Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7

2017-08-31T16:10:48Z

Eitan600: /* מרחבי המטריצות */

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]

==מרחבי המטריצות==
תהי מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>. מגדירים 4 מרחבים עיקריים:
*'''מרחב העמודות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות המטריצה A. נסמן <math>C(A)=span\{C_1(A),...,C_n(A)\}=\{Ax\; | \; x\in \mathbb{F}^n\}\leq\mathbb{F}^m</math>
*'''מרחב השורות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי שורות המטריצה A. נסמן <math>R(A)=span\{R_1(A),...,R_m(A)\}=\{A^tx\; | \; x\in \mathbb{F}^m\}=C(A^t)\leq\mathbb{F}^n</math>
*'''מרחב האפס''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math>. נסמן <math>N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\leq\mathbb{F}^n</math>
*'''מרחב האפס השמאלי''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>A^tx=0</math>. נסמן <math>N(A^t)=\{x\in\mathbb{F}^m|A^tx=0\}=\{x\in\mathbb{F}^m|x^tA=0\} \leq \mathbb{F}^m</math>

דוגמא:

<math>A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)</math> אזי

1. <math>C(A)=span\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
1
\end{array}\right)\}</math>

2.
<math>R(A)=span\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}\right)\}</math>

3. <math>N(A)=\{\left(\begin{array}{c}
0\\
t\\
0
\end{array}\right)\}
</math>

4. <math>N(A^{t})=\{0\}</math>

=== מרחב השורות ===
תרגיל: תהא <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> ותהא <math>E\in\mathbb{F}^{m\times m}</math> מטריצה הפיכה (למשל מכפלת מטריצות אלמנטריות שמדרגות את <math>A</math>).

הוכח <math>R(A)=R(EA)</math>.

הוכחה:

(<math>\supseteq</math>) יהא <math>(EA)^{t}x\in R(EA)</math> אזי

<math>(EA)^{t}x=A^{t}E^{t}x=A^{t}(E^{t}x)=A^{t}y\in R(A)</math>.

(<math>\subseteq</math>) יהא <math>A^{t}x\in R(A)</math> אזי

<math>A^{t}x=(E^{-1}EA)^{t}x= (EA)^tE^{-t}x = (EA)^ty \in R(EA)</math>

מסקנה: בפרט אם <math>E</math> מכפלה של מטריצות אלמנטריות המעבירות את <math>A</math> לצורה מדורגת/קנונית אז נקבל כי מרחב השורות של <math>A</math> שווה למרחב השורות של הצורה המדורגת/קנונית.

תרגיל/דוגמא:

תהא
<math>A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 3 & 3 & 5
\end{array}\right)</math>
מצא את <math>R(A)</math>.

פתרון: <math>\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 3 & 3 & 5
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>
.

כיוון שמרחב השורות של <math>A</math> שווה למרחב השורות לאחר דירוג נקבל ש

<math>
R(A)=span\{
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 0 & 1\end{array}\right)\}=\{\left(\begin{array}{c}
a\\
2a+b\\
3a\\
4a+b
\end{array}\right) \; | \; a,b\in \mathbb{R}\}
</math>

==== יישום: השלמה לבסיס ====
ראינו שמרחב השורות לא משתנה בדירוג. לכן כדי למצוא וקטור שאינו במרחב השורות, אפשר להסתכל הצורה המדורגת ולמצוא וקטור שאינו נמצא במרחב השורות של המדורגת.
כמו שראינו, אם <math>v\not\in span\{v_1,\dots, v_n\}</math> אזי <math>\{v_1,\dots v_n,v\}</math> בת"ל. ואם נמצא קבוצה בת"ל מקס' אזי היא בסיס.

דוגמא:

השלם את <math>
\{
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
\}
</math>

לבסיס.

נדרג

<math>
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}

</math>

ומכאן רואים כי

<math>
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>

אינו במרחב השורות. אם נוסיף אותו

<math>
\{
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\}
</math>

נקבל קבוצה בת"ל מגודל 4 ולכן בסיס

=== מרחב העמודות ===
את מרחב העמודות ניתן למצוא כמו את מרחב השורות ע"י מעבר ל <math>A^{t}</math>. נראה ע"י דוגמא עוד דרך:

דוגמא: מצא את מרחב העמודות של
<math>A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 3 & 3 & 5
\end{array}\right)</math>

פתרון: אחרי דירוג קיבלנו
<math>\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>

ניתן להוכיח את הטענה: מרחב העמודות נפרש ע"י העמודות במטריצה המקורית שמתאימות לעמודות ציר.

אצלנו בדוגמא שעמודות הציר הן עמודות מספר 1 ו - 2 נקבל כי מרחב העמודות הוא
<math>C(A)=span\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
2\\
1\\
3
\end{array}\right)\}
</math>

שימו לב שזה לא שווה למה שנפרש ע"י עמודות הציר של המטריצה המדורגת (כלומר מרחב העמודות "מתקלקל" בדירוג):

<math>
C(A)
\not=
span\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
2\\
1\\
0
\end{array}\right)\}
</math>
כי
<math>
\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
1
\end{array}\right)\notin span\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
2\\
1\\
0
\end{array}\right)
</math>

תרגיל: נסו להוכיח את הטענה שהשתמשנו בה בתרגיל. טענה: מרחב העמודות <math>C(A)=span \{C_{i_1}(A),\dots C_{i_r}(A)\}</math> כאשר <math>i_1,\dots i_r</math> אלו עמודות הציר במטריצה המדורגת.

הדרכה: השתמשו בעבודה <math>E</math> המטריצה המדרגת הפיכה ולכן בתליות ופרישה של עמודות לא מתקלקלים... (ניסוח לא פורמאלי)

'''משפט:''' <math>dim[R(A)]=dim[C(A)]</math>

'''הגדרה:''' הדרגה של <math>A</math> מוגדרת להיות <math>rank(A)=dim[R(A)]</math>

====אבחנה: מימדי מרחבים המטריצה והדרגה====

תהי <math>A</math> מטריצה. המספרים הבאים שווים (זה נובע מהחומר שלמדנו עד עכשיו):
*דרגת המטריצה
*מימד מרחב העמודות
*מימד מרחב השורות
*מספר השורות השונות מאפס בצורה הקנונית
*מספר האיברים הפותחים
*מספר עמודות הציר
*מספר המשתנים התלויים

המספרים הבאים שווים:
*מספר המשתנים החופשיים
*מימד מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית

מכיוון שמספר המשתנים החופשיים ועוד מספר המשתנים התלויים שווה לסך כל המשתנים, וזהו מספר העמודות במטריצה, נובע שדרגת המטריצה ועוד מימד מרחב הפתרונות שווים למספר העמודות.

כלומר '''משפט''' (הדרגה עבור מטריצות)

עבור <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מתקיים <math>rank(A)+\dim N(A) = n</math>

זיכרו זאת, בהמשך נוכיח משפט הדרגה הכללי

====תרגיל====
יהיו <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times p}</math> מטריצות

הוכח: <math>rank(AB)\leq rank(A),rank(B)</math>

הוכחה: ש"ל <math>dim[C(AB)]\leq dim[C(A)]</math>
נסמן <math>\{a_{1},\dots,a_{l}\}</math> בסיס למרחב העמודות.

בנוסף <math>C(AB)=span \{C_1(AB),\dots , C_p(AB)\}=span\{AC_{1}(B),\dots,AC_{p}(B)\}</math>
כיוון שלכל <math>i</math> מתקיים כי
<math>AC_{i}(B)</math> הוא צ"ל של עמודות <math>A</math>
מקבלים ש

<math>C(AB)=span\{AC_{1}(B),\dots,AC_{p}(B)\}\subseteq span\{a_{1},\dots,a_{l}\}=C(A)</math>

ולכן <math>dim[C(AB)]\leq dim[C(A)]</math>.

באופן דומה <math>dim[R(AB)]\leq dim[R(A)]</math> (בעזרת <math>dim[R(AB)]\leq dim[R(A)]</math>)

מסקנה: יהיו <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ו - <math>B</math> הפיכה אזי <math>rank(AB)=rank(A)</math>

הוכחה: <math>rank(A)=rank(ABB^{-1})\leq rank(AB)\leq rank(A)</math>

=== מרחב האפס ===
תרגיל: תהא <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> ותהא <math>E\in\mathbb{F}^{m\times m}</math> מטריצה הפיכה.

הוכח <math>N(A)=N(EA)</math>.

פתרון:

(<math>\supseteq</math>) יהא <math>x\in N(EA)</math> אזי <math>EAx=0</math> נכפיל ב <math>E^{-1}</math> משמאל ונקבל <math>Ax=0</math> כלומר <math>x\in N(A)</math>

(<math>\subseteq</math>) יהא <math>x\in N(A)</math> אזי <math>Ax=0</math> נכפיל ב <math>E</math> משמאל ונקבל <math>EAx=0</math> כלומר <math>x\in N(EA)</math>

אם ניקח <math>E</math> להיות המטריצה שמדרגת את <math>A</math> נקבל את

'''מסקנה:''' דירוג אל מקלקל את מרחב האפס.

תרגיל: מצא את מרחב האפס של
<math>A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 3 & 3 & 5
\end{array}\right)</math>.

פתרון: אחרי דירוג קיבלנו
<math>\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 3 & 2\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>
ולכן מרחב האפס הוא (<math>z=t,w=s</math>)

<math>
N(A)=
\{
\left(\begin{array}{c}
-2s-3t\\
-s\\
t\\
s
\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}
-3\\
0\\
1\\
0
\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}
-2\\
-1\\
0\\
1
\end{array}\right)
\; | \; t,s\in \mathbb{R}
\}

=span\{\left(\begin{array}{c}
-3\\
0\\
1\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-2\\
-1\\
0\\
1
\end{array}\right)\}</math>
.

====דוגמא נוספת====
מצא בסיס למרחב האפס של המטריצה <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}</math>

דבר ראשון, נדרג קנונית את המטריצה לקבל

<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

לפיכך המשתנה השלישי והרביעי הם חופשיים, נציב במקומם פרמטרים t,s והפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(-t-s,t,t,s)</math>. תמיד ניתן לפרק את הפתרון הכללי לסכום של וקטורים קבועים כפול הסקלרים שהם הפרמטרים: <math>t(-1,1,1,0) +s(-1,0,0,1)</math>. וקטורים קבועים אלה תמיד מהווים בסיס למרחב הפתרונות:
*אנו רואים שכל פתרון הוא צירוף לינארי של הוקטורים הללו עם הסקלרים שהם הפרמטרים (במקרה זה - t,s)
*וקטורים אלה תמיד בת"ל, שכן אם יש צירוף לינארי שלהם שמתאפס, מכיוון שהפרמטרים תמיד מופיעים לבדם בעמודה של המשתנה שלהם, הם חייבים להיות אפס

לכן הבסיס למרחב האפס הינו <math>\{(-1,0,0,1),(-1,1,1,0)\}</math>

=== מרחב האפס השמאלי ===

תרגיל: מצא מצא את מרחב האפס השמאלי של
<math>A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 3 & 3 & 5
\end{array}\right)
</math>

פתרון: צ"ל <math>N(A^{t})</math>. נדרג את <math>A^{t}</math>

<math>\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 3\\
3 & 0 & 3\\
4 & 1 & 5
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>

עבור <math>z=t</math> נקבל
<math>N(A^{t})=\{\left(\begin{array}{c}
-t\\
-t\\
t
\end{array}\right)
\; | \; t\in \mathbb{R}
\}

=span\{\left(\begin{array}{c}
-1\\
-1\\
1
\end{array}\right)\}</math>

===סיכום: אלגוריתם למציאת '''שלושת''' מרחבי המטריצה <math>Cׂ(A),R(A),N(A)</math>===
#דרג את המטריצה (ניתן גם לדרג קנונית אך לא חובה)
#'''השורות השונות מאפס''' מהוות בסיס למרחב השורה
#'''העמודות במטריצה המקורית''' המהוות עמודות ציר (כלומר יש איבר פותח בעמודה בצורה הקנונית), מהוות בסיס למרחב העמודה
#הצב פרמטרים במקום המשתנים החופשיים ומצא את הפתרון הכללי למערכת ההומוגנית ששווה למרחב האפס. ('''הוקטורים הקבועים''' מהווים בסיס )

'''שימו לב:''' בהנתן מרחב כלשהו (פולינומים, מטריצות, פונקציות) ניתן לבצע את החישובים על מרחב הקואורדינטות. כפי שראינו בשיעור שעבר, מציאת בסיס למרחבים רבים שקולה למציאת בסיס למרחב האפס של מטריצה מסוימת.

===תרגילים===
==== תרגיל ====
תהא <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>. ראינו כי <math>dimR(A)+dimN(A)=n</math>. במקרה שהשדה הוא ממשי נקבל תוצאה חזקה יותר.

תהא <math>A\in\mathbb{R}^{m\times n}</math>. נסמן <math>B_R</math> בסיס למרחב השורות ו <math>B_N</math> בסיס למרחב האפס אזי <math>B_R\cup B_N</math>
בסיס ל <math>\mathbb{R}^n</math> (שימו לב שזה אכן תוצאה יותר חזקה))

באופן שקול: הוכח כי לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{R}^{m\times n}</math> מתקיים <math>\mathbb{R}^n=R(A)\oplus N(A)</math>

'''פתרון.'''
מכיוון שהרגע ראינו כי סכום המימדים מקיים <math>dimR(A)+dimN(A)=n</math> לפי משפט המימדים מספיק להוכיח שהחיתוך בינהם הינו אפס.

יהא <math>v\in R(A)\cap N(A)</math> אזי <math>\exists w : A^tw=v, Av=0 </math> ולכן <math>AA^tw=0</math> נכפיל ב <math>w^t</math> משמאל
ונקבל כי <math>0=w^tAA^tw=(A^tw)^t(A^tw)=v^tv</math> זה גורר כי <math>v=0</math> (זיכרו כי במקרה הממשי <math>v^tv=\sum_{i=1}^nv_i^2</math>

כעת לפי משפט המימדים מתקיים

<math>\dim (R(A)+N(A))=\dim R(A)+\dim N(A) - \dim(R(A)\cap N(A)) = \dim R(A)+\dim N(A) =n</math>

כיוון ש <math>R(A)+N(A)\subseteq \mathbb{R}^n</math> מאותו מימד נקבל כי הם שווים.

'''הערה:'''
כיוון שהמשפט נכון לכל מטריצה, ניתן ליישמו גם על השיחלוף ולקבל כי <math>\mathbb{R}^m=C(A)\oplus N(A^t)</math>

לדוגמא עבור
<math>A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 3 & 3 & 5
\end{array}\right)</math> מצאנו כי

<math>B_{R}=\{\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
3\\
4
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\\
1
\end{array}\right)\},\,B_{C}=\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
2\\
1\\
3
\end{array}\right)\}, \\
B_{N}=\{\left(\begin{array}{c}
-3\\
0\\
1\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-2\\
-1\\
0\\
1
\end{array}\right)\}\,,B_{N(A^{t})}=\{\left(\begin{array}{c}
-1\\
-1\\
1
\end{array}\right)\}</math>

לפי המשפט
<math>\{\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
3\\
4
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-3\\
0\\
1\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-2\\
-1\\
0\\
1
\end{array}\right)\}</math>
בסיס ל <math>\mathbb{R}^{4}</math>
ו
<math>\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
2\\
1\\
3
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-1\\
-1\\
1
\end{array}\right)\}</math>
בסיס ל <math>\mathbb{R}^{3}</math>

==== תרגיל ====
תרגיל. יהיו <math>A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> כך ש <math>rank(A)+rank(B)>n</math>. הוכח <math>AB\not=0</math>

הוכחה: נניח בשלילה כי <math>AB=0</math>
כלומר לכל <math>i</math> מתקיים <math>C_i(AB)=AC_{i}(B)=0</math>

ומכאן ש <math>\forall i C_i(B)\in N(A)</math> ולכן <math>C(B)\subseteq N(A)</math>

<math>
rank(B)=dim(C(B))\leq dim(N(A))
\Leftarrow
</math>
ואז

<math>
rank(B)+rank(A)\leq dim(N(A))+rank(A)=n
\Leftarrow
</math>
סתירה לנתון.

==== תרגיל ====

תהא <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n} , B\in \mathbb{F}^{n\times p}</math>.

הוכח שאם עמודות <math>AB</math> בת"ל אז גם עמודות <math>B</math> בת"ל

הוכחה:

מהנתון <math>rank (AB)= p</math> ואז

<math>p = rank (AB)\leq rank B \leq p</math> ומכאן ש <math> rankB=p</math> כלומר עמודות B בת"ל

==== תרגיל ====

תהא <math>
A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & * \\
1 & * & 1 \\
* & 1 & * \\
\end{pmatrix}
</math>

נניח כי למערכת <math>Ax=0</math> יש 2 פתרונות בת"ל.

מצא את <math>A</math>

פתרון: מהנתון נקבל כי <math>\dim N(A)\geq 2</math> כיוון ש <math>A\neq 0</math> נקבל כי <math>\dim N(A)= 2</math>

לפי משפט הדרגה נקבל כי <math>rank(A)=1</math> כלומר כל העמודות ת"ל בראשונה (כי אין עמודת אפסים). לכן העמודה השניה היא כפולה של העמודה הראשנה וכן העמודה השלישית היא כפולה של העמודה הראשונה. מצורת המטריצה נקבל כי בעצם העמודה השניה שווה לעמודה הראשונה וכן השלישית ולכן

<math>
A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
</math>

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/5

2017-08-29T15:47:16Z

Eitan600: /* קריטריונים שקולים לבסיס */

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]

==צירופים לינאריים והמרחב הנפרש (span)==
'''הגדרה:''' יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיו <math>v_{1},v_{2}\dots,v_{n}\in V</math> ו <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{F}</math>
אזי ביטוי מהצורה <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}</math>
נקרא צירוף לינארי (צ"ל) של <math>v_{1},v_{2}\dots,v_{n}\in V</math>.

לדוגמא: <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>. אזי

<math>\pi\left(\begin{array}{c}
1\\
2
\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c}
-1\\
2
\end{array}\right)-\sqrt{3}\left(\begin{array}{c}
2\\
2
\end{array}\right)</math>

הוא צירוף לינארי.

הגדרה: '''המרחב הנפרש''' על ידי הוקטורים <math>v_1,...,v_n</math> מוגדר להיות '''קבוצת (אוסף) כל ה[[צירוף לינארי|צירופים הלינאריים]]''' של הוקטורים הללו. כלומר,

<math>span\{v_1,...,v_n\}=\{ a_1v_1+...+a_nv_n | a_1,...,a_n\in\mathbb{F}\}=\{v\in V|\exists a_1,...,a_n\in\mathbb{F}:a_1v_1+...+a_nv_n=v\}</math>.

באופן כללי: תהא <math>S\subseteq V</math> תת קבוצה של מ"ו (ייתכן קבוצה אין סופית) אזי

<math>span(S)=\{ a_1v_1+...+a_nv_n | n\in \mathbb{N}, \, a_1,...,a_n\in\mathbb{F}, \, v_1,\dots,v_n\in S\}</math>

באופן שקול <math>span(S)</math> הוא איחוד כל הצירופים הלינאריים של כל תתי הקבוצות הסופיות של <math>S</math>.

הערה:
<math>span(S)</math> הינו תמיד תת-מרחב כפי שקל להוכיח באמצעות הקריטריון המקוצר - צירוף לינארי של צירופים לינאריים הינו צירוף לינארי בעצמו. בנוסף הוא התת מרחבב הקטן ביותר (מינימום לפי יחס ההכלה) המכיל את הקבוצה אותה הוא פורש

כלומר אם ת"מ <math>W\leq V</math> מקיים <math>S\subseteq W</math> אזי <math>span(S)\subseteq W</math>

הוכחה
אם <math>v\in spanS</math> אזי קיימים וקטורים וסקלרים <math>v_1,...,v_k\in S</math>, <math>a_1,...,a_k\in\mathbb{F}</math> כך שמתקיים <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k</math>.
מתוך הנתון ש<math>S\subseteq W</math> נובע ש<math>v_1,...,v_k\in W</math> ולכן מתוך סגירות לכפל וסקלר וחיבור <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k\in W</math> משל.

'''הערה:''' אם <math>S=\emptyset</math> קבוצה ריקה אזי מגדירים פורמאלית כי <math>span(S)=\{0\}</math>

===תכונות ===
יהיה <math>V</math> מ"ו. יהיו <math>A,B\subseteq V</math> תתי קבוצות ו <math>W,U\leq V</math> תתי מרחבים. אזי
#<math>U+W=span\{U\cup W\}</math>, וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים.
# בתירגול הקודם ראינו כי <math>span\{v_1,\dots v_m\}+span\{v_{m+1},\dots v_{m+k}\}=span\{v_1,\dots v_{m+k}\}</math>
#<math>A\subseteq span(A)</math>
#<math>span(W)=W</math> (רק אם <math>W</math> ת"מ!)
# <math>A\subseteq B</math> אזי <math>span(A)\subseteq span(B)</math>
#מסקנה <math>A\subseteq span(B)</math> אזי <math>span(A)\subseteq span(B)</math> (הוכחה<math>span(A)\subseteq span(span(B))=span(B)</math>)

===תרגילים===
====תרגיל 1 ====
במרחב הוקטורי <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math> נגדיר
<math>S=\{\left(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
2\\
3
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-2\\
2
\end{array}\right)\}</math>

מצא עבור אילו <math>a,b\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי
<math>\left(\begin{array}{c}
a\\
b
\end{array}\right)\in span(S)
</math>

=====פתרון =====

שאלה שקולה: עבור אילו <math>a,b\in\mathbb{F}</math> קיימים סקלארים <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}</math> כך ש

<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}
2\\
3
\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}
-2\\
2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a\\
b
\end{array}\right)</math>

שזה בעצם לשאול האם למערכת
<math>\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -2 & a\\
1 & 3 & 2 & b
\end{array}\right)
</math>
יש פתרון.

נדרג ונבדוק

<math>\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -2 & a\\
1 & 3 & 2 & b
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -2 & a\\
0 & 1 & 4 & b-a
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -10 & 3a-2b\\
0 & 1 & 4 & b-a
\end{array}\right)</math>

כלומר יש פתרון למערכת (אפילו אינסוף פתרונות) ולכן לכל
<math>a,b\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי
<math>\left(\begin{array}{c}
a\\
b
\end{array}\right)\in span(S)
</math>

כלומר <math>span(S)=\mathbb{R}^{2}</math>

====תרגיל 2 ====
במרחב הוקטורי <math>V=\mathbb{R}^{2\times2}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math> נגדיר
<math>S=\{v_{1}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & 1
\end{array}\right),v_{2}=\left(\begin{array}{cc}
2 & 0\\
1 & 3
\end{array}\right),v_{3}=\left(\begin{array}{cc}
1 & -1\\
1 & 0
\end{array}\right)\}</math>

מהו <math>span(S)</math> ?

=====פתרון =====
שאלה שקולה: עבור אילו <math>a,b,c,d\in\mathbb{F}</math> קיימים סקלארים <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}</math> כך ש
<math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=\left(\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}\right)</math>

אם נייצג כל מטריצה באמצעות וקטור. למשל
<math>\left(\begin{array}{cc}
2 & 0\\
1 & 3
\end{array}\right)\leftrightarrow\left(\begin{array}{c}
2\\
0\\
1\\
3
\end{array}\right)</math>

נוכל להחליף את המשוואה לעיל במשואאה
<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}
1\\
1\\
0\\
1
\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}
2\\
0\\
1\\
3
\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}
1\\
-1\\
1\\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a\\
b\\
c\\
d
\end{array}\right)</math>

(שימו לב שאלו בדיוק אותם ארבעת המשוואות).

כעת נוכל פשוט לשאול האם למערכת
<math>\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & a\\
1 & 0 & -1 & b\\
0 & 1 & 1 & c\\
1 & 3 & 0 & d
\end{array}\right)</math>
יש פתרון

נדרג ונבדוק:

<math>\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & a\\
1 & 0 & -1 & b\\
0 & 1 & 1 & c\\
1 & 3 & 0 & d
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -1 & b\\
0 & 1 & 1 & c\\
1 & 3 & 0 & d\\
1 & 2 & 1 & a
\end{array}\right)\to\\\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -1 & b\\
0 & 1 & 1 & c\\
0 & 3 & 1 & d-b\\
0 & 2 & 2 & a-b
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -1 & b\\
0 & 1 & 1 & c\\
0 & 0 & -2 & d-b-3c\\
0 & 0 & 0 & a-b-2c
\end{array}\right)</math>

רואים שיש פתרון אמ"מ <math>a-b-2c=0</math>

לכן התשובה הסופית היא

<math>
span(S)=\{\left(\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}\right)\,|\,a-b-2c=0\}=

\{\left(\begin{array}{cc}
b+2c & b\\
c & d
\end{array}\right)\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} = \\

\{
b\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & 0
\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{cc}
2 & 0\\
1 & 0
\end{array}\right)+d\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)
\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} =

span\{\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
2 & 0\\
1 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)\}
</math>

כמו שרואים בפתרון הסופי, ניתן להביע את התת מרחב שלנו בכמה צורות.
הנה עוד דוגמא

====== הערה: ניתן להגדיר/להציג תת מרחב בכמה דרכים ======
בסעיף זה נראה מספר הצגות לאותו תת מרחב
נראה שישנן שלוש דרכים שונות להציג את אותו תת המרחב הוקטורי.

'''תרגיל.'''

יהי <math>V=\mathbb{R}^4</math>, הוכח ששלוש הקבוצות הבאות שוות:
*<math>span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math>

*<math>\{(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4 |(z-y-x=0)\and (w-y+x=0)\}</math>

*<math>\{\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)|t,s\in\mathbb{R}\}</math>

'''פתרון:'''

נראה שהקבוצה הראשונה שווה לשנייה. וקטור נמצא בspan של קבוצת הוקטורים אם"ם הוא צירוף לינארי שלה. לכן, <math>(x,y,z,w)\in span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math> אם"ם קיימים סקלרים a,b,c כך ש <math>(x,y,z,w)=a(0,1,1,1)+b(2,1,3,-1)+c(1,1,2,0)</math>. לכן, הוקטור הוא צ"ל אם"ם קיים פתרון למערכת המשוואות הלינארית על a,b,c כאלה. בעצם, אנו רוצים לאמר על מערכת משוואות פרמטרית מתי יש לה פתרון. נביט במערכת המשוואות:

<math>\begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 & | & x \\
1 & 1 & 1 & | & y \\
1 & 3 & 2 & | & z \\
1 & -1 & 0 & | & w \\
\end{pmatrix}</math>

נדרג את המערכת לקבל

<math>\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & y \\
0 & 2 & 1 & | & x \\
0 & 0 & 0 & | & z-y-x \\
0 & 0 & 0 & | & w-y+x \\
\end{pmatrix}</math>

'''זכרו שלא מעניין אותנו פתרון המערכת''', שכן אלו הסקלרים של הצירוף הלינארי. מה שמעניין אותנו הוא '''האם קיים פתרון למערכת''' ובמקרה זה קיים פתרון אם"ם <math>z-y-x=0</math> וגם <math>w-y+x=0</math> וזו בדיוק הקבוצה השנייה.

(שימו לב גם למשפט מתרגול שעבר - b נמצא במרחב העמודות של A אם ורק אם למערכת Ax=b יש פתרון. זה בדיוק מה שקיבלנו בתרגיל זה.)

כעת נראה את השיוויון בין הקבוצה השנייה לשלישית. המרחב הוא בעצם אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות הלינארית הנתונה. נדרג אותה והפעם '''נחפש את הפתרון הכללי'''.

<math>\begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 & 0 & | & 0 \\
1 & -1 & 0 & 1 & | & 0 \\
\end{pmatrix}</math>

<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & | & 0 \\
0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & 0 \\
\end{pmatrix}</math>

יש שני משתנים תלויים- x,y ושני משתנים חופשיים- z,w. נסמן z=t, w=s ונקבל פתרון כללי מהצורה <math>\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)</math>

==תלות לינארית==
דיברנו על כך שצירופים לינאריים הינם כל הסכומים (כולל כפל בסקלרים) של הוקטורים הנתונים. אם נסתכל על פרישה באופן גיאומטרי, אנו רואים שעל ידי וקטורים נפרשים: קו ישר, מישור, מרחב או משהו 4 מימדי ומעלה. כעת, אנו רוצים לראות אילו מהוקטורים "מיותר" כלומר, אם אנחנו יודעים ש10 וקטורים פורשים מישור מסויים, כמה וקטורים מהם אפשר להסיר ועדיין לקבל את אותו המישור? במקרה וניתן להסיר וקטור כלשהו, קבוצה הוקטורים תקרא '''תלויה לינארית'''.

באופן פורמאלי:

הגדרות:

יהא <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיו וקטורים <math>v_1,...,v_n\in V</math> כלשהם אזי
# ה'''צ"ל הטריוואלי''' הוא צירוף לינארי שכל המקדמים שווים 0 (ואז גם הצירוף שלהם שווה 0). כלומר הצירוף לינארי <math>0v_{1}+0v_{2}+\cdots0v_{n}=0</math> .
# נאמר ש <math>v_1,...,v_n\in V</math> '''בילתי תלויים לינארית''' אם אם הצ"ל ה'''יחידי''' שמתאפס הוא הצ"ל הטרוויאלי. באופן שקול אם יש צ"ל שמתאפס אזי הוא הצ"ל הטרוויאלי. ובסימונים: <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0 \Rightarrow \forall i \alpha_i = 0</math>
# <math>v_1,...,v_n\in V</math> יקראו '''תלויים לינארית''' אם הם לא בלתי תלויים לינארית. באופן שקול אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> לא כולם אפס כך שמתקיים <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>

הגדרה (הכלל): קבוצה <math>S\subseteq V</math> נקראת תלוייה לינארית אם קיימת בתוכה קבוצה סופית כלשהי של וקטורים, כך שוקטוריה תלויים לינארית לפי ההגדרה לעיל. [לא נתעסק בקורס זה בקבוצת אינסופיות בת"ל, אבל אתם יותר ממוזמנים לנסות לחשוב על מרחב וקטורי בעל קבוצה אינסופית בת"ל של וקטורים.]

'''הערה:''' הקבוצה הריקה <math>\emptyset \subseteq V</math> מוגדרת כקבוצה בת"ל.
===דוגמאות ===

====דוגמא 1====
<math>V=\mathbb{R}^{3}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>
<math>\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}\right)\}</math>
בת"ל כי

<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0
\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}\right)=0</math>

פירושו

<math>\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\alpha_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right)</math>

שזה גורר <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}=0</math>.

====דוגמא 2====

2. (דוגמא מייצגת) <math>V=\mathbb{R}^{3}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math>. האם הקבוצה
<math>\{\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-1\\
-3\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
-1\\
1
\end{array}\right)\}
</math>
בת"ל?

נתבונן ב
<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
1
\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}
-1\\
-3\\
0
\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}
0\\
-1\\
1
\end{array}\right)=0</math>
ונמיר אותו להצגה מטריצית

<math>\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\
2 & 1 & -1\\
1 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\alpha_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right)</math>

כעת השאלה שקולה האם יש פתרון לא טריאלי למערכת. נדרג ונבדוק

<math>\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\
2 & -3 & -1\\
1 & 0 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\
0 & -1 & -1\\
0 & 1 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>

לכל הצבה <math>z=t</math> נקבל
<math>
\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\alpha_{3}
\end{array}\right)=

\left(\begin{array}{c}
-t\\
-t\\
t
\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}
-1\\
-1\\
1
\end{array}\right)
</math>
פתרון לא טרוויאלי. כלומר הוקטורים הנ"ל ת"ל.

אם רוצים לראות את זה מפורש ניקח למשל <math>t=1</math> ונקבל צ"ל לא טריוואלי שמתאפס

<math>-1\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
1
\end{array}\right)-1\left(\begin{array}{c}
-1\\
-3\\
0
\end{array}\right)+1\left(\begin{array}{c}
0\\
-1\\
1
\end{array}\right)=0</math>

====דוגמא 3====
יהי <math>0\not=v\in V</math> אזי <math>\{v\}</math> קבוצה בת"ל.

לחילופין יהי <math>S=\{v_{1}\dots,v_{n}\}</math> כך ש <math>0_{V}\in S</math> אזי <math>S</math> ת"ל (ניקח צ"ל שכל המקדמים שווים אפס פרט למקדם של וקטור האפס שניקח להיות שווה 1).

====דוגמא 4====
<math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מרחב הפלינומים עד דרגה 2 מעל <math>\mathbb{R}</math> תהא <math>S=\{2+6x,x^{2},1+2x+2x^{2}\}</math>. האם <math>S</math> בת"ל?

פתרון: צריך לבדוק האם <math>\alpha_{1}(2+6x)+\alpha_{2}x^{2}+\alpha_{3}(1+2x+2x^{2})=0</math> גורר שזה הצ"ל הטריאלי.

לפי השוואת מקדמים נקבל כי : <math>2\alpha_{1}+\alpha_{3}=0,\,6\alpha_{1}+2\alpha_{3}=0,\,\alpha_{2}+2\alpha_{3}=0</math>

ובצורה מטריצית
<math>\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1\\
6 & 0 & 2\\
0 & 1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\alpha_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right)</math>

נבדוק אם למערכת יש פתרון לא טריאלי.

<math>\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1 \\
6 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1\\
0 & 0 & -1\\
0 & 1 & 2
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & -1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)</math>

כלומר התשובה היא שלמערכת אין פתרון לא טריאלי. כלומר <math>S</math> בת"ל

====דוגמא 5====

'''תרגיל.'''

האם הפולינומים <math>x^3-x+1,2x^2+x-1,x^3-1</math> תלויים לינארית?

'''פתרון:'''

<math>a(x^3-x+1)+b(2x^2+x-1)+c(x^3-1)=0</math> אם"ם

<math>(a+c)x^3+2bx^2+(b-a)x+(a-b-c)=0</math> אם"ם

<math>(a=-c)\and(2b=0)\and(b=a)\and(a=b+c)</math> אם"ם

<math>a=b=c=0</math>

אם כן, הצירוף הלינארי היחיד שמתאפס הינו הטריוויאלי ולכן הפולינומים בת"ל.

====דוגמא 6====
הקבוצה <math>\{1,x,x^2,x^3,\dots \}\subseteq \mathbb{F}[x]</math> היא בת"ל

===משפט===
<math>v_1,...,v_n\in V</math> ת"ל אם"ם אחד מהוקטורים הינו צירוף לינארי של האחרים

====הוכחה====
הוקטורים ת"ל אם"ם קיימים סקלרים כך ש <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>, ולפחות אחד מבין הסקלרים שונה מאפס. נניח '''ב.ה.כ.''' (בלי הגבלת הכלליות) ש <math>a_1\neq 0</math>. לכן <math>v_1=-\frac{a_2v_2+...+a_nv_n}{a_1}</math> ולכן <math>v_1=\frac{-a_2}{a_1}v_2+...+\frac{-a_n}{a_1}v_n</math>.

בכיוון הפוך נניח כי (ב.ה.ב) הוקטור הראשון <math>v_1=\sum_{i>1}\alpha_i v_i</math> הוא צ"ל של האחרים. אזי <math>\sum_{i>1}\alpha_i v_i-v_1=0</math>. כלומר קיבלנו צ"ל שמתאפס שיש מקדם אחד לפחות ששונה מאפס (המקדם של <math>v_1</math> הוא <math>-1</math>) על פי הגדרה הוקטורים ת"ל

'''שימו לב''' שיצא לנו שהוקטור הראשון תמיד צ"ל של האחרים, כמובן שזה לא נכון. זה נובע רק מטיעון ב.ה.כ שלנו, קל למצוא דוגמאות בהן הוקטור הראשון אינו צ"ל של האחרים.

ממשפט זה קל לנו לראות שהצלחנו בהגדרה שלנו לתלות:

'''מסקנה:''' אם <math>v_1</math> הינו צירוף לינארי של האחרים ניתן להסיר אותו במובן הבא: <math>span\{v_1,...,v_n\}=span\{v_2,...,v_n\}</math>.

===ושוב, בחזרה למערכות משוואות לינאריות===
====תרגיל - הקשר בין צירוף לינארי לבין פתרון מערכת משוואות לינאריות=====

יהיו <math> v_1,...,v_n\in \mathbb{F}^m</math> נגדיר <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> להיות המטריצה שעמודותיה הן <math> v_1,...,v_n</math> (כלומר <math>C_i(A)=v_i</math>).

יהיה <math>b\in \mathbb{F}^m</math> וקטור (פתרון).

הוכח כי:
1. <math>b\in span\{v_1,...,v_n\}</math> '''אם"ם''' קיים פתרון למערכת <math>Ax=b</math>

2. במקרה זה הפתרון <math>x</math> הינו וקטור הסקלרים של הצירוף הלינארי שנותן את b.
כלומר, כאשר <math>x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}</math> מתקיים <math>b=x_1v_1+...+x_nv_n</math>

3.נניח והוקטורים שייכים למרחב <math>\mathbb{F}^n</math> (כלומר <math>m=n</math> והמטריצה ריבועית). הוכח שקיים צירוף לינארי יחיד הנותן את <math>b</math> אם"ם המטריצה הינה הפיכה. מה ניתן להסיק על הוקטורים במקרה זה?

=====פתרון=====

1+2. ישירות מכפל עמודה-עמודה נקבל כי <math>Ax=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n</math>. לפיכך, ברור שקיים פתרון למערכת Ax=b אם"ם קיימים סקלרים כך ש <math>b=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n</math>.

אמנם התרגיל הזה טריוויאלי למדי אך '''חשוב מאד''' לזכור תוצאה זו, היא תשמש אותנו בהמשך רבות. בניסוח קליט: <math>Ax</math> '''הינה צירוף לינארי של עמודות <math>A</math> עם הסקלרים מ-<math>x</math>'''.

3. אם המטריצה הפיכה אזי <math>x=A^{-1}b</math> הוא הפתרון היחיד. ולהפיך אם קיים צירוף לינארי יחיד הנותן את <math>b</math> אזי אם נדרג את <math>A</math> קנונית נגיע למטריצת היחידה. זה אומר ש <math>A</math> הפיכה.

במקרה זה שהמטריצה הפיכה נסיק כי גם למערכת <math>Ax=0</math> יש פתרון יחיד שהוא <math>x=0</math>. כלומר צ"ל היחיד של עמודות <math>A</math> שמתאפס הוא הצ"ל הטריוויאלי. כלומר עמודות <math>A</math> בת"ל.

בנוסף, מכיוון שאנו יודעים שמטריצה הפיכה אם"ם המשולחפת שלה הפיכה, ניתן גם להסיק ש'''מטריצה הינה הפיכה אם"ם שורותיה בת"ל'''.

==בסיס ומימד==
'''הגדרה:''' יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי (או תת מרחב) מעל <math>\mathbb{F}</math>. קבוצה <math>B\subset V</math> תקרא בסיס אם
# <math>B</math> בת"ל
# <math>B</math> פורשת את המרחב, כלומר <math>span(B)=V</math>

'''הגדרה:''' המימד של <math>V</math> הוא <math>dim_{\mathbb{F}}V=|B|</math> (מספר האיברים ב <math>B</math>) כאשר <math>B</math> הוא בסיס.
אם <math>dim_{\mathbb{F}}V<\infty</math> אזי <math>V</math> יקרא נוצר סופית.

'''משפט:''' ההגדרה של מימד מוגדרת היטב ואינה תלויה בבחירת הבסיס. כלומר כל שתי בסיסים <math>B,B'</math> בעלי אותה עוצמה (בעלי אותו מספר איברים).

'''משפט:''' לכל מרחב וקטורי '''קיים''' בסיס

===דוגמאות ===
בסיסים סטנדרטים:

1.
<math>V=\mathbb{R}^{3}</math>
אזי
<math>B=\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}\right)\}</math>
הוא בסיס. (המימד 3)

בהכללה
הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}^{n}</math> הוא <math>B=\{e_i | 1\leq i \leq n\}</math> ("וקטורי היחידה")

2.
<math>V=\mathbb{C}^{3\times2}</math>
אזי
<math>B=\{\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
1 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 0\\
1 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 1\\
0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)\}</math>
הוא בסיס. (המימד הוא <math>3\cdot 2=6</math>)

בהכללה: הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}^{m\times n}</math> הוא <math>B=\{E_{i,j} | 1\leq i \leq m, \;1\leq j \leq n\}</math> ("מטריצות היחידה")

3.
<math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל. בסיס <math>B=\{1,x,x^{2}\}</math> (מימד 2+1)

בהכללה הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}_{n}[x]</math> הוא <math>B=\{1,x,x^{2},\cdots x^n \}</math>

4.
מרחב הפולינומים <math>\mathbb{F}[x]</math>. הבסיס <math>B=\{1,x,x^{2},x^{3},x^{4}\dots\}</math> הוא בסיס אינסופי.

5. לפי הגדרה, הבסיס למרחב האפס <math>\{0\}</math> הוא הקבוצה הריקה <math>B=\emptyset </math>

הערה: <math>\{0\}</math> '''אינו''' בסיס כי כל קבוצה המכילה את 0 היא תלויה לינארית

=== תכונה חשובה של בסיס ===

תרגיל: יהא <math>V</math> מרחב וקטורי, <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> בסיס.

אזי כל <math>v\in V</math> '''ניתן''' להציג כצ"ל של <math>B</math> '''בצורה יחידה'''.

הוכחה

יהי <math>v\in V</math>
#כיוון ש <math>B</math> פורשת את <math>V</math> קיים צ"ל של <math>B</math> ששווה ל <math>v</math>
# יחידות: נניח שני צ"ל של <math>B</math> שווים ל <math>\sum_{i=1}^n\beta_i v_i=v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i</math> נוכיח כי זהו אותו צ"ל (כלומר המקדמים שווים). אכן אם נעביר אגף נקבל כי <math>\sum_{i=1}^n(\alpha_i-\beta_i)v_i=0</math>. כיוון ש <math>B</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i (\alpha_i-\beta_i) = 0</math> ולכן <math>\forall i\; \alpha_i=\beta_i</math> כנדרש.

'''הגדרה''' יהא <math>V</math> מרחב וקטורי, <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> בסיס ויהי <math>v\in V</math> . ההצגה של <math>v</math> לפי בסיס <math>B</math> הוא וקטור המקדמים בצ"ל. כלומר
<math>[v]_B=
\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\vdots\\
\alpha_{n}
\end{array}\right)\in\mathbb{F}^{n}
</math>
אמ"מ
<math>v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i</math>

לפני שנעבור לדוגמאות יותר מסובכות נראה קריטריונים שקולים לבסיס

=== קריטריונים שקולים לבסיס ===

בהגדרה של תלות לינארית ראינו שאפשר לראות תלות לינארית בתור היכולת לזרוק וקטורים מבלי להשפיע על המרחב הנפרש.

הטענה הנ"ל באופן פורמאלי היא הטענה הבאה:

טענה: יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. תהא <math>S=\{v_{1},\dots v_{n}\}</math> קבוצה ונניח כי קיים <math>i</math> כך ש <math>v_i</math> תלוי באחרים.

אזי <math>span(S)=span(S\setminus \{v_i\})</math>

כמובן שלפעולה זו יש סוף - מתישהו לא ניתן לזרוק אף וקטור מבלי לגרוע מהמרחב הנפרש. הקבוצה שנשארנו איתה תהיה בסיס.

זוהי בניה "מלמעלה ללמטה". כלומר מתחילים עם <math>V</math> ו"זורקים" וקטורים כמה שניתן.

בניה נוספת היא בניה "מלמטה ללמעלה". מתחילים עם הקבוצה הריקה ''ומוסיפים'' וקטורים כך שהקבוצה המתקבלת היא בת"ל. כמובן שגם לפעולה זאת יש סוף (אחרי מספר צעדים השווה למימד של המרחב) - מתי שלא ניתן להוסיף אף וקטור מבלי לגרוע מ"בת"ליות" הקבוצה, הגענו לבסיס.

בניה זאת מתבססת על הטענה הבאה:

טענה:
יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> ותהא <math>S=\{v_{1},\dots v_{n}\}</math> קבוצה בת"ל.

אם קיים <math>v\in V\setminus span(S)</math> אז <math>S^{'}=\{v_{1},\dots v_{n},v\}</math> בת"ל גם כן.

הוכחה: נניח <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}+\alpha v=0</math>

<math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=-\alpha v\Leftarrow</math>

<math>\alpha=0\Leftarrow</math> כי אחרת נקבל ש <math>v\in span(S)</math> ע"י חילוק ב <math>-\alpha</math>

<math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0\Leftarrow</math>

<math>\alpha_{i}=0\Leftarrow</math> כי <math>S</math> בת"ל.

לסיכום:

'''משפט:'''
יהיה <math>B\subset V</math> אזי התנאים הבאים שקולים:
# <math>B</math> בסיס.
# <math>B</math> קבוצה בת"ל מקסימאלית
# <math>B</math> קבוצה פורשת את <math>V</math>- מינימאלית.

'''מסקנה חשובה''' ממפרק זה היא
# כל קבוצה <math>B</math> בת"ל ניתן '''להשלים''' לבסיס
# לכל קבוצה פורשת <math>S</math> קיימת '''תת קבוצה''' שהיא בסיס

(חידה מטופשת: אם ניקח את המימד של צירוף לינארי נקבל מנה טעימה. מהי?)

=== תרגיל ===
מצא בסיס למרחב הפתרונות של המערכת

<math>
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & -1\\
1 &1 &-1 &1\\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix}
= 0
</math>

פתרון: נדרג

<math>
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & -1\\
1 &1 &-1 &1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & -1\\
0 &2 & 0 & 2\\
\end{pmatrix}
\to \\
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & -1\\
0 &1 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 &0 &-1 &0\\
0 &1 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}

</math>

ולכן הפתרונות הן

<math>
\{
\begin{pmatrix}
s \\
-t\\
s\\
t
\end{pmatrix}

: t,s\in \mathbb{R}
\}

=span
\{
\begin{pmatrix}
1 \\
0\\
1\\
0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\
-1\\
0\\
1
\end{pmatrix}

\}

</math>

אלו נקראים ה'''פתרונות היסודיים''' והם מהווים בסיס למרחב הפתרונות

=== תרגיל ===
מצא בסיס לתת המרחב
<math>span
\{\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-1\\
-3\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
-1\\
1
\end{array}\right)\}
</math>
של
<math>V=\mathbb{R}^{3}</math>

פתרון:

כיוון שיש לנו כבר קבוצה פורשת, נותר רק ל"זרוק" את הוקטורים התלויים לינארית. נעשה זאת ע"י ע"י דירוג מטריצה

<math>\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\
2 & -3 & -1\\
1 & 0 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\
0 & -1 & -1\\
0 & 1 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>

כלומר הוקטור השלישי תלוי לינארית בשניים הראשונים ולכן

<math>span
\{\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-1\\
-3\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
-1\\
1
\end{array}\right)\}
=
span
\{\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-1\\
-3\\
0
\end{array}\right)
\}
</math>

וזהו בסיס כי הוקטורים האלה כבר בת"ל

===משפט השלישי חינם===
יהיה <math>V</math> מ"ו ותהי <math>S\subseteq V</math> תת קבוצה.
אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, השלישי מתקיים בהכרח (בחינם) ומתקיים ש <math>S</math> היא בסיס ל <math>V</math>:
# <math>S</math> בת"ל
#<math>spanS=V</math>
#<math>\#S=dimV</math> (מספר האיברים ב<math>S</math> שווה למימד של <math>V</math>.

==== תרגיל ====
תרגיל: <math>V=\mathbb{R}^{2\times2}</math> . השלם את
<math>S=\{v_{1}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & 1
\end{array}\right),v_{2}=\left(\begin{array}{cc}
2 & 0\\
1 & 3
\end{array}\right),v_{3}=\left(\begin{array}{cc}
1 & -1\\
1 & 0
\end{array}\right)\}</math>
לבסיס

פתרון:
ראינו כבר כי
<math>
span(S)=

\{\left(\begin{array}{cc}
b+2c & b\\
c & d
\end{array}\right)\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} =

span\{\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
2 & 0\\
1 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)\}
</math>

מכאן אפשר לראות בקלות כי
# <math>S</math> בת"ל. כי <math>S</math> פורשת את <math>span(S)</math> והמימד שלו 3 כמו גודל <math>S</math>. על פי השלישי חינם <math>S</math> בת"ל.
# <math> v_4= \left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right) \not\in span(S)</math> ולכן <math>S\cup \{v_4\}</math> בת"ל גם כן (כמו שהוכחנו באחד התרגילים).

כעת קיבלנו ש <math>B=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}</math> קבוצה בת"ל בת 4 איברים = <math>\dim V</math> על פי השלישי חינם <math>B</math> בסיס

=== תרגיל חשוב ===
יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיה <math>W\leq V</math> תת מרחב מאותו מימד סופי(נסמן <math>dim_{\mathbb{F}}V=dim_{\mathbb{F}}W=n</math>).

הוכח: <math>W=V</math>

פתרון:

נבחר <math>B=\{w_{1},\dots,w_{n}\}</math> בסיס ל <math>W</math>. בפרט מתקיים כי
# <math>span(B)=W</math>
# <math>B</math> בת"ל.

עפי השלישי חינם, כיוון ש <math>B</math> בת"ל + <math>\#B=n=\dim V</math> מתקיים כי <math>span(B)=V</math>. ומכאן ש <math>W=span(B)=V</math>

'''במילים: תת מרחב שמוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הם שווים'''

====תרגיל חשוב (חלק מ7.7), הוכחה נוספת====

נתון ש<math>\dim V=\dim W</math>. נניח בשלילה ש<math>V\neq W</math> ונראה שנקבל סתירה . מכיוון שנתון <math>W\subseteq V</math> העובדה ש<math>V\neq W</math>גוררת בהכרח שקיים וקטור <math>v\in V</math> כך ש <math>v\notin W</math> (זה תרגיל לוגי פשוט). נסמן dimW=dimV=n וניקח בסיס כלשהו לW (אנחנו יודעים שקיים כזה) <math>S=\{v_1,...,v_n\}</math>.

כעת, נוכיח ש<math>S\cup \{v\}</math> בהכרח בת"ל. נניח בשלילה שהיא כן תלוייה, לכן יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של <math>v_1,v_2,..,v_n,v</math> שמתאפס. נניח והמקדם של v שונה מאפס, לכן קל להראות שהוא צירוף לינארי של האחרים בסתירה לכך ש-v אינו שייך לW (הרי יש סגירות בW לצירופים לינאריים) לכן המקדם של v הינו אפס. כעת נשארנו עם צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס של <math>v_1,...,v_n</math> וזו סתירה לכך שהם בת"ל מתוקף הגדרתם כבסיס.

על כן, מצאנו קבוצה בת"ל המכילה n+1 וקטורים, בסתירה לכך שהמימד של W הוא n.

התוצאה של תרגיל זה, כאמור, חשובה מאד. אם W תת מרחב של V והוכחנו שהם מאותו המימד זה מספיק על מנת להגיד שהם שווים. אתם תדרשו בעצם לעשות הוכחות כאלה באמצעות מימדים לא פעם ואף לא פעמיים.

===תרגיל ===
יהא <math>V= \mathbb{R}_2[x]</math>. מצא בסיס לחיתוך

בין <math>W_1 =\{p(x)\in V \; | \; p(1)=0\}</math>

לבין <math>W_2 =\{p(x)\in V \; | \; p(2)=0\}</math>

==== פתרון ====

החיתוך הוא פשוט <math>W =\{p(x)\in V \; | \; p(1)=p(2)=0\}</math>.

מתקיים כי <math>a_0+a_1x+a_2x^2\in W</math> אמ"מ <math>a_0+a_1+a_2=0=a_0+2a_1+4a_2</math>.

רואים שזהו מערכת משוואות עם משתנה חופשי אחד (המערכת היא 2 משוואות עם 3 נעלמים) ולכן המימד של W הוא 1.

לפי משפט השלישי חינם מספיק למצוא <math>p(x)\in W</math> ואז הוא יהווה בסיס. הנה דוגמא <math>p(x)=(x-1)(x-2)</math>

===תרגיל 7.17===
יהא V מ"ו, ותהא B קבוצה המוכלת בV. הוכח שהתנאים הבאים שקולים:

(1) <math>B</math> בסיס עבור <math>V</math>

(2) וקטור האפס אינו שייך לB ולכל קבוצה <math>A\subseteq B</math> מתקיים <math>V=spanA\oplus span(B/A)</math>

====הוכחה====
<math>(2) \Leftarrow (1) </math>

נניח B בסיס לV, ברור מכך שB בת"ל שהוא אינו מכיל את אפס. תהי A קבוצה המוכלת בB נסמן ב.ה.כ <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> ו <math>A=\{v_1,...,v_j\}</math>. יש להוכיח בעצם שמתקיים <math>V=span\{v_1,...,v_j\}\oplus span\{v_{j+1},...,v_n\} </math>. לצורך זה יש להוכיח שני דברים:
*<math>span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\}=\{0\}</math>
*<math>V=span\{v_1,...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}</math>

(שימו לב שאם A ריקה, המשפט נובע בקלות ולכן לא נתייחס עוד למקרה קצה זה.)

התנאי הראשון: יהא <math>v\in span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\} </math> צ"ל <math>v=0</math>. מהגדרת החיתוך נובע כי קיימים סקלרים כך ש<math>a_1v_1+...+a_jv_j=v=b_{j+1}v_{j+1}+...+b_nv_n</math>. נעביר אגף ונקבל כי <math>a_1v_1+...+a_jv_j-b_{j+1}v_{j+1}-...-b_nv_n=0</math> כיוון ש <math>B</math> בת"ל נובע כי כל המקדמים שווים 0 ובפרט <math>v=0</math> כנדרש.

התנאי השני: <math>span\{v_1,...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}= span\{v_1,...,v_j,v_{j+1},...,v_n \}=span(B)=V</math>

<math>(1) \Leftarrow (2) </math>

מכיוון שזה נכון לכל קבוצה A המוכלת בB, בפרט זה נכון לקבוצה הריקה. לכן יוצא ש <math>V=span\phi\oplus span (B/\phi)=spanB</math> כלומר B פורש את V. נותר להראות שB בת"ל.

נניח בשלילה שB אינה בת"ל, לכן וקטור אחד ממנה u הוא צירוף לינארי של האחרים. נסמן בA את הנקודון שמכיל את u כלומר <math>A=\{u\}</math> ומכייון שבהכרח <math>u \neq 0</math> נקבל סתירה לתכונת הסכום הישר (חיתוך שכולל רק את ווקטור האפס)

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/5

2017-08-29T11:38:57Z

Eitan600: /* תכונות */

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]

==צירופים לינאריים והמרחב הנפרש (span)==
'''הגדרה:''' יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיו <math>v_{1},v_{2}\dots,v_{n}\in V</math> ו <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{F}</math>
אזי ביטוי מהצורה <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}</math>
נקרא צירוף לינארי (צ"ל) של <math>v_{1},v_{2}\dots,v_{n}\in V</math>.

לדוגמא: <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>. אזי

<math>\pi\left(\begin{array}{c}
1\\
2
\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c}
-1\\
2
\end{array}\right)-\sqrt{3}\left(\begin{array}{c}
2\\
2
\end{array}\right)</math>

הוא צירוף לינארי.

הגדרה: '''המרחב הנפרש''' על ידי הוקטורים <math>v_1,...,v_n</math> מוגדר להיות '''קבוצת (אוסף) כל ה[[צירוף לינארי|צירופים הלינאריים]]''' של הוקטורים הללו. כלומר,

<math>span\{v_1,...,v_n\}=\{ a_1v_1+...+a_nv_n | a_1,...,a_n\in\mathbb{F}\}=\{v\in V|\exists a_1,...,a_n\in\mathbb{F}:a_1v_1+...+a_nv_n=v\}</math>.

באופן כללי: תהא <math>S\subseteq V</math> תת קבוצה של מ"ו (ייתכן קבוצה אין סופית) אזי

<math>span(S)=\{ a_1v_1+...+a_nv_n | n\in \mathbb{N}, \, a_1,...,a_n\in\mathbb{F}, \, v_1,\dots,v_n\in S\}</math>

באופן שקול <math>span(S)</math> הוא איחוד כל הצירופים הלינאריים של כל תתי הקבוצות הסופיות של <math>S</math>.

הערה:
<math>span(S)</math> הינו תמיד תת-מרחב כפי שקל להוכיח באמצעות הקריטריון המקוצר - צירוף לינארי של צירופים לינאריים הינו צירוף לינארי בעצמו. בנוסף הוא התת מרחבב הקטן ביותר (מינימום לפי יחס ההכלה) המכיל את הקבוצה אותה הוא פורש

כלומר אם ת"מ <math>W\leq V</math> מקיים <math>S\subseteq W</math> אזי <math>span(S)\subseteq W</math>

הוכחה
אם <math>v\in spanS</math> אזי קיימים וקטורים וסקלרים <math>v_1,...,v_k\in S</math>, <math>a_1,...,a_k\in\mathbb{F}</math> כך שמתקיים <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k</math>.
מתוך הנתון ש<math>S\subseteq W</math> נובע ש<math>v_1,...,v_k\in W</math> ולכן מתוך סגירות לכפל וסקלר וחיבור <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k\in W</math> משל.

'''הערה:''' אם <math>S=\emptyset</math> קבוצה ריקה אזי מגדירים פורמאלית כי <math>span(S)=\{0\}</math>

===תכונות ===
יהיה <math>V</math> מ"ו. יהיו <math>A,B\subseteq V</math> תתי קבוצות ו <math>W,U\leq V</math> תתי מרחבים. אזי
#<math>U+W=span\{U\cup W\}</math>, וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים.
# בתירגול הקודם ראינו כי <math>span\{v_1,\dots v_m\}+span\{v_{m+1},\dots v_{m+k}\}=span\{v_1,\dots v_{m+k}\}</math>
#<math>A\subseteq span(A)</math>
#<math>span(W)=W</math> (רק אם <math>W</math> ת"מ!)
# <math>A\subseteq B</math> אזי <math>span(A)\subseteq span(B)</math>
#מסקנה <math>A\subseteq span(B)</math> אזי <math>span(A)\subseteq span(B)</math> (הוכחה<math>span(A)\subseteq span(span(B))=span(B)</math>)

===תרגילים===
====תרגיל 1 ====
במרחב הוקטורי <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math> נגדיר
<math>S=\{\left(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
2\\
3
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-2\\
2
\end{array}\right)\}</math>

מצא עבור אילו <math>a,b\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי
<math>\left(\begin{array}{c}
a\\
b
\end{array}\right)\in span(S)
</math>

=====פתרון =====

שאלה שקולה: עבור אילו <math>a,b\in\mathbb{F}</math> קיימים סקלארים <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}</math> כך ש

<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}
2\\
3
\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}
-2\\
2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a\\
b
\end{array}\right)</math>

שזה בעצם לשאול האם למערכת
<math>\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -2 & a\\
1 & 3 & 2 & b
\end{array}\right)
</math>
יש פתרון.

נדרג ונבדוק

<math>\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -2 & a\\
1 & 3 & 2 & b
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -2 & a\\
0 & 1 & 4 & b-a
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -10 & 3a-2b\\
0 & 1 & 4 & b-a
\end{array}\right)</math>

כלומר יש פתרון למערכת (אפילו אינסוף פתרונות) ולכן לכל
<math>a,b\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי
<math>\left(\begin{array}{c}
a\\
b
\end{array}\right)\in span(S)
</math>

כלומר <math>span(S)=\mathbb{R}^{2}</math>

====תרגיל 2 ====
במרחב הוקטורי <math>V=\mathbb{R}^{2\times2}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math> נגדיר
<math>S=\{v_{1}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & 1
\end{array}\right),v_{2}=\left(\begin{array}{cc}
2 & 0\\
1 & 3
\end{array}\right),v_{3}=\left(\begin{array}{cc}
1 & -1\\
1 & 0
\end{array}\right)\}</math>

מהו <math>span(S)</math> ?

=====פתרון =====
שאלה שקולה: עבור אילו <math>a,b,c,d\in\mathbb{F}</math> קיימים סקלארים <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}</math> כך ש
<math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=\left(\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}\right)</math>

אם נייצג כל מטריצה באמצעות וקטור. למשל
<math>\left(\begin{array}{cc}
2 & 0\\
1 & 3
\end{array}\right)\leftrightarrow\left(\begin{array}{c}
2\\
0\\
1\\
3
\end{array}\right)</math>

נוכל להחליף את המשוואה לעיל במשואאה
<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}
1\\
1\\
0\\
1
\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}
2\\
0\\
1\\
3
\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}
1\\
-1\\
1\\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a\\
b\\
c\\
d
\end{array}\right)</math>

(שימו לב שאלו בדיוק אותם ארבעת המשוואות).

כעת נוכל פשוט לשאול האם למערכת
<math>\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & a\\
1 & 0 & -1 & b\\
0 & 1 & 1 & c\\
1 & 3 & 0 & d
\end{array}\right)</math>
יש פתרון

נדרג ונבדוק:

<math>\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & a\\
1 & 0 & -1 & b\\
0 & 1 & 1 & c\\
1 & 3 & 0 & d
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -1 & b\\
0 & 1 & 1 & c\\
1 & 3 & 0 & d\\
1 & 2 & 1 & a
\end{array}\right)\to\\\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -1 & b\\
0 & 1 & 1 & c\\
0 & 3 & 1 & d-b\\
0 & 2 & 2 & a-b
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -1 & b\\
0 & 1 & 1 & c\\
0 & 0 & -2 & d-b-3c\\
0 & 0 & 0 & a-b-2c
\end{array}\right)</math>

רואים שיש פתרון אמ"מ <math>a-b-2c=0</math>

לכן התשובה הסופית היא

<math>
span(S)=\{\left(\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}\right)\,|\,a-b-2c=0\}=

\{\left(\begin{array}{cc}
b+2c & b\\
c & d
\end{array}\right)\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} = \\

\{
b\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & 0
\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{cc}
2 & 0\\
1 & 0
\end{array}\right)+d\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)
\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} =

span\{\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
2 & 0\\
1 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)\}
</math>

כמו שרואים בפתרון הסופי, ניתן להביע את התת מרחב שלנו בכמה צורות.
הנה עוד דוגמא

====== הערה: ניתן להגדיר/להציג תת מרחב בכמה דרכים ======
בסעיף זה נראה מספר הצגות לאותו תת מרחב
נראה שישנן שלוש דרכים שונות להציג את אותו תת המרחב הוקטורי.

'''תרגיל.'''

יהי <math>V=\mathbb{R}^4</math>, הוכח ששלוש הקבוצות הבאות שוות:
*<math>span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math>

*<math>\{(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4 |(z-y-x=0)\and (w-y+x=0)\}</math>

*<math>\{\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)|t,s\in\mathbb{R}\}</math>

'''פתרון:'''

נראה שהקבוצה הראשונה שווה לשנייה. וקטור נמצא בspan של קבוצת הוקטורים אם"ם הוא צירוף לינארי שלה. לכן, <math>(x,y,z,w)\in span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math> אם"ם קיימים סקלרים a,b,c כך ש <math>(x,y,z,w)=a(0,1,1,1)+b(2,1,3,-1)+c(1,1,2,0)</math>. לכן, הוקטור הוא צ"ל אם"ם קיים פתרון למערכת המשוואות הלינארית על a,b,c כאלה. בעצם, אנו רוצים לאמר על מערכת משוואות פרמטרית מתי יש לה פתרון. נביט במערכת המשוואות:

<math>\begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 & | & x \\
1 & 1 & 1 & | & y \\
1 & 3 & 2 & | & z \\
1 & -1 & 0 & | & w \\
\end{pmatrix}</math>

נדרג את המערכת לקבל

<math>\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & y \\
0 & 2 & 1 & | & x \\
0 & 0 & 0 & | & z-y-x \\
0 & 0 & 0 & | & w-y+x \\
\end{pmatrix}</math>

'''זכרו שלא מעניין אותנו פתרון המערכת''', שכן אלו הסקלרים של הצירוף הלינארי. מה שמעניין אותנו הוא '''האם קיים פתרון למערכת''' ובמקרה זה קיים פתרון אם"ם <math>z-y-x=0</math> וגם <math>w-y+x=0</math> וזו בדיוק הקבוצה השנייה.

(שימו לב גם למשפט מתרגול שעבר - b נמצא במרחב העמודות של A אם ורק אם למערכת Ax=b יש פתרון. זה בדיוק מה שקיבלנו בתרגיל זה.)

כעת נראה את השיוויון בין הקבוצה השנייה לשלישית. המרחב הוא בעצם אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות הלינארית הנתונה. נדרג אותה והפעם '''נחפש את הפתרון הכללי'''.

<math>\begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 & 0 & | & 0 \\
1 & -1 & 0 & 1 & | & 0 \\
\end{pmatrix}</math>

<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & | & 0 \\
0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & 0 \\
\end{pmatrix}</math>

יש שני משתנים תלויים- x,y ושני משתנים חופשיים- z,w. נסמן z=t, w=s ונקבל פתרון כללי מהצורה <math>\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)</math>

==תלות לינארית==
דיברנו על כך שצירופים לינאריים הינם כל הסכומים (כולל כפל בסקלרים) של הוקטורים הנתונים. אם נסתכל על פרישה באופן גיאומטרי, אנו רואים שעל ידי וקטורים נפרשים: קו ישר, מישור, מרחב או משהו 4 מימדי ומעלה. כעת, אנו רוצים לראות אילו מהוקטורים "מיותר" כלומר, אם אנחנו יודעים ש10 וקטורים פורשים מישור מסויים, כמה וקטורים מהם אפשר להסיר ועדיין לקבל את אותו המישור? במקרה וניתן להסיר וקטור כלשהו, קבוצה הוקטורים תקרא '''תלויה לינארית'''.

באופן פורמאלי:

הגדרות:

יהא <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיו וקטורים <math>v_1,...,v_n\in V</math> כלשהם אזי
# ה'''צ"ל הטריוואלי''' הוא צירוף לינארי שכל המקדמים שווים 0 (ואז גם הצירוף שלהם שווה 0). כלומר הצירוף לינארי <math>0v_{1}+0v_{2}+\cdots0v_{n}=0</math> .
# נאמר ש <math>v_1,...,v_n\in V</math> '''בילתי תלויים לינארית''' אם אם הצ"ל ה'''יחידי''' שמתאפס הוא הצ"ל הטרוויאלי. באופן שקול אם יש צ"ל שמתאפס אזי הוא הצ"ל הטרוויאלי. ובסימונים: <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0 \Rightarrow \forall i \alpha_i = 0</math>
# <math>v_1,...,v_n\in V</math> יקראו '''תלויים לינארית''' אם הם לא בלתי תלויים לינארית. באופן שקול אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> לא כולם אפס כך שמתקיים <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>

הגדרה (הכלל): קבוצה <math>S\subseteq V</math> נקראת תלוייה לינארית אם קיימת בתוכה קבוצה סופית כלשהי של וקטורים, כך שוקטוריה תלויים לינארית לפי ההגדרה לעיל. [לא נתעסק בקורס זה בקבוצת אינסופיות בת"ל, אבל אתם יותר ממוזמנים לנסות לחשוב על מרחב וקטורי בעל קבוצה אינסופית בת"ל של וקטורים.]

'''הערה:''' הקבוצה הריקה <math>\emptyset \subseteq V</math> מוגדרת כקבוצה בת"ל.
===דוגמאות ===

====דוגמא 1====
<math>V=\mathbb{R}^{3}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>
<math>\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}\right)\}</math>
בת"ל כי

<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0
\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}\right)=0</math>

פירושו

<math>\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\alpha_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right)</math>

שזה גורר <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}=0</math>.

====דוגמא 2====

2. (דוגמא מייצגת) <math>V=\mathbb{R}^{3}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math>. האם הקבוצה
<math>\{\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-1\\
-3\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
-1\\
1
\end{array}\right)\}
</math>
בת"ל?

נתבונן ב
<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
1
\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}
-1\\
-3\\
0
\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}
0\\
-1\\
1
\end{array}\right)=0</math>
ונמיר אותו להצגה מטריצית

<math>\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\
2 & 1 & -1\\
1 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\alpha_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right)</math>

כעת השאלה שקולה האם יש פתרון לא טריאלי למערכת. נדרג ונבדוק

<math>\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\
2 & -3 & -1\\
1 & 0 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\
0 & -1 & -1\\
0 & 1 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>

לכל הצבה <math>z=t</math> נקבל
<math>
\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\alpha_{3}
\end{array}\right)=

\left(\begin{array}{c}
-t\\
-t\\
t
\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}
-1\\
-1\\
1
\end{array}\right)
</math>
פתרון לא טרוויאלי. כלומר הוקטורים הנ"ל ת"ל.

אם רוצים לראות את זה מפורש ניקח למשל <math>t=1</math> ונקבל צ"ל לא טריוואלי שמתאפס

<math>-1\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
1
\end{array}\right)-1\left(\begin{array}{c}
-1\\
-3\\
0
\end{array}\right)+1\left(\begin{array}{c}
0\\
-1\\
1
\end{array}\right)=0</math>

====דוגמא 3====
יהי <math>0\not=v\in V</math> אזי <math>\{v\}</math> קבוצה בת"ל.

לחילופין יהי <math>S=\{v_{1}\dots,v_{n}\}</math> כך ש <math>0_{V}\in S</math> אזי <math>S</math> ת"ל (ניקח צ"ל שכל המקדמים שווים אפס פרט למקדם של וקטור האפס שניקח להיות שווה 1).

====דוגמא 4====
<math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מרחב הפלינומים עד דרגה 2 מעל <math>\mathbb{R}</math> תהא <math>S=\{2+6x,x^{2},1+2x+2x^{2}\}</math>. האם <math>S</math> בת"ל?

פתרון: צריך לבדוק האם <math>\alpha_{1}(2+6x)+\alpha_{2}x^{2}+\alpha_{3}(1+2x+2x^{2})=0</math> גורר שזה הצ"ל הטריאלי.

לפי השוואת מקדמים נקבל כי : <math>2\alpha_{1}+\alpha_{3}=0,\,6\alpha_{1}+2\alpha_{3}=0,\,\alpha_{2}+2\alpha_{3}=0</math>

ובצורה מטריצית
<math>\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1\\
6 & 0 & 2\\
0 & 1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\alpha_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right)</math>

נבדוק אם למערכת יש פתרון לא טריאלי.

<math>\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1 \\
6 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1\\
0 & 0 & -1\\
0 & 1 & 2
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & -1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)</math>

כלומר התשובה היא שלמערכת אין פתרון לא טריאלי. כלומר <math>S</math> בת"ל

====דוגמא 5====

'''תרגיל.'''

האם הפולינומים <math>x^3-x+1,2x^2+x-1,x^3-1</math> תלויים לינארית?

'''פתרון:'''

<math>a(x^3-x+1)+b(2x^2+x-1)+c(x^3-1)=0</math> אם"ם

<math>(a+c)x^3+2bx^2+(b-a)x+(a-b-c)=0</math> אם"ם

<math>(a=-c)\and(2b=0)\and(b=a)\and(a=b+c)</math> אם"ם

<math>a=b=c=0</math>

אם כן, הצירוף הלינארי היחיד שמתאפס הינו הטריוויאלי ולכן הפולינומים בת"ל.

====דוגמא 6====
הקבוצה <math>\{1,x,x^2,x^3,\dots \}\subseteq \mathbb{F}[x]</math> היא בת"ל

===משפט===
<math>v_1,...,v_n\in V</math> ת"ל אם"ם אחד מהוקטורים הינו צירוף לינארי של האחרים

====הוכחה====
הוקטורים ת"ל אם"ם קיימים סקלרים כך ש <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>, ולפחות אחד מבין הסקלרים שונה מאפס. נניח '''ב.ה.כ.''' (בלי הגבלת הכלליות) ש <math>a_1\neq 0</math>. לכן <math>v_1=-\frac{a_2v_2+...+a_nv_n}{a_1}</math> ולכן <math>v_1=\frac{-a_2}{a_1}v_2+...+\frac{-a_n}{a_1}v_n</math>.

בכיוון הפוך נניח כי (ב.ה.ב) הוקטור הראשון <math>v_1=\sum_{i>1}\alpha_i v_i</math> הוא צ"ל של האחרים. אזי <math>\sum_{i>1}\alpha_i v_i-v_1=0</math>. כלומר קיבלנו צ"ל שמתאפס שיש מקדם אחד לפחות ששונה מאפס (המקדם של <math>v_1</math> הוא <math>-1</math>) על פי הגדרה הוקטורים ת"ל

'''שימו לב''' שיצא לנו שהוקטור הראשון תמיד צ"ל של האחרים, כמובן שזה לא נכון. זה נובע רק מטיעון ב.ה.כ שלנו, קל למצוא דוגמאות בהן הוקטור הראשון אינו צ"ל של האחרים.

ממשפט זה קל לנו לראות שהצלחנו בהגדרה שלנו לתלות:

'''מסקנה:''' אם <math>v_1</math> הינו צירוף לינארי של האחרים ניתן להסיר אותו במובן הבא: <math>span\{v_1,...,v_n\}=span\{v_2,...,v_n\}</math>.

===ושוב, בחזרה למערכות משוואות לינאריות===
====תרגיל - הקשר בין צירוף לינארי לבין פתרון מערכת משוואות לינאריות=====

יהיו <math> v_1,...,v_n\in \mathbb{F}^m</math> נגדיר <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> להיות המטריצה שעמודותיה הן <math> v_1,...,v_n</math> (כלומר <math>C_i(A)=v_i</math>).

יהיה <math>b\in \mathbb{F}^m</math> וקטור (פתרון).

הוכח כי:
1. <math>b\in span\{v_1,...,v_n\}</math> '''אם"ם''' קיים פתרון למערכת <math>Ax=b</math>

2. במקרה זה הפתרון <math>x</math> הינו וקטור הסקלרים של הצירוף הלינארי שנותן את b.
כלומר, כאשר <math>x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}</math> מתקיים <math>b=x_1v_1+...+x_nv_n</math>

3.נניח והוקטורים שייכים למרחב <math>\mathbb{F}^n</math> (כלומר <math>m=n</math> והמטריצה ריבועית). הוכח שקיים צירוף לינארי יחיד הנותן את <math>b</math> אם"ם המטריצה הינה הפיכה. מה ניתן להסיק על הוקטורים במקרה זה?

=====פתרון=====

1+2. ישירות מכפל עמודה-עמודה נקבל כי <math>Ax=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n</math>. לפיכך, ברור שקיים פתרון למערכת Ax=b אם"ם קיימים סקלרים כך ש <math>b=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n</math>.

אמנם התרגיל הזה טריוויאלי למדי אך '''חשוב מאד''' לזכור תוצאה זו, היא תשמש אותנו בהמשך רבות. בניסוח קליט: <math>Ax</math> '''הינה צירוף לינארי של עמודות <math>A</math> עם הסקלרים מ-<math>x</math>'''.

3. אם המטריצה הפיכה אזי <math>x=A^{-1}b</math> הוא הפתרון היחיד. ולהפיך אם קיים צירוף לינארי יחיד הנותן את <math>b</math> אזי אם נדרג את <math>A</math> קנונית נגיע למטריצת היחידה. זה אומר ש <math>A</math> הפיכה.

במקרה זה שהמטריצה הפיכה נסיק כי גם למערכת <math>Ax=0</math> יש פתרון יחיד שהוא <math>x=0</math>. כלומר צ"ל היחיד של עמודות <math>A</math> שמתאפס הוא הצ"ל הטריוויאלי. כלומר עמודות <math>A</math> בת"ל.

בנוסף, מכיוון שאנו יודעים שמטריצה הפיכה אם"ם המשולחפת שלה הפיכה, ניתן גם להסיק ש'''מטריצה הינה הפיכה אם"ם שורותיה בת"ל'''.

==בסיס ומימד==
'''הגדרה:''' יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי (או תת מרחב) מעל <math>\mathbb{F}</math>. קבוצה <math>B\subset V</math> תקרא בסיס אם
# <math>B</math> בת"ל
# <math>B</math> פורשת את המרחב, כלומר <math>span(B)=V</math>

'''הגדרה:''' המימד של <math>V</math> הוא <math>dim_{\mathbb{F}}V=|B|</math> (מספר האיברים ב <math>B</math>) כאשר <math>B</math> הוא בסיס.
אם <math>dim_{\mathbb{F}}V<\infty</math> אזי <math>V</math> יקרא נוצר סופית.

'''משפט:''' ההגדרה של מימד מוגדרת היטב ואינה תלויה בבחירת הבסיס. כלומר כל שתי בסיסים <math>B,B'</math> בעלי אותה עוצמה (בעלי אותו מספר איברים).

'''משפט:''' לכל מרחב וקטורי '''קיים''' בסיס

===דוגמאות ===
בסיסים סטנדרטים:

1.
<math>V=\mathbb{R}^{3}</math>
אזי
<math>B=\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}\right)\}</math>
הוא בסיס. (המימד 3)

בהכללה
הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}^{n}</math> הוא <math>B=\{e_i | 1\leq i \leq n\}</math> ("וקטורי היחידה")

2.
<math>V=\mathbb{C}^{3\times2}</math>
אזי
<math>B=\{\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
1 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 0\\
1 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 1\\
0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)\}</math>
הוא בסיס. (המימד הוא <math>3\cdot 2=6</math>)

בהכללה: הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}^{m\times n}</math> הוא <math>B=\{E_{i,j} | 1\leq i \leq m, \;1\leq j \leq n\}</math> ("מטריצות היחידה")

3.
<math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל. בסיס <math>B=\{1,x,x^{2}\}</math> (מימד 2+1)

בהכללה הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}_{n}[x]</math> הוא <math>B=\{1,x,x^{2},\cdots x^n \}</math>

4.
מרחב הפולינומים <math>\mathbb{F}[x]</math>. הבסיס <math>B=\{1,x,x^{2},x^{3},x^{4}\dots\}</math> הוא בסיס אינסופי.

5. לפי הגדרה, הבסיס למרחב האפס <math>\{0\}</math> הוא הקבוצה הריקה <math>B=\emptyset </math>

הערה: <math>\{0\}</math> '''אינו''' בסיס כי כל קבוצה המכילה את 0 היא תלויה לינארית

=== תכונה חשובה של בסיס ===

תרגיל: יהא <math>V</math> מרחב וקטורי, <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> בסיס.

אזי כל <math>v\in V</math> '''ניתן''' להציג כצ"ל של <math>B</math> '''בצורה יחידה'''.

הוכחה

יהי <math>v\in V</math>
#כיוון ש <math>B</math> פורשת את <math>V</math> קיים צ"ל של <math>B</math> ששווה ל <math>v</math>
# יחידות: נניח שני צ"ל של <math>B</math> שווים ל <math>\sum_{i=1}^n\beta_i v_i=v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i</math> נוכיח כי זהו אותו צ"ל (כלומר המקדמים שווים). אכן אם נעביר אגף נקבל כי <math>\sum_{i=1}^n(\alpha_i-\beta_i)v_i=0</math>. כיוון ש <math>B</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i (\alpha_i-\beta_i) = 0</math> ולכן <math>\forall i\; \alpha_i=\beta_i</math> כנדרש.

'''הגדרה''' יהא <math>V</math> מרחב וקטורי, <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> בסיס ויהי <math>v\in V</math> . ההצגה של <math>v</math> לפי בסיס <math>B</math> הוא וקטור המקדמים בצ"ל. כלומר
<math>[v]_B=
\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\vdots\\
\alpha_{n}
\end{array}\right)\in\mathbb{F}^{n}
</math>
אמ"מ
<math>v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i</math>

לפני שנעבור לדוגמאות יותר מסובכות נראה קריטריונים שקולים לבסיס

=== קריטריונים שקולים לבסיס ===

בהגדרה של תלות לינארית ראינו שאפשר לראות תלות לינארית בתור היכולת לזרוק וקטורים מבלי להשפיע על המרחב הנפרש.

הטענה הנ"ל באופן פורמאלי היא הטענה הבאה:

טענה: יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. תהא <math>S=\{v_{1},\dots v_{n}\}</math> קבוצה ונניח כי קיים <math>i</math> כך ש <math>v_i</math> תלוי באחרים.

אזי <math>span(S)=spab(S\setminus \{v_i\})</math>

כמובן שלפעולה זו יש סוף - מתישהו לא ניתן לזרוק אף וקטור מבלי לגרוע מהמרחב הנפרש. הקבוצה שנשארנו איתה תהיה בסיס.

זוהי בניה "מלמעלה ללמטה". כלומר מתחילים עם <math>V</math> ו"זורקים" וקטורים כמה שניתן.

בניה נוספת היא בניה "מלמטה ללמעלה". מתחילים עם הקבוצה הריקה ''ומוסיפים'' וקטורים כך שהקבוצה המתקבלת היא בת"ל. כמובן שגם לפעולה זאת יש סוף (אחרי מספר צעדים השווה למימד של המרחב) - מתי שלא ניתן להוסיף אף וקטור מבלי לגרוע מ"בת"ליות" הקבוצה, הגענו לבסיס.

בניה זאת מתבססת על הטענה הבאה:

טענה:
יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> ותהא <math>S=\{v_{1},\dots v_{n}\}</math> קבוצה בת"ל.

אם קיים <math>v\in V\setminus span(S)</math> אז <math>S^{'}=\{v_{1},\dots v_{n},v\}</math> בת"ל גם כן.

הוכחה: נניח <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}+\alpha v=0</math>

<math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=-\alpha v\Leftarrow</math>

<math>\alpha=0\Leftarrow</math> כי אחרת נקבל ש <math>v\in span(S)</math> ע"י חילוק ב <math>-\alpha</math>

<math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0\Leftarrow</math>

<math>\alpha_{i}=0\Leftarrow</math> כי <math>S</math> בת"ל.

לסיכום:

'''משפט:'''
יהיה <math>B\subset V</math> אזי התנאים הבאים שקולים:
# <math>B</math> בסיס.
# <math>B</math> קבוצה בת"ל מקסימאלית
# <math>B</math> קבוצה פורשת את <math>V</math>- מינימאלית.

'''מסקנה חשובה''' ממפרק זה היא
# כל קבוצה <math>B</math> בת"ל ניתן '''להשלים''' לבסיס
# לכל קבוצה פורשת <math>S</math> קיימת '''תת קבוצה''' שהיא בסיס

(חידה מטופשת: אם ניקח את המימד של צירוף לינארי נקבל מנה טעימה. מהי?)

=== תרגיל ===
מצא בסיס למרחב הפתרונות של המערכת

<math>
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & -1\\
1 &1 &-1 &1\\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix}
= 0
</math>

פתרון: נדרג

<math>
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & -1\\
1 &1 &-1 &1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & -1\\
0 &2 & 0 & 2\\
\end{pmatrix}
\to \\
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & -1\\
0 &1 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 &0 &-1 &0\\
0 &1 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}

</math>

ולכן הפתרונות הן

<math>
\{
\begin{pmatrix}
s \\
-t\\
s\\
t
\end{pmatrix}

: t,s\in \mathbb{R}
\}

=span
\{
\begin{pmatrix}
1 \\
0\\
1\\
0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\
-1\\
0\\
1
\end{pmatrix}

\}

</math>

אלו נקראים ה'''פתרונות היסודיים''' והם מהווים בסיס למרחב הפתרונות

=== תרגיל ===
מצא בסיס לתת המרחב
<math>span
\{\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-1\\
-3\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
-1\\
1
\end{array}\right)\}
</math>
של
<math>V=\mathbb{R}^{3}</math>

פתרון:

כיוון שיש לנו כבר קבוצה פורשת, נותר רק ל"זרוק" את הוקטורים התלויים לינארית. נעשה זאת ע"י ע"י דירוג מטריצה

<math>\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\
2 & -3 & -1\\
1 & 0 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\
0 & -1 & -1\\
0 & 1 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>

כלומר הוקטור השלישי תלוי לינארית בשניים הראשונים ולכן

<math>span
\{\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-1\\
-3\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
-1\\
1
\end{array}\right)\}
=
span
\{\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-1\\
-3\\
0
\end{array}\right)
\}
</math>

וזהו בסיס כי הוקטורים האלה כבר בת"ל

===משפט השלישי חינם===
יהיה <math>V</math> מ"ו ותהי <math>S\subseteq V</math> תת קבוצה.
אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, השלישי מתקיים בהכרח (בחינם) ומתקיים ש <math>S</math> היא בסיס ל <math>V</math>:
# <math>S</math> בת"ל
#<math>spanS=V</math>
#<math>\#S=dimV</math> (מספר האיברים ב<math>S</math> שווה למימד של <math>V</math>.

==== תרגיל ====
תרגיל: <math>V=\mathbb{R}^{2\times2}</math> . השלם את
<math>S=\{v_{1}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & 1
\end{array}\right),v_{2}=\left(\begin{array}{cc}
2 & 0\\
1 & 3
\end{array}\right),v_{3}=\left(\begin{array}{cc}
1 & -1\\
1 & 0
\end{array}\right)\}</math>
לבסיס

פתרון:
ראינו כבר כי
<math>
span(S)=

\{\left(\begin{array}{cc}
b+2c & b\\
c & d
\end{array}\right)\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} =

span\{\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
2 & 0\\
1 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)\}
</math>

מכאן אפשר לראות בקלות כי
# <math>S</math> בת"ל. כי <math>S</math> פורשת את <math>span(S)</math> והמימד שלו 3 כמו גודל <math>S</math>. על פי השלישי חינם <math>S</math> בת"ל.
# <math> v_4= \left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right) \not\in span(S)</math> ולכן <math>S\cup \{v_4\}</math> בת"ל גם כן (כמו שהוכחנו באחד התרגילים).

כעת קיבלנו ש <math>B=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}</math> קבוצה בת"ל בת 4 איברים = <math>\dim V</math> על פי השלישי חינם <math>B</math> בסיס

=== תרגיל חשוב ===
יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיה <math>W\leq V</math> תת מרחב מאותו מימד סופי(נסמן <math>dim_{\mathbb{F}}V=dim_{\mathbb{F}}W=n</math>).

הוכח: <math>W=V</math>

פתרון:

נבחר <math>B=\{w_{1},\dots,w_{n}\}</math> בסיס ל <math>W</math>. בפרט מתקיים כי
# <math>span(B)=W</math>
# <math>B</math> בת"ל.

עפי השלישי חינם, כיוון ש <math>B</math> בת"ל + <math>\#B=n=\dim V</math> מתקיים כי <math>span(B)=V</math>. ומכאן ש <math>W=span(B)=V</math>

'''במילים: תת מרחב שמוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הם שווים'''

====תרגיל חשוב (חלק מ7.7), הוכחה נוספת====

נתון ש<math>\dim V=\dim W</math>. נניח בשלילה ש<math>V\neq W</math> ונראה שנקבל סתירה . מכיוון שנתון <math>W\subseteq V</math> העובדה ש<math>V\neq W</math>גוררת בהכרח שקיים וקטור <math>v\in V</math> כך ש <math>v\notin W</math> (זה תרגיל לוגי פשוט). נסמן dimW=dimV=n וניקח בסיס כלשהו לW (אנחנו יודעים שקיים כזה) <math>S=\{v_1,...,v_n\}</math>.

כעת, נוכיח ש<math>S\cup \{v\}</math> בהכרח בת"ל. נניח בשלילה שהיא כן תלוייה, לכן יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של <math>v_1,v_2,..,v_n,v</math> שמתאפס. נניח והמקדם של v שונה מאפס, לכן קל להראות שהוא צירוף לינארי של האחרים בסתירה לכך ש-v אינו שייך לW (הרי יש סגירות בW לצירופים לינאריים) לכן המקדם של v הינו אפס. כעת נשארנו עם צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס של <math>v_1,...,v_n</math> וזו סתירה לכך שהם בת"ל מתוקף הגדרתם כבסיס.

על כן, מצאנו קבוצה בת"ל המכילה n+1 וקטורים, בסתירה לכך שהמימד של W הוא n.

התוצאה של תרגיל זה, כאמור, חשובה מאד. אם W תת מרחב של V והוכחנו שהם מאותו המימד זה מספיק על מנת להגיד שהם שווים. אתם תדרשו בעצם לעשות הוכחות כאלה באמצעות מימדים לא פעם ואף לא פעמיים.

===תרגיל ===
יהא <math>V= \mathbb{R}_2[x]</math>. מצא בסיס לחיתוך

בין <math>W_1 =\{p(x)\in V \; | \; p(1)=0\}</math>

לבין <math>W_2 =\{p(x)\in V \; | \; p(2)=0\}</math>

==== פתרון ====

החיתוך הוא פשוט <math>W =\{p(x)\in V \; | \; p(1)=p(2)=0\}</math>.

מתקיים כי <math>a_0+a_1x+a_2x^2\in W</math> אמ"מ <math>a_0+a_1+a_2=0=a_0+2a_1+4a_2</math>.

רואים שזהו מערכת משוואות עם משתנה חופשי אחד (המערכת היא 2 משוואות עם 3 נעלמים) ולכן המימד של W הוא 1.

לפי משפט השלישי חינם מספיק למצוא <math>p(x)\in W</math> ואז הוא יהווה בסיס. הנה דוגמא <math>p(x)=(x-1)(x-2)</math>

===תרגיל 7.17===
יהא V מ"ו, ותהא B קבוצה המוכלת בV. הוכח שהתנאים הבאים שקולים:

(1) <math>B</math> בסיס עבור <math>V</math>

(2) וקטור האפס אינו שייך לB ולכל קבוצה <math>A\subseteq B</math> מתקיים <math>V=spanA\oplus span(B/A)</math>

====הוכחה====
<math>(2) \Leftarrow (1) </math>

נניח B בסיס לV, ברור מכך שB בת"ל שהוא אינו מכיל את אפס. תהי A קבוצה המוכלת בB נסמן ב.ה.כ <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> ו <math>A=\{v_1,...,v_j\}</math>. יש להוכיח בעצם שמתקיים <math>V=span\{v_1,...,v_j\}\oplus span\{v_{j+1},...,v_n\} </math>. לצורך זה יש להוכיח שני דברים:
*<math>span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\}=\{0\}</math>
*<math>V=span\{v_1,...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}</math>

(שימו לב שאם A ריקה, המשפט נובע בקלות ולכן לא נתייחס עוד למקרה קצה זה.)

התנאי הראשון: יהא <math>v\in span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\} </math> צ"ל <math>v=0</math>. מהגדרת החיתוך נובע כי קיימים סקלרים כך ש<math>a_1v_1+...+a_jv_j=v=b_{j+1}v_{j+1}+...+b_nv_n</math>. נעביר אגף ונקבל כי <math>a_1v_1+...+a_jv_j-b_{j+1}v_{j+1}-...-b_nv_n=0</math> כיוון ש <math>B</math> בת"ל נובע כי כל המקדמים שווים 0 ובפרט <math>v=0</math> כנדרש.

התנאי השני: <math>span\{v_1,...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}= span\{v_1,...,v_j,v_{j+1},...,v_n \}=span(B)=V</math>

<math>(1) \Leftarrow (2) </math>

מכיוון שזה נכון לכל קבוצה A המוכלת בB, בפרט זה נכון לקבוצה הריקה. לכן יוצא ש <math>V=span\phi\oplus span (B/\phi)=spanB</math> כלומר B פורש את V. נותר להראות שB בת"ל.

נניח בשלילה שB אינה בת"ל, לכן וקטור אחד ממנה u הוא צירוף לינארי של האחרים. נסמן בA את הנקודון שמכיל את u כלומר <math>A=\{u\}</math> ומכייון שבהכרח <math>u \neq 0</math> נקבל סתירה לתכונת הסכום הישר (חיתוך שכולל רק את ווקטור האפס)

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4

2017-08-05T07:23:28Z

Eitan600: /* חיתוך תתי מרחבים */

=מרחבים וקטורים=

דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ<math>V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}</math>

עם '''חיבור'''
<math>(x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})</math>

ו'''כפל בסקלאר''' <math>\alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z)</math> הוא מרחב וקטורי.

ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.

'''הגדרה''': מרחב וקטורי הוא רביעיה <math>(V,\mathbb{F},+,\cdot)</math>, כאשר
* <math>V</math> היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של '''חיבור''' (+). כלומר <math>+:V\times V \to V</math>
* <math>\mathbb{F}</math> הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של <math>V</math> וכפל בסקלאר.
* '''כפל בסקלאר''' (<math>\cdot</math>) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי <math>\mathbb{F}</math>. פורמאלית <math>\cdot : \mathbb{F}\times V \to V</math>

אקסיומות מרחב וקטורי:

#'''אקסיומות של החיבור ב <math>V</math>:''' לכל <math>v,w,u\in V</math> מתקיים
## מוגדרות: <math>v+w\in V</math> .
##קיבוץ: <math>v+(u+w)=(v+u)+w</math> .
##חילוף: <math>v+u=u+v</math> .
##איבר נטרלי: <math>\exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v</math> .
##איבר נגדי: <math>\forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0</math> .
#'''אקסיומות של כפל וחיבור של שדה:''' בהגדרת שדה
#'''אקסיומות כפל בסקלאר:''' לכל <math>v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F}</math> מתקיים
##מוגדרות <math>\alpha v\in V</math>
##קיבוץ: <math>\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v</math>
##כפל ביחידה (של השדה): <math>1_{\mathbb{F}}\cdot v=v</math>
## פילוג:
###<math>\alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u</math>
### <math>(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v</math>

טרמינולוגיה: אומרים ש <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>.

איברי <math>V</math> נקראים '''וקטורים'''. איברי <math>\mathbb{F}</math> נקראים '''סקלארים'''.

תכונות בסיסיות:

.1 <math>(-1_{F})v=(-v)</math>

.2 <math>0_{F}v=0_{V}</math>

==דוגמאות ==
1.
<math>V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math>

עם חיבור <math>(a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})</math>

וכפל בסקלאר <math>\alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})</math>

2.
מרחב המטריצות <math>\mathbb{F}^{m\times n}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.

3.
מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית
<math>\mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>

עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.

4.
מרחב הפולינומים <math>\mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.

5.
<math>V=\mathbb{R}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{Q}</math> עם חיבור וכפל "רגילים".

6. <math>V=\mathbb{C}^{3}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>.

7. <math>V=\mathbb{R}^{3}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי <math>i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3</math> והכפל בניהם צריך להיות שייך ל <math>V</math> אבל <math>i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3</math>

8. <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> עם חיבור סטנדרטי וכפל בסקלאר <math>\alpha \cdot (x,y)=(\alpha \cdot x,y)</math> כי למשל <math>(1+1)\cdot 2\cdot(0,1)= (0,1)\neq (0,2)=1\cdot(0,1)+1\cdot(0,1)</math>.

==תתי מרחבים ==

הגדרה יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. תת קבוצה <math>W\subseteq V</math>
יקרא '''תת מרחב''' אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות '''V'''. סימון <math>W\leq V</math>

''קריטריון מקוצר'': כדי לבדוק אם <math>W\subseteq V</math> הוא תת מרחב מספיק לבדוק:
#איבר נטרלי: <math>0</math> של <math>V</math> נמצא ב-<math>W</math>;
#סגירות לחיבור: לכל <math>w,u\in W</math> מתקיים <math>u+w\in W</math>;
#סגירות לכפל בסקלאר: לכל <math>w\in W,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים <math>\alpha w\in W</math>.

את שאר האקסיומות <math>W</math> יורש מ <math>V</math> כתת קבוצה.

הערה: ניתן לרכז את הבדיקות הנ"ל מספיק לבדוק
#<math>W\not=\emptyset</math>
#שלכל <math>w,u\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים <math>\alpha u+w\in W</math>.

אבחנה: <math>\{0\},V\subseteq V</math> תמיד תתי מרחבים ונקראים תתי המרחבים הטריוואלים.

===דוגמאות ודוגמאות נגדיות ===

1. עבור המישור האוקלידי <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> :

א. <math> W=\{(x,0)\,|\, x\in \mathbb{R} \}</math> (ציר ה<math>x</math>) הוא תת מרחב (קל לראות).

ב. <math> W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq 0\}</math> (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי
<math>-1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W</math>

ג. <math>W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{ or }x,y\leq0\}</math>
(הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי <math>\underset{\in W}{(2,4)}+\underset{\in W}{(-3,-3)}=(-1,1)\notin W</math>

ד. <math>W=\{(x,y)|\, y=3x\}</math> קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב (לפי הסעיף הבא).

2. תהא <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה ונסתכל על אוסף הפתרונות למערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math>.
פורמאלית <math>W=\{v\in \mathbb{F}^n \, :\, Av=0\} \subseteq \mathbb{F}^n </math>.
הוכחתם בהרצאה כי <math>W\leq \mathbb{F}^n</math> הוא תת מרחב

3. מרחב המטריצות <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math>:

א. המטריצות מסוג
<math>W=\{\left(\begin{array}{cccc}
a & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & & 0\\
\vdots & & \ddots & 0\\
0 & 0 & \cdots & 0
\end{array}\right)|a\in\mathbb{F}\}</math> הן תת מרחב.

נוכיח :
# ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math>
# לכל <math>A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות ש <math>\alpha A_1 +A_2 \in W</math> כלומר להראות שהמטריצה <math>\alpha A_1 +A_2</math> כולה אפסים פרט (אולי) למקום <math>1,1</math> וזה אכן כך בגלל שזאת הצורה של <math>A_1,A_2</math>

ב. המטריצות הסימטריות <math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\}</math>
והמטריצות האנטי-סימטריות <math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=-A\}</math> שתיהן תתי מרחב.

הוכחה (עבור הסימטריות)
# ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math>
# לכל <math>A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות ש <math>\alpha A_1 +A_2 \in W</math> כלומר להראות שהמטריצה <math>\alpha A_1 +A_2</math> סימטרית. נתון כי <math>A_1^t=A_1,A_2^t=A_2</math>. כעת מחוקי שיחלוף
נקבל כי <math>(\alpha A_1 +A_2)^t=\alpha A_1^t +A_2^t=\alpha A_1 +A_2</math>.

ג.המטריצות הסימטריות איחוד עם המטריצות האנטי סימטריות
<math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A \text{ or } A^{t}=-A\}</math> '''אינו''' תת מרחב כי
המטריצות
<math>
A_1 = \left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & & 0\cdots & 0\\
1 & 0 & & 0 & 0\\
\vdots & & \ddots & 0 & 0\\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{array} \right)
A_2=
\left(\begin{array}{ccccc}
0 & -1 & & 0\cdots & 0\\
1 & 0 & & 0 & 0\\
\vdots & & \ddots & 0 & 0\\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{array} \right)
</math>
שייכות ל <math>W</math> אבל החיבור שלהם לא.

ד. המטריצות משולשיות/אלכסוניות/סקלאריות הן תת מרחב.

ה. המטריצות <math>W=\{A\in V\,|\, tr(A)=0\}</math> הן תת מרחב

הוכחה
# ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math>
# לכל <math>A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות ש <math>\alpha A_1 +A_2 \in W</math> כלומר להראות שעקבה של המטריצה <math>\alpha A_1 +A_2</math> שווה 0. נתון כי <math>tr(A_1)=tr(A_2)=0</math>. כעת מחוקי עקבה
נקבל כי <math>tr(\alpha A_1 +A_2)=\alpha tr(A_1) +tr(A_2)=\alpha 0 +0 = 0</math>.

4. <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל <math>\mathbb{R}</math> .

א. <math>W=\mathbb{R}_{1}[x]=\{a+bx|\, a,b\in\mathbb{R}\}</math> הינו תת מרחב כי באופן כללי <math>\mathbb{R}_{n}[x]</math> הוא מרחב וקטורי (והפעולות מוגדרות באופן זהה לכל המרחבים).

ב. <math>W=\{a+bx|\,0\not=b\in\mathbb{R}\}</math> הפולינומים מדרגה 1 בדיוק אינו תת מרחב. כי פולינום האפס שהוא האיבר הנטרלי ב <math>V</math> לא נמצא ב<math>W</math> .

=== חיתוך תתי מרחבים ===

משפט: יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים.
אזי חיתוך תתי המרחבים <math>W_1\cap W_2:=\{v\in V:\, v\in W_1\land v\in W_2\}</math> הינו תת מרחב.

הערה: זהו התת מרחב הכי "גדול" שמוכל ב <math>W_1,W_2</math>. כלומר, כל תת מרחב <math>U</math> המקיים כי <math>U\subseteq W_1,W_2</math> יקיים כי <math>U\subseteq W_1\cap W_2</math> .

====דוגמא 1====
1. יהי <math>V = \mathbb{R}^4 </math>. נגדיר שתי תת מרחבים
<math>W_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V :\, x_1+x_2+x_3+x_4 =0\} </math>

<math>W_2=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V :\, x_1+x_2+x_3+2x_4 =0 \land -x_1+x_2+x_3+x_4 =0 \}</math>

נמצא את <math>W_1\cap W_2</math>

נשים לב שנוכל לאפיין את תתי המרחבים בצורה הבאה:

<math>W_1=\{v\in V :\, A_1v =0\} </math>

<math>W_2=\{v\in V :\, A_2v =0 \}</math>

כאשר
<math>A_1 = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1\end{pmatrix},
A_2 = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &2 \\ -1 &1 &1 &1 \end{pmatrix}
</math>

כמו שראינו אלו תת מרחבים. כעת
<math>W_1\cap W_2= \{ v \; | \; \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2\end{pmatrix} v =0 \}</math>

ולכן צריך בסה"כ למצוא פתרון למערכת הומוגנית. נעשה זאת
<math>
\begin{pmatrix}
1 &1 &1 &1 \\
1 &1 &1 &2 \\
-1 &1 &1 &1
\end{pmatrix}
\to \\
\begin{pmatrix}
1 &1 &1 &1 \\
0 &0 &0 &1 \\
0 &2 &2 &2
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 &1 &1 &1 \\
0 &1 &1 &1\\
0 &0 &0 &1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 &1 &1 &0 \\
0 &1 &1 &0\\
0 &0 &0 &1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 \\
0 &1 &1 &0\\
0 &0 &0 &1
\end{pmatrix}
</math>

התשובה הסופית

<math>W_1\cap W_2 =
\{\left( \begin{array}{c}
0 \\
-t\\
t\\
0
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>

====דוגמא 2====
יהי <math>V = \mathbb{R}^3 </math>. נגדיר שתי תת מרחבים

<math>W_1=\{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
+\alpha_2\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}
:\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} </math>

<math>W_2=\{\alpha_1\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}
+\alpha_2\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
:\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} </math>

נמצא את החיתוך בניהם

צריך למצוא סקלארים <math>\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4\in \mathbb{R}</math> המקיימים

<math>\alpha_1\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\-1\end{pmatrix}
+\alpha_2\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} =
\alpha_3\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
+\alpha_4\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}
</math>

שימו לב שאם מצאנו ארבעה סקלארים שמקימים את המשוואה לעיל אז אנחנו יודעים שהוקטור הזה בחיתוך. עוד שימו לב שאם יודעים שהשיוויון מתקיים מספיק לדעת את <math>\alpha_1,\alpha_2</math> או את <math>\alpha_3,\alpha_4</math> כדי לחשב את הוקטור עצמו (כי שני אגפי השיוויון שווים).

בעצם, זה שוב לפתור מערכת משוואות כאשר הנעלמים הם <math>\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4</math>. הנה המערכת (אחרי שנעביר אגף):

<math>
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & -1\\
1 &1 &-1 &1\\
-1 &1 &-1 & -1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\alpha_1\\
\alpha_2\\
\alpha_3\\
\alpha_4
\end{pmatrix}
= 0
</math>

נדרג ונמשיך

<math>
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & -1\\
1 &1 &-1 &1\\
-1 &1 &-1 & -1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & -1\\
0 &2 & 0 & 2\\
0 &0 &-2 & -2
\end{pmatrix}
\to \\
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & -1\\
0 &1 & 0 & 1\\
0 &0 &-1 & -1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 &-1 &0 &0\\
0 &1 & 0 & 1\\
0 &0 &-1 & -1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 &0 &0 &1\\
0 &1 & 0 & 1\\
0 &0 &-1 & -1
\end{pmatrix}

</math>
קיבלנו כי התנאי היחידי המתקיים בין <math>\alpha_3,\alpha_4</math> הוא <math>\alpha_3= -\alpha_4</math>. ובמקרה שהתנאי מתקיים יש פתרון למערכת המשוואות.

לכן התשובה הסופית

<math>W_1\cap W_2 =
\{\alpha\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
-\alpha\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}
:\, \alpha \in \mathbb{R} \}
</math>

====דוגמא 3====
<math>V=\mathbb{C}^{n\times n}</math> מעל <math>\mathbb{C}</math> . יהיו <math>W_1</math> תת מרחב של המטריצות הסימטריות ו <math>W_2</math> תת המרחב של המטריצות האנטי סימטריות אזי:
<math>W_1\cap W_2=\{A:A^{t}=A\land A^{t}=-A\}=\{0\}</math>

הוכחה:
ישירות- אם <math>A</math> גם סימטרית וגם אנטי סימטרית אזי מתקיים <math>-A=A^t=A</math>. נעביר אגף ונקבל <math>2A=0</math>. נחלק ב 2 ונקבל כי <math>A=0</math>

=== סכום תתי מרחבים===

יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים.
נרצה למצוא את התת מרחב <math>W</math> הכי "קטן" שמכיל את <math>W_1,W_2</math>. "קטן" הכוונה כי כל תת מרחב <math>U</math> המקיים <math> W_1,W_2\subseteq U</math> בהכרח יקיים גם <math>W\subseteq U</math>.

יש שיחשבו שהתת מרחב הכי קטן שמכיל את <math>W_1,W_2</math> הוא האיחוד את <math>W_1,\cup W_2</math>.
אבל התשובה שגויה כיוון שהאיחוד לא בהכרח תת מרחב כפי שנוכיח בתרגיל הבא.

'''תרגיל:'''
יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים. אזי

<math>W_1,\cup W_2\leq V</math> אמ"מ (<math>W_1\subseteq W_2 \lor W_2\subseteq W_1</math>) כלומר אחד מתת המרחב מוכל בשני.

'''הוכחה:'''
כיוון ראשון (<math>\Leftarrow</math>): פשוט, אם אחד מוכל בשני אזי האיחוד שווה ל <math>W_i</math> (כאשר <math>i</math> שווה ל-1 או 2, תלוי במקרה) שהוא תת מרחב.

כיוון שני (<math>\Rightarrow</math>): נניח בשלילה כי (<math>W_1\not\subseteq W_2 \land W_2\not\subseteq W_1</math>) אזי קיימים <math>w_1\in W_1\setminus W_2 \</math>
וגם <math>w_2\in W_2\setminus W_1 \</math>. שני הוקטורים <math>w_1,w_2</math> נמצאים באיחוד ולכן גם הסכום שלהם <math>w_1+w_2</math> נמצא באיחוד כי נתון שהוא תת מרחב. כעת מהגדרת האיחוד <math>w_1+w_2</math> נמצא ב <math>W_i</math> (כאשר <math>i</math> שווה ל-1 או 2, תלוי במקרה). בה"כ נניח <math>w_1+w_2\in W_1</math>. כיוון ש <math>w_1\in W_1</math> אזי חיסור שני הוקטורים <math>(w_1+w_2)-w_1 \in W_1</math> נמצא גם כן ב <math>W_1</math> אבל החיסור שווה ל <math>w_2</math>. סתירה לכך ש <math>w_2 \not\in W_1</math>

====סכום תתי מרחבים וסכום ישר ====
'''הגדרה:''' <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים.
אזי '''סכום תתי המרחבים''' <math>W_1 + W_2:=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\}</math> הינו תת מרחב.

תכונה: לכל תת מרחב <math>U</math> עבורו <math> W_1,W_2\subseteq U</math> מתקיים כי <math> W_1+ W_2 \subseteq U</math>.

'''הגדרה:''' הסכום <math>W_1+W_2</math> יקרא '''סכום ישר''' אם <math>W_1\cap W_2 = \{0\}</math>.
סימון <math>W_1 \oplus W_2</math>.

'''דוגמאות:'''

1. ב <math>V=\mathbb{R}^3</math> נגדיר שני תת מרחב
<math>W_1=\{\alpha\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}
:\, \alpha \in \mathbb{R} \} </math>

<math>W_2=\{\alpha\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
:\, \alpha \in \mathbb{R} \} </math>

אזי

<math>W_1+W_2=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\} = \\
\{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}
+ \alpha_2\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
:\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} =
\{\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \alpha_1+\alpha_2\\ \alpha_2 \end{pmatrix}
:\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R}\}
</math>

2. באופן כללי <math>V</math> מרחבים וקטורי, <math>v_1, v_2, \dots v_m, v_{m+1}, \dots v_{m+k}</math> וקטורים.

אם

<math>
W_1 =\{\sum_{i=1}^m \alpha_i v_i \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \}\\
W_2 =\{\sum_{i=1}^k \alpha_i v_{m+i} \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \}
</math>

אז

<math>W_1+W_2 = \{\sum_{i=1}^{m+k} \alpha_i v_i \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \} </math>

3. עבור
<math>
W_1= \{(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n : a_1= a_2 = \dots =a_n\} \\
W_2= \{(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n : a_1+ a_2 + \dots +a_n = 0 \}
</math>

מתקיים כי
<math>W_1 \oplus W_2 = \mathbb{F}^n</math>

הוכחה:

קודם נראה שזהו סכום ואח"כ נראה שהוא ישר.

'''סכום:'''

יהא <math>v=(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n</math>.
נגדיר <math>b=\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}</math> את ממוצע הקורדינאטות.

ברור כי <math>w_1=(b,b,\dots ,b)\in W_1</math>. גם ברור כי <math>v=w_1 + (v-w_1)</math>.

נראה כי <math>v-w_1 = (a_1-b,\dots ,a_n-b)\in W_2</math> וסיימנו (כי נגדיר <math>w_2=v-w_1</math>)

אכן כדי שוקטור יהיה ב <math>W_2</math> סכום הקורטינאטות שלו צריך להיות שווה 0.
נחשב <math>(a_1-b)+(a_2-b)+\dots +(a_n-b)= \sum_{i=1}^n a_i -n\cdot b=\sum_{i=1}^n a_i-\sum_{i=1}^n a_i=0</math>. כנדרש.

'''סכום ישר:'''

יהא <math>(a_1,\dots ,a_n)=v\in W_1\cap W_2</math> צ"ל שזהו וקטור האפס. בגלל ש <math>v\in W_1</math> ניתן להציג אותו כ <math>v=(a,a,\dots ,a)</math>, כיוון ש <math>v\in W_2</math> צריך להתקיים <math>a+a+\dots +a =na=0</math> ולכן <math>a=0</math> ולכן <math>v=0</math>