מעבר בין '''כל''' שני בסיסים E,F===
#בחר בסיס סטנדרטי S מתאים למרחב שלך
#מצא את מטריצת המעבר <math>[I]^E_S</math>. זה קל מאד שכן יש למצוא את הקואורדינטות של איברי הבסיס E לפי הבסיס הסטנדרטי S
#מצא את מטריצת המעבר <math>[I]^F_S</math>.
#הפוך את המטריצה האחרונה לקבל <math>([I]^F_S)^{-1}=[I]^S_F</math>
#כפול את המטריצות על מנת לקבל את התוצאה הסופית <math>[I]^S_F[I]^E_S=[I]^E_F</math>

====דוגמא:====

<math>V=\mathbb{R}_2[x]</math> מצא את <math>[I]^E_F</math> כאשר

<math>E=\{1+x, x+x^2, x^2\}, F=\{x,1+x,1+2x^2\}</math>

פתרון:

נסמן <math>S</math> הבסיס הסטנדרטי ואז
<math>
[I]^E_S=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix},

[I]^F_S=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
</math>

אחרי חישובים מקבלים כי

<math>[I]^S_F=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}^{-1} =

\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0.5 \\
1 & 0 & -0.5 \\
0 & 0 & 0.5
\end{pmatrix}
</math>

ולכן

<math>[I]^E_F=[I]^S_F[I]^E_S=

\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0.5 \\
1 & 0 & -0.5 \\
0 & 0 & 0.5
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
=

\begin{pmatrix}
0 & 1.5 & 0.5 \\
1 & -0.5 & -0.5 \\
0 & 0.5 & 0.5
\end{pmatrix}

</math>

====תרגיל====

תהא
<math>
A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
1 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
</math>

ובסיס

<math>
E =
\{
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}
\}
</math>

מצאו בסיס <math>F</math> כך ש <math>A=[I]^E_F</math>

פתרון:

נסמן <math>F=\{v_1,v_2,v_3\}</math>

נחשב ונמצא כי

<math>
[I]^F_E= A^{-1} =
\begin{pmatrix}
-4/3 & 1/3 & 1 \\
2/3 & 1/3 & -2 \\
1/3 & -1/3 & 1 \\
\end{pmatrix}
</math>

מהגדרה נקבל כי

<math>
v_1 =
-4/3
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}+
2/3
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}+
1/3
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-2/3 \\
-4/3 \\
1 \\
\end{pmatrix},

\\
v_2 =
1/3
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}+
1/3
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}+
-1/3
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2/3 \\
1/3 \\
0 \\
\end{pmatrix},
\\
v_3 =
1
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}+
-2
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}+
1
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
-1 \\
\end{pmatrix}

</math>