משפט קיילי

2025-04-21T05:55:34Z

Danielom: A_4 לא ישוכן ב A_12 כי V_4 לא ציקלית?

'''משפט קיילי''' קובע שכל [[חבורה]] (סופית) אפשר לשכן בחבורת סימטריות. זהו הוא אחד המשפטים הבסיסיים בתורת החבורות, בכך שהוא מראה שהאקסיומות של המושג המופשט מספיק חזקות כדי שכל חבורה תהיה למעשה חבורה של [[תמורה|תמורות]], כלומר, חבורה קונקרטית שאפשר לחשב בה באופן ישיר.

== ניסוח המשפט ==

תהי G חבורה. אז לכל איבר g, הפונקציה <math>\ \ell_g : x \mapsto gx</math> היא תמורה על אברי G, וההתאמה <math>\ g \mapsto \ell_g</math> היא [[שיכון]] של G לתוך [[חבורת תמורות|חבורת התמורות]] <math>\ S_G</math>.

באופן מפורש יותר, אפשר לשכן את G לחבורת התמורות <math>\ S_n</math> כאשר <math>\ n = |G|</math>. לשם כך יש למספר את אברי החבורה, <math>\ G = \{g_1,\dots,g_n\}</math> (מקובל להניח ש-<math>\ g_1=1</math>, אבל זה לא הכרחי), ואז האיבר g עובר לתמורה השולחת את i ל-j, כאשר <math>\ g_j = g g_i</math>.

== הערות ==

1. '''העידון של משפט קיילי''' מטפל במקרה שבו לחבורה G יש תת-חבורה H מ[[אינדקס של תת-חבורה|אינדקס]] n. במקרה זה אפשר להגדיר לכל g בחבורה פונקציה <math>\ \ell_g : xH \mapsto gxH</math>, שהיא תמורה על קבוצת הקוסטים השמאליים <math>\ G/H = \{xH : x \in G\}</math>. ההתאמה <math>\ g \mapsto \ell_g \in S_{G/H}</math> היא [[הומומורפיזם של חבורות]], שהגרעין שלו <math>\ core_G(H) = \cap_{g\in G} g H g^{-1}</math> הוא תת-חבורה נורמלית של G המוכלת ב-H.

2. מסקנה מ-1: לחבורה (אינסופית) שיש לה תת-חבורה מאינדקס סופי, יש גם תת-חבורה נורמלית מאינדקס סופי. הסיבה היא שחבורת המנה <math>\ G/core_G(H)</math> היא מאינדקס סופי.

3. במשפט שבסעיף הראשון (אבל לא בעידון שלו), מבנה המחזורים של כל <math>\ \ell_g</math> הוא "אחיד" - <math>\ G/o(g)</math> מחזורים מאורך <math>\ o(g)</math>. אפשר להשתמש בעובדה זו כדי להוכיח שהשיכון מעתיק את G לתוך [[חבורת התמורות הזוגיות]] אם ורק אם [[חבורת p-סילו|חבורת 2-סילו]] של G היא לא [[חבורה ציקלית|ציקלית]].

[[קטגוריה:89214]]
[[קטגוריה:88211]]

Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

משפט קיילי